В.С. Гаврилов - Учебно-методическое пособие - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения (1248983), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Этот метод работает только в случаеоднородных граничных условий 1–го и 2–го рода. Рассмотрим пример с однородным граничным условием 2–го рода.36Задача 7.4. Решить задачу о колебаниях полуограниченной струны сосвободным концом x = 0 .Сформулируем начально-краевую задачу:utt − a 2u xx = 0, x > 0, t > 0,u t = 0 = ϕ ( x), x ≥ 0,(7.24)(7.25)ut t = 0 = ψ ( x), x ≥ 0,(7.26)ux(7.27)x =0= 0, t ≥ 0.Покажем, что решение начально-краевой задачи с однородным граничнымусловием 2–го рода совпадает с решением Даламбера1 ~1 x + at~~u ( x, t ) = [Ф( x − at ) + Ф( x + at )] +(7.28)∫ F (ζ )dζ ,22a x − at~~в котором функции Ф( x) и F ( x) являются четными относительно точкиx = 0 , а при x > 0 совпадают с ϕ (x) и ψ (x) соответственно, т.е.⎧ ϕ ( x), x > 0,⎧ ψ ( x), x > 0,~~Ф( x) = ⎨F ( x) = ⎨(7.29)⎩ϕ (− x), x < 0,⎩ψ (− x), x < 0.Функция u ( x, t ) , определяемая по формуле Даламбера, является решением~~уравнения (7.24) при произвольных функциях Ф( x) и F ( x ) , удовлетворяет начальным условиям (7.25), (7.26) в силу (7.29).
Покажем, что функция (7.28)удовлетворяет и граничному условию (7.27). Для этого продифференцируем(7.28) по переменной x :1 ~1 ~~~u x ( x, t ) = [Ф′( x − at ) + Ф′( x + at )] + [ F ( x − at ) − F ( x + at )]22aПодставляя в последнюю формулу x = 0 , получим1 ~1 ~~~u x x = 0 = [Ф′(−at ) + Ф′(at )] + [ F (−at ) − F (at )] .(7.30)22a~~Так как функции Ф( x) и F ( x ) являются четными,~~~~Ф(− x) = Ф( x), F (− x) = F ( x),а производная от четной функции является нечетной,~~Ф′(− x) = −Ф′( x),то из (7.30) следует, чтоuxx =0= 0.Задача 7.5. Полуограниченная струна со свободным концом x = 0 возбуждена начальным отклонением, изображенным на рис. 7.2.
Начальная ско-37рость равна нулю. Построить профиль струны в моментыtk =времениck, k = 1,7 .2aРис. 7.2. Начальное отклонение полуограниченной струныЗадача сводится к задаче 7.4, в которой0, 0 ≤ x < c,⎧⎪ h⎪⎪ ( x − c), c ≤ x < 2c,(7.31)ϕ ( x) = ⎨ ch⎪ (3c − x), 2c ≤ x < 3c,⎪c⎪⎩0, x ≥ 3c,ψ ( x) = 0, x ≥ 0.Функции ϕ (x) и ψ (x) следует продолжить на отрицательную ось четно:0, x < −3c,⎧⎪h⎪ (3c + x), − 3c ≤ x < −2c,⎪ ch⎪ (− x − c), − 2c ≤ x < −c,⎧ ϕ ( x), x ≥ 0, ⎪⎪ c~=⎨Ф( x) = ⎨(7.32)0, − c ≤ x < c,(−),<0,xxϕ⎩⎪ h⎪ c ( x − c), c ≤ x < 2c,⎪ h⎪ (3c − x), 2c ≤ x < 3c,⎪ c⎪⎩0, x ≥ 3c.~F ( x) = 0 .Решение Даламбера (7.27) принимает вид1 ~~u ( x, t ) = [Ф ( x − at ) + Ф( x + at )] .238(7.33)Для построения профиля струны в момент времени t k нужно построить графи-1~1~Ф( x − atk ), Ф( x + atk ) и их сложить. Сложение графиков сле22дует проводить только при значениях x > 0 (рис. 7.3).
В фиктивной областиx < 0 горбик, двигающийся влево, можно не рисовать. На рис. 7.3 стрелки укаcзывают направление движения горбиков. Если 0 < t <процесс распростраaки функцийнения волн происходит так же, как и на неограниченной струне. Заданное отклонение разбивается на две полуволны, движущиеся в разные стороны с постоянной скоростью a , причем это продолжается до тех пор, пока полуволна,идущая налево, не дойдет до точки x = 0 .Рис.
7.3. Последовательные положения струны через промежутки времени Δt =c2ac, начинается отражение от свободного конца. Заметим,aчто из фиктивной области x < 0 к точке x = 0 в этот момент времени подходитВ момент времени t =полуволна с такой же фазой. Отражение заканчивается в момент времени393c. Начиная с этого момента времени, две полуволны двигаются вправо сaпостоянной скоростью a .t=Задача 7.6. В условиях задачи 7.5 расписать формулы, описывающие закон движения точки струны с координатой x = 4c .Будем использовать фазовую полуплоскость ( x, t ) .
На оси x отметим~точки, при переходе через которые функция Ф( x) меняет свое аналитическоевыражение. Через эти точки проведем характеристики волнового уравнения,пересекающие прямую x = 4c (рис. 7.4). Найдем координаты точек пересечения характеристик с прямой x = 4c :c2c3c5c6c7cA(4c, ), B (4c, ), C (4c, ), D(4c, ), E (4c, ), F (4c, ).aaaaaaРис.
7.4. Интерпретация задачи 7.6 на фазовой полуплоскости ( x, t )Значения вторых координат этих точек определяют границы тех интервалов осиt , в которых функция u (4c, t ) имеет различные аналитические выражения.Возьмем, например, любую точку (4c, t0 ) на отрезке ВС и построим для нееобласть зависимости [ 4c − at0 ,4c + at0 ] . Здесь левый конец области зависимо-сти попадает в интервал (c,2c) , а правый 4c + at0 > 3c . Поэтому, в соответствии с формулами (7.33),(7.32), получимhh~Ф(4c − at0 ) = (4c − t0 − c) = (3c − t0 ),cc~Ф(4c + at0 ) = 0,2c3chu (4c, t0 ) = (3c − t0 ),< t0 < .2caaЗаменим t0 переменной t , тогдаh2c3cu (4c, t ) = (3c − t ),<t < .a2ca40Аналогично, рассматривая остальные отрезки прямой x = 3c , выпишем ответзадачиc 3c5c7c⎧ttt0,0≤<,≤<,≥,⎪a aaa⎪ch2c(at − c), ≤ t < ,⎪caa⎪hc23c⎪⎪(3c − at ),≤t < ,u (4c, t ) = ⎨caa⎪h5c6c(at − 5c), ≤ t < ,⎪caa⎪h6c7c⎪(7c − at ), ≤ t < .caa⎪⎪⎩Задача 7.7.
Полуограниченной струне с жестко закрепленным концомx = 0 сообщена начальная скорость, равная V0 на отрезке [c,2c] и нулю внеэтого отрезка. Начальное отклонение равно нулю. Построить профиль струны вмоменты времени t k =ck, k = 1,5.2aВыпишем соответствующую начально-краевую задачу:utt − a 2u xx = 0, x > 0, t > 0,u t = 0 = 0, x ≥ 0,⎧0, 0 ≤ x < c, x > 2c,ut t = 0 = ⎨⎩ V0 , c ≤ x ≤ 2c,u x = 0 = 0, t ≥ 0.Согласно методу продолжений (см. задачу 7.3) решение задачи определяется поформуле Даламбера1 x + at~u ( x, t ) =∫ F (ζ )dζ ,2a x − at(7.34)⎧0, x < −2c, − c < x < c, x > 2c,⎪~− V0 , − 2c ≤ x ≤ −c,F ( x) = ⎨⎪V0 , c ≤ x ≤ 2c.⎩(7.35)в которойЗдесь использовалось нечетное продолжение начальной скорости на отрицательную полуось x .
Введем функцию410, x < −2c, x > 2c,⎧⎪ V0⎪− ( x + 2c), − 2c ≤ x ≤ −c,x1⎪ 2a~F ( x) =Vc∫ F (ζ )dζ = ⎨− 0 , − c < x < c,2a − 2 c⎪2a⎪ V0( x − 2c), c ≤ x ≤ 2c.⎪⎩ 2aИспользуя функцию (7.36), решение (7.34) запишем в видеu ( x, t ) = F ( x + at ) − F ( x − at ) .(7.36)(7.37)Для построения профиля струны в момент времени t k нужно построить графики функций F ( x), − F ( x) . Затем график функции F (x) сдвинуть на at kвлево, а функции − F (x ) — на atk вправо и сложить графики при x > 0 . Нарис.
7.5 приведены последовательные положения струны в моменты времениtk .Рис. 7.5. Последовательные положения струны через промежутки времени Δt =В интервале времени 0 < t <c2acвозмущение от точки c не успевает досaтичь границы x = 0 , граничное условие не влияет на характер решения, процесс распространения волны происходит так же, как на неограниченной струне.42c2c<t <происходит процесс отражения от закрепленного конца.
Наaa2c, волна с профилем в виде равнобедреннойчиная с момента времени t =aтрапеции с постоянной скоростью a движется вправо.ЕслиЗадача 7.8. В условиях задачи 7.7 расписать формулы, описывающиепрофиль струны в момент времени t0 ,c3c< t0 < .a2aБудем использовать фазовую полуплоскость ( x, t ) (рис. 7.6). Временныекоординаты всех точек пересечения характеристик (рис.
7.6) разграничиваютразличные этапы распространения волнового процесса. В интервале времениc 3c( , ) , заданном в задаче, происходит первая половина отражения волны отa 2aзакрепленного конца.Рис. 7.6. Фазовая полуплоскость для задачи 7.8Возьмем точку x = x0 , 0 < x0 < −c + at0 на прямой t = t0 .
Левый конец области зависимости для точки ( x0 , t0 ) лежит в интервале ( −2c,−c) , а правый в интервале (c,2c) . Поэтому по формуле (7.36)V0( x0 − at0 + 2c),2aVF ( x0 + at0 ) = 0 ( x0 + at0 − 2c) .2aF ( x0 − at0 ) = −Учитывая формулу (7.37), найдем смещение струны в точке ( x0 , t0 )u ( x0 , t0 ) =V0x0 , 0 ≤ x0 < −c + at0 .aЗаменим x0 переменной x и перепишем:u ( x, t 0 ) =V0x, 0 ≤ x < −c + at0 .a43Перемещая точку ( x, t0 ) по прямой t = t0 и определяя для нее области зависимости, используя формулы (7.36), (7.37), найдемV0⎧x, 0 ≤ x < −c + at0 ,⎪a⎪V⎪ 0 ( x + at0 − c), − c + at0 ≤ x < 2c − at0 ,⎪ 2au ( x, t ) = ⎨V0c, 2c − at0 ≤ x < c + at0 ,⎪2a⎪ V0⎪− ( x − at0 − 2c), c + at0 ≤ x < 2c + at0 ,⎪ 2a0, x ≥ 2c + at0 .⎩До точек с координатой x > 2c + at0 в момент времени t = t0 возмущение ещене дошло.Задача 7.9.
Конец полуограниченной струны x = 0 двигается по закону1u x = 0 = sin 3t . Найти отклонения всех точек струны при t > 0 , если в на3чальный момент времени отклонения и скорости всех точек струны равны нулю.Начально–краевые задачи для однородного волнового уравненияutt − a 2u xx = 0, x > 0, t > 0,с нулевыми начальными условиямиu t = 0 = 0, ut t = 0 = 0, x ≥ 0,(7.38)и неоднородным граничным условием называются задачами о распространения краевого режима. Допишем граничное условие задачи 7.91u x = 0 = sin 3t , t ≥ 0 .3Решение задачи можно найти в виде прямой бегущей волныu ( x, t ) = f ( x − at ) .Подставляя (7.40) в условия (7.38), (7.39), получимf ( x) = 0, x ≥ 0,⎧⎪⎨ f (−at ) = 1 sin 3t , t ≥ 0.⎪⎩3Система (7.41) определяет функцию f (x) при всех значениях x :f ( x) = 0, x ≥ 0,⎧⎪⎨ f ( x) = − 1 sin 3 x , x < 0.⎪⎩a3Подставив функцию (7.42) в (7.40), получим решение задачи:44(7.39)(7.40)(7.41)(7.42)0, x − at ≥ 0,⎧⎪u ( x, t ) = ⎨ 1(7.43)xtsin3(),xat0.−−<⎪⎩ 3aВ фиксированный момент времени t возмущения от конца струны x = 0 , распространяющиеся со скоростью a , не дойдут до тех точек струны, координатыкоторых x ≥ at (рис.
7.7, a = 1 ). В тоже время отклонение струны в точкеx, x < at определяется отклонением конца струны в предшествующий моментxxвремени t − (эффект запаздывания). Здесь— время, которое требуетсяaaвозмущению, распространяющемуся со скоростью a , для того, чтобы пройтипуть от конца x = 0 до точки с координатой x .Рис. 7.7. График решения задачи 7.9 в фиксированные моменты времени t k =k, k = 1,52Задание 71. Полуограниченная струна, закрепленная в конце x = 0 , возбуждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на интервале (c,3c ) иимеющим форму ломаной с вершинами в точках c, 2c, 3c .
Построитьck, k = 1,7 . Расписать форму2a4c.лы описывающие профиль струны в момент времени t =3a2. Полуограниченной струне со свободным концом x = 0 сообщена начальная скорость, равная V0 на отрезке [c,2c] и нулю вне этого отрезка.профиль струны в моменты времени t k =45Построить профиль струны в моменты времени t k =ck, k = 1,7 . Распи2aсать формулы, представляющие закон движения точки струны с координатой x = 3c .3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
