Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 157
Текст из файла (страница 157)
Сравните с вышеприведенными приемниками. (Найдите предельную форму приемника, минимизирующего вероятность ошибки, для А»1, а' -+О н произвольного В. Сравните с вышеприведенными приемниками. 15.11. В чистой системе Алоха канальная битовая скорость передачи равна 2400 бнт/с.
Предположим, что каждый терминал передает в среднем 100 бнт сообщений. а Определите максимальное число терминалов, которые можно использовать в канале. Ь повторите (а), если используется шелевая А1.ОНА. 15.12. Определите максимальный входной график для чистой А1.ОНА и протокол для шелевой ЛЕОНА. 260 15.13. Дла пуассоновского процесса вероятность появления й событий на интервале Т равна ь)=~, =;. а Определите среднее число появлений событий на ннтервале Т .
Ь Определите дисперсию о' чнсяа появлений событнй на интервале Т . с Какова вероятность того, что на ингервале Т произойдет хотя бы одно появление собьггня. й Какова верояпюсть того, что произойдет точно дано появленне сабытня. 1514. Обратитесь к задаче15.13. Средняя скорость появления пакетов равна 1.=10 пакетов/с. Опредеявте: а Среднее время между появлениями пакетов. Ь Вероятнасть того что другой пакет появвтся в пределах 1 с, 100 мс. 15.15. Рассмотрите чистую систему А1.ОНА, которая работает с прохдднмосгью 0=0,1, а пакеты генерируются по закону Пуассона с интенсивностью (скоростью) появлення Х .
Определите: а Нелнчнну Х. Ь Среднее число попыток передачи для отправки пакета. 15.1б. Рассмотрнте систему СЯМА/СР в которой скорость передачи по трассе равна 20 Мбнт1с. Трасса имеет длину 2 км н задержку прн распространеннн 5 мкс/мм. Пакеты имеют по 1000 бит. Опреаелите: аЗадержкунзконпавконец г . Ь Длину пакета Т . сОтношенне а=т,(Т . й Максимальное использование трассы н максимальную скорость передачи символа. АЛГОРИТМ ЛЕВИНСОНА-ДУРБИНА Алгоритм Левинсона-Дурбина — рекуррентиый метод первого порядка для определения решения системы линейных уравнений Ф„а„= ф„, (А. 1) где Ф вЂ” р х р матрица Тепшща, а „- вектор коэффициентов предсказания, выраженный так т ,=1 „,з — „1 а ф — р-мерный вектор с элементами г ф р (ф(1) ф(2) ф(р)) Для предсказания первого порядка (р= 1) имеем решение Ф(о) „= Ф(1) ап = ф(1)/ф(О).
Остаточный средний квадрат ошибки (СКО) для предсказателя первого поряшст ~ = ф(О)- пф(1)= Ф(О) —,',Ф(О) = Ф(Оф — а;-,). (Аз) В общем, мы можем выразить решение для коэффициентов предсказателя Ш-го порядка через коэффициенты (пт — 1) -го. Так мы выразим а как сумму двух векторов, именно а, а (А.4) где вектор д, и скаляр 1г надо определить. Таким образом, Ф„можно выразить так ~:ф-1 (А.б) ф"„,. :Ф(о) где ф', как раз вектор ф, в обратном порядке, Теперь Ф,: ф", а„, (А.б) ф'„,. :Ф(о) о Из (А.б) мы получаем два уравнения. Первое — это матричное уравнение Ф ча, +Ф„,г(„.,+к„ф'„ч =ф Но Ф,а„, = ф„, . Следовательно, (А.7) упрощается: (А.7) Ф„,д„., +я„ф', = О.
Зто уравнение имеет решение т$„, = -1г„Ф„',,ф', (А.Я) (А.9) 762 Но ф", равно ф„, в обратном порядке. Следовательно, решение (А.9) равно а, в обратном порядке, умнвкенном на -фг . Это значит аа-! ю-! з (А.10) ааа-! ! Второе уравнение, полу иемое из (А.6), - скалярное уравнение ф',а, +ф' фг1„, +ф(0)фг„= ф(т).
(А.11) Мы исключаем Й„! из (А 11), используя (А. 10). Окончательное уравнение дает нам л, то есть ф -ф' а ф() ф' а ф(~) ф' а '- ф10) Ф„,ф-,ф., ф10)-а.,ф., где е' ф-остаточный СКО, определяемыйтак В ! =ф(О) — а',ф„,. (А.13) Подстановкой (А.10) для м ! в (А.4) мм полу ием рекуррентное соотношение первого порядка а„„=а „вЂ” А„а„! ф, и=1,2,...,т-1, т=1,2,...,р (А.!4) Минимум СКО можно также вычислить рекуррентно. Мы имеем В„= ф(О)-"! а„,ф(1г), (А.15) Ьа! Используя (А. 14) в (А.15) мы получим В„=ф~О~-Яа ффф®-а„„~ф(т)-~>,а фм,ф® .
(А.16) ф=! фа! Но слагаемое в кюфаратных скобках в (А.16) — зто и есть числитель дла 1г„в (А.12). Следовательно, В =В -а' а =В (1-аз ). (А.17) ПРИЛОжение ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ДЛЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ !. о=~1~~х,~'+вЦ'+сх„у;+с х„у,) (В. 1) 763 В многоканальных системах связи, которые используют двоичные сигналы для передачи инферналии по каналу с АБГШ, величины для решены у дегекгора можно выразить как частный случай обшей квадратичной формы через комплексные гауссовские случайные переменные, А, В и С являются константами; Х и У,— пара коррелированных гауссовских случайных величин. Для рассматриваемых каналов Ь пар (Х„у )— статиспгчески взаимно независимы и одинаково распределены.
Вероятность ошибки определяется вероятностью того, что 0 < О. Зта вероятность вычисляется ниже. Вычисления начинаются с характеристической функции, обозначаемое »р (рз), общей квадратичной формы. Вероятность того, что 0 < О, обозначаемое здесь как вероятность ошибки Р,, равна Р =Р(0<0)" — ") р(0)»0, (В.2) где Р(0) — ФПВ для 0 связанна с 2Р„()о) преобразованием Фурье, то есть Р(0)= — ~ 2)2„()о)е 2'л»(о. Следовательно, 1 г" Рь = ~ 2(0 — ~ 2)»р ()о)е "~ 27о, (В.З) 2я— Переменим порядок интегрирования и сначала выполним интегрирование по 2'.) . В результате получаем 22у' ж +2» о где малое положительное число Н введено для того, что сдвинуть путь интегрирования от точки сиигулярности о = О.
Оио должно быль положительным для того, чтобы было возможным меюпь порядок интегрированна. Поскольку 0 является суммой статистически независимых случайных переменных характеристическая функция 0 определяется произведением Ь характеристических функций, причем каждая функция соответствует индивидуальным случайным переменным 22», где 22» =А~Х»~ +В(У ) +СХ»У» +С Х»У„.
Характеристическая функция с2» равна 2 О2О2 2 22 22 ми +2 22. ф, ()о) = ехр (В.б) (о+/о2)2(о-7'о ) ' ~ (о+/о,)(о — )о») где параметры о,, о,, и2 н а2» зависят от средних Х» и у» и вторых (центральных) моментов 22„„2»п, и )2„, комплексных гауссовских величин Х» и У через следующее определение (С~ -АВ > О): (В.4) О2— — „=22< -АВ)(~2,) > )У( н„-»~У 1 -2;,У < ) 2В62 ж, =А)Х»~ +ф»~ +СХ1У»+С'Х»У»; )2, =зЕ~(Մ— Х»)(у, -у»Ц Теперь, как результат независимоспг случайных величин 22», характеристическая функция 0 равна (о+ )о )2(о — »о )» ~ (о+р»,до — р»,) ~ где мм, 2»2 = ) ж2» »=2 »=! Результат (В.7) подставляется для 2)»о()о) в (В.4) и мы получаем ех 229 ~- + ° о(о+р»,)'(о-р»,)" ~ (о+уо2Хо-уо2) 2 Этот инте»рал вычисляется следующим образом.
Первый шаг сводится к выражению экспоненциалыюй функции в виде е -А,+ — ~ — — — ' —, причем можно легко проверип,, что константы А„А, и А, определяются так: А, =сбго,ог; Аг —— — ~г-(а,о, +сбгд А„= — ~-г — (сбгог-аг) о'о о ог (ВАО) о,+о, о,+ог Ва втором шаге выполняется конформное преобразование из о-плоскости в р-пласкостыюсреаствобг преабразаваибш переменной ~~О- /о~ Р= ого+ 1о, В р-лжгскостн интеграл (В.р) приводится к выражению (БАЦ ,) 1(р) (р, (В.12) рг (1 + ог бог У где ~ь) 1гЫ ~гй"' ь(ььЬ,~~" Ы р'(1-р) 1 "+" "+ ~Г а Г- круговой контур радиуса меньше единицы включает начало координат. Трегнй шаг сводится к вычислению интеграла Для того, что облегчить последующие выкладки, вводятся константы а > О и Ь > 0 г АД" ~~~Д г ~Аог1оД ,ь = ог +об ог+о Выразим также функцию (1+(о,1о,)р)' ' как бинамнальнмй ряд.
В результате получаем (ВАЗ) (В.14) (В.15) ' ( у(рбФр т( )(~) 1 ( -гг — р(~~,ь'р)шр (В.)Ь) Контурный интеграл в (В.!б) явлается одним из представлений функции Бесселя. Его можно разрешить. используя соотношение — 'й / ~„, юр(~,в*р)ь — 'Н) р г( ',,ь*р~ир, 1„(аЬ) = где 1„(х)-модифицированная функции Бесселя л-га порядка первого рода.
Представление О-функции Маркума в ряд функций Бесселя имеет вид г,бь).~гГб('м'1,ф г„~ь1 .бк Рассмотрим сначала случай 0 ь к ь 1, -2 в (В.16). В этом слу ше результирующий контурный интеграл можно записать в фармег ! Зтат контурный интеграл связан с обобщенной функцией Маркума, определяемой так: О (а,Ь)=) х(х1ба) 'ехр~-~(х +а')~7,(ак)бй, т>1, или д 2 О (а,Ь)ехрЦх'+аг)]= — ~ ехр д — +зг Ь'р 1з.
2гд г 1г'"(1 р) и ° ° (В. 19) "(" '](-] -"(''Ь вЂ” '"' .Тьиь)~( ).[(-) (~) -~-'Д" ] ] ~ь и (В.22) Поскольку о„о„и, и и, определяются (В.б) и (В.8) непосредственно через моменты пар Хь н У„ наша задача завершена. 1 ь 2 ь 1-ь/ — ехр~~ — +';Ь р]ь1р=Я(а,Ь)ехр(ьь(а'+Ь*)]+ ~) ~ — 1„(аЬ). (В.17) Далее, рассмотрим слагаемое Ь = Ь вЂ” 1. Результирующий контурный интеграл может быль выражен через Д-функцию так: — ьь"~~р=у,ьь~ рьь*.ь'1 1 г 1 Яа (В.18) 2рз" р(1-р) Р(, р Накопал.
рассмотрим случай 1, ь Ь ь 2Ь -1. Имеем ьь гг (ь 2 — — ехр~~ — +ььЬ рддр=~ — )г р ехр~-~ — +~-Ь р др= гщ)1-ряр( р " ~ ~2д1 ' [ р ( — ~ 1„(аЬ)=Я(а,Ь)ехр(,'-(а +Ь )))- ') 1„(аЬ) ~ь Собирая слагаемые, указанные в первой части (В.16), и используя результаты, даваемые (В.17)-(В.19). получаем после некоторых преобразований следующее выражение для контурного интеграла ь '121 — 1т ь — )г 1(р)ф= 1+ — ~-] [ехрВ(а'+Ь'~Я,(а,Ь)-1ь(аЬ))+1ь(аЬЦ ][ — ь] + 2я/' о) .,~'И 2" (" '][(-'П Н-'и-') ] Уравнение (В.20) в соединении с (В.12) дает результат для вероятности ошибки.
Следует дальнейшсе упрощение, если использовать следующее тождество, которое можно легко доказать е — ь-~(-2а,о,о, -а,о, -а,о,) =ехр~-ь~а +Ь 11. оо гг Л (о~+о*)' Таким образом„следует, что Р =Яа,Ь)-1ь(аЬ)ехД-'ь(аь+Ьь)~+ 1,(аЬ ехр — ь а'+Ь' а ь=ь а и, Р, = Я(а,Ь)- — т — ' — 1ь(аЬ)ехр~ — ьь(а'+Ь'Я11 (1 = 1). ь ~ ~ ь Это несть искомое выражение для вероятности ошибки. Теперь несложно связать параметры а и Ь с моментами пары (Хь, 1' ). Подставив выражения для А, и А, из (В.10) в (В.15), получаем Мь ш а= г' 1 г '1«, 1 Ь= (о, +оь)ь (о, +о,)ь ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ДЛЯ АДАПТИВНОГО ПРИЕМА М-ФАЗНЫХ СИГНАЛОВ В этом приложении мы определим вероятности ошибки для двух- и чепярехфазовых сигналов прн передачи по неизменному во времени каналу с алдинвным белым гауссовским шумом при Е-кратном разнесении н для М-фазовых сигналов по каналу с релеевскими замираниями и адагпивным белым гауссовским шумом с Е кратным разнесением.
Оба канала искажают передаваемые сигналы путем введения адднтивного белого гауссовского шума и случайного мультнпликлпшного ослабленна и фазового сдвига в сигнале. Обработка сипшла в приемнике состоит из нахохгдснил взаимной корреляции сигшла в смеси с шумом, принимаемого в каждой ветви разнесения, с опорным сигналом, получаемым нли от предыдущего принятого информационного сигнала, или от пилот-сипяша.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
