В.С. Гаврилов - Учебно-методическое пособие - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения (1248983), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Начальная скорость равна нулю. Построить про-kc, k = 0,8 . Найти формулы,2aопределяющие закон движения точки струны с координатой x0 ,с0 < x0 < .2филь струны для моментов времени t k =2. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением,имеющим форму квадратичной параболы (рис. 4.9). Найти формулы длярешения Даламбера при всех x и t , если начальная скорость равна нулю.Рис. 4.9. Начальное отклонение струны в задаче 23.
Неограниченной струне на отрезках − c < x < c и 2c < x < 3c сообщенапоперечная начальная скорость V0 , вне этих отрезков начальная скоростьравна нулю. Начальное отклонение отсутствует. Построить профильkc, k = 0,6 . Найти формулы, описы2a2cвающие профиль струны в момент времени t0 >.aструны в моменты времени t k =4. Пусть в задаче Коши (2.1)–(2.3) начальные функции имеют вид:ππ⎧⎧xxVx<<cos,,,,⎪⎪ 022ϕ ( x) = ⎨ψ ( x) = ⎨ππ⎪ 0, x ≥ ,⎪ 0, x > .⎩⎩22Найти формулы для решения Даламбера при всех x и t .245. Задача Коши для неоднородного волновогоуравненияСформулируем задачу Коши для неоднородного волнового уравнения:Найти функцию u = u ( x, t ) , удовлетворяющую неоднородному волновому уравнениюutt − a 2u xx = f ( x, t )(5.1)u t = 0 = ϕ ( x), − ∞ < x < ∞,(5.2)в области − ∞ < x < ∞, t > 0 и начальным условиямut t = 0 = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ .(5.3)Решать задачу (5.1)–(5.3) можно стандартным образом: сначала найтиобщее решение уравнения (5.1), а затем — удовлетворяющее начальным условиям (5.2), (5.3).
Возможен и другой подход. В силу линейности задачи, еёможно разбить на две, более простые, задачи:(1)2 (1)1) utt − a u xx = 0,u (1)ut(1)t =0t =0( 2)2 ( 2)2) utt − a u xx = f ( x, t ),= ϕ ( x),u ( 2)= ψ ( x);ut( 2)t =0t =0= 0,= 0.Непосредственной подстановкой можно убедиться, что функцияu = u (1) + u ( 2)(5.4)удовлетворяет начальной задаче (5.1)–(5.3). Решение первой задачи определяется формулой Даламбера.
Решение второй, используя результаты задания 2(№3, 4), можно записать с помощью формулы1 t x + a ( t − t ′)u ( x, t ) =(5.5)∫ dt ′ ∫ f (ζ , t ′)dζ .2 a 0 x − a ( t − t ′)На полуплоскости (ζ , t ′) интегрирование функции f (ζ , t ′) осуществляется по( 2)области, имеющей вид треугольника, ограниченного характеристиками, проходящими через точку ( x, t ) , и прямой t ′ = 0 (рис. 5.1).Рис. 5.1.
Область зависимости для точки ( x, t ) от правой части уравнения25В соответствии с формулой (5.4), решение задачи (5.1)–(5.3) имеет вид:11 x + atu ( x, t ) = (ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )) +∫ψ (ζ )dζ +22a x − at1 t x + a ( t − t ′)+∫ dt ′ ∫ f (ζ , t ′)dζ .2 a 0 x − a (t − t ′)(5.6)Формула (5.6) также называется формулой Даламбера.Задание 5.1. Решить задачи:21) utt − a u xx = sin ωt , u t = 0 = 0, ut t = 0 = 0;22) utt − a u xx = sin ωx, u t = 0 = 0, ut t = 0 = 0.2. Пусть ϕ ( x) ≡ 0 , ψ ( x) ≡ 0 , функция f ( x, t ) отлична от нуля в областиa < x < b, 0 < t < t0 , вне этой области f ( x, t ) ≡ 0 .
Указать на фазовойполуплоскости множество точек ( x, t ) , для которых u ( x, t ) ≡ 0 и множество точек ( x, t ) , для которых u ( x, t ) принимает постоянное ненулевое значение.3. Найти решение задач:utt − a 2u xx = sin ωt × σ (T − t ), u t = 0 = 0, ut t = 0 = 0;где⎧1, t > 0,— функция Хевисайда.0,t<0,⎩σ (t ) = ⎨6. Начально-краевые задачи для волнового уравнения наполуограниченной прямойРассмотрим задачу о распространении волн на полуограниченной прямойx ≥ 0.В этом случае классической начально–краевой (смешанной) задачейдля волнового уравнения называется задача о нахождении функции u ( x, t ) ,удовлетворяющей в первом квадранте Q = {x, t : x > 0, t > 0} уравнениюutt − a 2u xx = f ( x, t ),начальным условиямu t = 0 = ϕ ( x), x ≥ 0,ut t = 0 = ψ ( x), x ≥ 0,26(6.1)(6.2)(6.3)и граничному условию(α1u x − β1u ) x = 0 = μ (t ), t ≥ 0.Здесь f ( x, t ), ϕ ( x), ψ ( x), μ (t ) — заданные функции,(6.4)α1 , β1 — задан-ные неотрицательные константы, причем α1 + β1 > 0 .Классическим решением задачи (6.1)–(6.4) называется функцияu ( x, t ) , непрерывная вместе с первыми производными в замкнутой областиQ , имеющая производные второго порядка в Q , удовлетворяющая в Qуравнению (6.1), начальным условиям (6.2), (6.3) и граничному условию (6.4).Получим необходимые условия существования классического решениязадачи (6.1)–(6.4).
Пусть функция u ( x, t ) имеет непрерывные производные2второго порядка в области Q . Тогда функция utt − a u xx непрерывна в области Q . Поэтому для того, чтобы функция u ( x, t ) обращала уравнение (6.1) втождество по переменным ( x, t ) ∈ Q , необходимо, чтобы f ( x, t ) также быланепрерывна в области Q ( f ( x, t ) ∈ C (Q ) ). Так как классическое решениеu ( x, t ) ∈ C1 (Q ), то u ( x,0) ∈ C1 ( x ≥ 0) . Поэтому после подстановки u ( x, t ) вусловие (6.2) получим тождество по переменной x , только, еслиϕ ( x) ∈ C1 ( x ≥ 0) . Аналогично, из условий (6.3),(6.4) получим, чтоψ ( x) ∈ C ( x ≥ 0), μ (t ) ∈ C (t ≥ 0) . Кроме условий гладкости, должно выполняться условие согласования начального (6.2) и граничного (6.4) условий. Последнее обстоятельство связано с тем, что в точке x = 0, t = 0 задано и начальное, и граничное условие.
Полагая в начальном условии (6.2) x = 0 , найдемu t = 0 = ϕ (0) ,(6.5)x =0После дифференцирования по x левой и правой частей соотношения (6.2) ,подставим x = 0 . В результате получимu x t = 0 = ϕ ′(0) ,(6.6)x =0С другой стороны, комбинациюничного условия (6.4)α1u x − β1u в точке (0,0) можно найти из гра-(α1u x − β1u ) x = 0 = μ (0) .t =0(6.7)Из формул (6.5)–(6.7) следует условие согласованиеα1ϕ ′(0) − β1ϕ (0) = μ (0) .(6.8)Таким образом, для существования классического решения задачи(6.1)–(6.4) необходимо, чтобыf ( x, t ) ∈ C (Q ), ϕ ( x) ∈ C1 ( x ≥ 0), ψ ( x) ∈ C ( x ≥ 0), μ (t ) ∈ C (t ≥ 0)и выполнялось условие согласования (6.8).27Если необходимые условия существования классического решения невыполнены, понятие решения следует расширить и ввести понятие обобщенного решения [5].Различные варианты решения начально-краевой задачи (6.1)–(6.4) методом характеристик продемонстрируем на примерах.Задача 6.1.
Найти решение начально-краевой задачи:utt − u xx = 6( x + t ) , x > 0, t > 0,(6.9)u t = 0 = sin x , x ≥ 0,(6.10)ut t = 0 = 0 , x ≥ 0,(6.11)(u x − u ) x = 0 = 1 + 9 t 2 + 1 t 3 ,4После приведения к каноническим переменным4t ≥ 0.(6.12)ξ = x − t ,η = x + tуравнение (6.9) примет вид3uξη = − η .2Проинтегрируем его3u = − ξη 2 + f (ξ ) + g (η )4и возвратимся к старым переменным3u = − ( x − t )( x + t ) 2 + f ( x − t ) + g ( x + t ) .(6.13)4Аргумент функции f ( x − t ) в первом квадранте Q принимает положительные, нулевые и отрицательные значения, а аргумент функции g ( x + t ) —только неотрицательные.
Поэтому функцию f (x) нужно найти при всех значениях аргумента − ∞ < x < ∞ , а g (x) только, если x ≥ 0 .Подставим общее решение (6.13) в начальные условия (6.10), (6.11)⎧ 3 3⎪− 4 x + f ( x) + g ( x) = sin x, x ≥ 0,(6.14)⎨ 33⎪ − x + f ′( x) + g ′( x) = 0, x ≥ 0.⎩ 4Из системы (6.14) найдем функции f (x) и g (x) при неотрицательных значениях аргумента1 3 1cx + sin x − , x ≥ 0,42211cg ( x) = x 2 + sin x + , x ≥ 0.222f ( x) =28(6.15)(6.16)Тогда11cf ( x − t ) = ( x − t )3 + sin( x − t ) − , x − t ≥ 0,42211cg ( x + t ) = ( x + t )3 + sin( x + t ) + , x + t ≥ 0.(6.17)222Подставляя функции f ( x − t ) и g ( x + t ) в (6.13), получим решение задачи вобласти x − t ≥ 0, t ≥ 0u = t 3 + 3xt 2 + sin x cos t .(6.18)Чтобы найти решение задачи в оставшейся части квадранта Q , функциюf (x) нужно определить при отрицательных значениях аргумента.
Для этоговоспользуемся граничным условием (6.12). После подстановки решения (6.13) вусловие (6.12) будем иметьВ силу (6.16)3 23t + f ′(−t ) + g ′(t ) − t 3 − f (−t ) − g (t ) =4495= 1 + t 2 − t 3 , t ≥ 0.4411cg (t ) = t 3 + sin t + , t ≥ 0,22231g ′(t ) = t 2 + cos t , t ≥ 0 .22(6.19)(6.20)(6.21)Подставив (6.20), (6.21) в (6.19), будем иметь11cf ′(−t ) − f (−t ) = 1 − cos t + sin t + , t ≥ 0.222После замены t = − z получим неоднородное линейное дифференциальноеуравнение первого порядка для функции f (z )1c1f ′( z ) − f ( z ) = 1 − cos z − sin z + , z ≤ 0.(6.22)222Частное решение неоднородного уравнения будем искать методом неопределенных коэффициентов в видеf ч ( z ) = M cos z + N sin z + P .(6.23)Подставляя (6.23) в уравнение (6.22) и приравнивая коэффициенты при подобных членах, найдемc1M = , N = 0, P = −1 − .22Общее решение неоднородного уравнения (6.22) равно сумме общего решениясоответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородногоуравнения29Отсюда1cf ( z ) = c~e z + cos z − 1 − , z ≤ 0 .221cf ( x) = c~e x + cos x − 1 − , x ≤ 0 .22(6.23)Функция f (x) определяется различными выражениями, если x ≥ 0 и x ≤ 0(формулы (6.15), (6.23)) и должна быть непрерывна при любых x .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
