Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 79
Текст из файла (страница 79)
С другой стороны, если действительное число ошибок меньше, чем ц'„„ синдром будет иметь ненулевой вес. Если это случится. мы обнаружили наличие одной или больше ошибок в канале. Ясно, что блоковый (((,к) код способен обнаружиз ь ((„,„— 1 ошибок. Обнаружение ошибок можно использовать совместно со схемои автоматического запроса — повторения (АЗП) для повторной передачи кодового слова. Сиособ((ос(((ь кода ((спуов(((((((ь о(((ибк(( также зависит от минимального расстояния.
Однако, число исправляемых образцов ошибок ограничено числом возможных синдромов или лидеров смежных классов в стандартном расположении. Чтобы определить способность (л,(() кода исправлять ошибки, удобно рассматривагь 2' кодовых слов как точки в а-мерном пространстве. Если каждое кодовое слово рассматривать как центр сферы с радиусом ~расстоянием Хемминга) (, то наибольшее значение, которое может ~! принять ( без пересечения (или касания) с любой парой из 2' сфер, равно ( = ~,"(с(,„„, — 1Я, где ~х! означает наибольшее целое, содержащееся в х. Внутри каждой сферы лежат всевозможные принимаемые кодовые слова с расстоянием меньшим или равным ( от деиствительно переданного кодового слова.
Следовательно, любой принимаемый кодовый вел(ар, который попадает внутрь сферы, декодируется в разрешенное кодовое слово в центре сферы. Это подразумевает, что (п,(г) код с минимальным расстоянием ((,. способен исправить ( — Яд„„„— 1)~ ошибок. Рис. 8.1.11 является двумерной моделью кодовых слов и сфер. Как описано выше, код может быть использован для обнаружения (( 1 ошибок или для исправления ( = ~~(с( — 1)~ опгибок.
Ясно, что для исправления ( ошибок подразумевается, что мы обнаружили ( ошибок. Однако, возможно также обнаружить больше чем ( ошибок, если мы пойдем на компромисс по исправляющей способности кода. Например, код с д„,„= 7 может исправить ( = 3 ошибки. Если мы желаем обнаружить четыре ошибки, мы можем это сделать, уменьшив радиус сферы вокруг каждого кодового слова с 3 до 2. Таким образом, обнаруживаются образцы с четырьмя ошибками, но только образцы с двумя ошибками исправляются. Другими словами, если возникнут только две ошибки, они исправятся, а если возникнут три или четыре ошибки, приемник может запросить повторение. Если возникают более чем четыре ошибки, они останутся необнаруженными, если кодовые слова попадают внутри сферы радиуса 2.
Аналогично, зад Поскольку имеется М=2' возможных передаваемых кодовых слов, имеется 2" непересекающихся сфер, каждая с радиусом / . Общее количество кодовых слов, включенных в 2" сферах, не может превышать 2",возможных на приеме кодовых слов. Таким образом, код, исправляющий 1 ошибок, должен удовлетворять неравенству 2" Я)< 2" или, что эквивалентно, а '~~(н) ю 0 (8.1.83) Р, > '>, Р~~п,п~~ л-й-2 (8.1.84) является нижней границей. Более точную меру качества для квазисовершенных кодов можно получить, используя неравенство в (8.1.83). Общее число кодовых слов„исключая 2" сфер радиусом ~, равно с М„, =-2"-г"Я~,").
г=в Если эти кодовые слова поровну разделить на 2" наборов и каждый набор связать с одной из 2' сфер, тогда число кодовых слов в каждой сфере увеличивается на Р 2е-й '~ ~и) ю=0 (8.1.85) Совершенный код имеет свойство, что все сферы с радиусом г =!. (д„„,, — 1)) вокруг М = 2' возможных к передаче кодовых слов разъединены и каждое принимаемое кодовое слово попадает в одну из сфер. Таким образом, каждое принимаемое кодовое слово самое большее находится на расстоянии г от возможных к передаче кодовых слов, и в (8,1,82) выполняется знак равенства. Для такого кода все образцы ошибки с весом, меньшим или равным /, исправляются оптимальным декодером.
С другой стороны, образцы ошибки весом !+1 или большим не могут быть исправлены. Следовательно, выражение для вероятности ошибки, даваемое (8.1.82), выполняется со знаком равенства. Код Голея (23,!2), имеющий с/,„= 7 и / = 3, является совершенным кодом. Коды Хемминга, которые имеют три параметра п=2" ' — 1, И„,„= 3 и ~=1, также совершенные коды. Зти два нетривиальных кода и тривиальный (и,1) код, состоящий из двух кодовых слов с нечетным числом символов п единиц и нулей, причем И,„= и, являются единственными совершенными двоичными блоковыми кодами. Эти коды оптимальны в ДСК в том смысле„что они приводят к меньшей вероятности ошибки декодирования среди всех кодов.
имеющих ту же длину блока и то же число информационных символов. Оптимальные свойства, определенные выше, имеют место и для квазцсоаершеяных кодов. Квазисовершенный код характеризуется свойством, что все сферы с радиусом Хемминга ( вокруг М возможных к передаче кодовых слов не пересекаются, и каждое принимаемое кодовое слово находится самое большее на расстоянии 1+1 от возможных к передаче кодовых слов. Для такого кода все образцы ошибок с весом, меньшим или равным ~ и некоторые образцы ошибок весом г+1 исправляются, но ни один образец ошибки весом ~+2 или больше не исправляются в кодовом слове. Ясно, (8.1.82) является для этих кодов верхней границей для вероятности ошибки, а л (8.1.88) (8.1.91) Конечно, (8.1.90) — более плотная граница, чем (8.1.91).
В разделе (8.1.6) мы сравним различные границы, данные выше, для конкретного кода, а именно кода Голеи (23, 12). Дополнительно мы сравним характеристики качества при декодировании жестких и мягких решений. кодовых слов, имеющих расстояние ~+! от переданных кодовых слов. Как следствие, от (л образцов ошибок с расстоянием ~+1 от каждого кодового слова мы можем исправить !3„, образцов ошибок. Таким образом, вероятность ошибочного декодирования квазисовершенного кода можно выразить так: ~(п 3 Р, = ~~~ Р(пг,п)+~~ ) — !Зьч р" (1 — р) (8 1.86) Имеется много известных квазисовершенных кодов, хотя они не существуют для всех наборов п и Й.
Поскольку такие коды оптимальны для двоичного симметричного канала, то любой (и, М) линейный блоковый код должен иметь вероятность ошибки, которая, по крайней мере, принимает значение (8.1.86). Следовательно, (8.1.86) является нижней границей вероятности ошибки декодирования для любого линейного блокового кода (л, Ф), где ~ — наибольшее целое, так чтобы 13,,, ~ О, Другую пару значений для верхней и нижней границ можно получить, рассматривая лва кодовых слова, которые отличаются на минимальное расстояние. Сначала заметим, что Р„не может быть меньше, чем вероятность ошибочного декодирования переданного кодового слова в ближайшее кодовое слово, которое имеет расстояние Н от переданного кодового слова.
Т.е. Га .'3 Р„. Х ~-.);(1-р)-= (8.1.87) ю=( к ,.„/ам С другой стороны, Р,„не может быть больше, чем умноженная в М вЂ” 1 раз вероятность ошибочного декодирования переданного кодового слова в ближайшее кодовое слово, которое имеет расстояние д„,„от переданного кодового слова: Р, <(М вЂ” 1) ~ р"(1 — р) =Г 2„/2!н Когда М велико, нижняя граница (8.1.88) и верхняя граница (8.1.87) весьма далеки ална от другой. Г!лотную верхнюю границу для Р„ можно получить, используя границу Чернова, представленную раньше в разделе 2.1.6. Предположим снова, что передается кодовое слово из одних нулей. При сравнении принимаемого кодового слова с кодовым словом из одних нулей и с кодовым словом веса в вероятность ошибки декодирования, полученная из границы Чернова (задача 8.22), ограничена сверху выражением Р, (в2 ) < [4р(1 — р)1 (8.1.89) Объединение вероятностей двоичных решений ведет к верхней границе Р ~ ~~2 [4р(1 — р)) (8.1.90) Более простую версию (8.1.90) можно получить, если взять 22 „вместо распределения весов.
Т.е. 389 .!'„~1 )Р (! — Р) =!-~~ )! (! — Р1 (8.1.92) где р — вероятность ошибки двоичного элемента в двоичном симметричном канале Предполагается, что для передачи двоичных элементов кодового слова используется двоичная (или четверичная) ФМ и осуществляется когерентная обработка в месте приема. При этих условиях соответствующее выражение для р дано в (8.1.13). Дополнительно к точному выражению для вероятности ошибки, даваемое (8.1.92), мы имеем нижнюю границу, даваемую (8.1.81) и три верхние границы, даваемые (8.1.88), (3.1.90) и (3.1.91).
Численные результаты, полученные пз этих границ, сравниваются с точным значением вероятности ошибки на рис. 8.1.12. 1О- 5 2 й й 1О-У Ю 5 О В 2 1О -' Х 2 О 1О-! % 5 1О- 5 1а О 2 4 6 8 1О 12 14 Осш ня бит, уа (дьэ Рис. 8.1.12. Сравнение граничных н точных значений вероятности ошибки дяя декодированн» х!есткнх решений для кода Говея (23,12) Видим, что нижняя граница очень свободная При Р„= 10 ' нижняя граница отличается примерно на 2 дБ по сравнению с точным значением вероятности ошибки. При Р„, =10' разница увеличивается примерно до 4дБ. Из трех верхних границ наиболее плотная та, которая определяется (8.1.83); она отличается меньше, чем на 1дБ по сравнению с точным значением вероятности ошибки при Р, =10 '. Граница Чернова (8.1.90), которая использует распределения весов, также относительно плотная.
Наконец, 390 8.1,6. Сравнение качества декодирования жестких и мягких решений Интересно и поучительно сравнить . границы характеристик качества линейных блоковых кодов в канале с АБГШ при декодировании мягких и жестких решений. Для иллюстрации мы используем код Голея (23, 12), который имеет относительна простое распределение весов, данных в таблице 8.1.1. Как было констатировано раньше, этот код имеет минимальное расстояние у~ „= 7. Сначала мы рассчитаем и сравним границы вероятности ошибки при декодировании жестких решений.
Поскольку код Голея (23, 12) является совершенным, точное выражение для вероятности декодирования г жестких решений равно 2 '. 10- 5 р 2 с й 8 )сга 5 о и н 10-4 8 5 й и 10' 5 10' 0 2 4 6 8 Ц) 12 14 осш па бпт, яа Огв) Рис. 8.1.13. Сравнение декодирования мнгкия и жестких решений ддя иода Годен 123,12) граница Чернова, которая использует только минимальное кодовое расстояние, наихудшая из трех. При Рм =10 ' она отличается отточного значения вероятности ошибки примерно на 2 дБ. Все три верхние границы очень неточные для значений вероятности ошибки выше 10-з Интересно также сравнить характеристики качества при декодировании мягких и жестких решений. Для этого сравнения мы используем верхние границы для вероятности ошибки при декодировании мягких решений, даваемые (8.1.52), и точное выражение для вероятности ошибки для декодирования жестких решений, определяемое (8.1 92). Рис. 8.1.13 иллюстрирует эти характеристики качества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
