В.С. Гаврилов - Учебно-методическое пособие - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения (1248983), страница 2
Текст из файла (страница 2)
utt − a u xx = 0, u t = 0 = 0, ut t = 0 = xe= cos x.1.3. utt − u xx = 0, u t = 0 = sin x, utt =02. Покажите, что решения двух задач:utt − a 2u xx = 0, u t = 0 = ϕ ( x), ut t = 0 = 0,vtt − a 2v xx = 0, v t = 0 = 0, vt t = 0 = ϕ ( x) ,21связаны между собой формулой u = vt для любой ϕ ( x) ∈ C ( R ) .3. Найдите решение задачи Коши:utt − a 2u xx = 0, − ∞ < x < ∞, t > t ′,u t = t ′ = ϕ (x) , ut t = t ′ = ψ (x).4. Пусть функция v( x, t , t ′) при каждом фиксированном t ′ ≥ 0является решением задачи Коши:vtt − a 2v xx = 0, v t =t ′ = 0, vt t = t ′ = f ( x, t ′) .tПокажите, что функция u ( x, t ) = ∫ v( x, t , t ′)dt ′ удовлетворяет неодно02родному уравнению utt − a u xx = f ( x, t ) , − ∞ < x < ∞, t > 0и нулевым начальным условиям u t = 0 = 0, u t t = 0 = 03.
Понятие области зависимости, области определенности,области влиянияВ задаче Коши (2.1)–(2.3) носителем начальных данных является ось x :t = 0, − ∞ < x < ∞ . Но, как следует из формулы Даламбера (2.10), решение задачи Коши в фиксированной точке ( x0 , t0 ) определяется значениями функцийϕ (x) и ψ (x) не при всех x , а только на отрезке [ x0 − at0 , x0 + at0 ] оси x .Действительно,911 x0 + at 0u ( x0 , t0 ) = (ϕ ( x0 − at0 ) + ϕ ( x0 + at0 )) +∫ψ (ζ )dζ .22a x0 − at 0Отрезок [ x0 − at0 , x0 + at0 ] называется областью зависимости решения в точке ( x0 , t0 ) от начальных данных.Построим область зависимости для фиксированной точки ( x0 , t0 ) на фазовой полуплоскости ( x, t ) .Прямые⎡ x − at = c1,⎢ x + at = c⎣2(3.1)называются характеристиками одномерного волнового уравнения.Найдем характеристики волнового уравнения, проходящие через точку( x0 , t0 ) . Чтобы выделить из семейств (3.1) нужные характеристики, подставимв (3.1) x = x , t = t и определим, что c1 = x0 − at0 , c2 = x0 + at0 .
Таким обра00зом, через точку ( x0 , t0 ) проходят две характеристики,x − at = x0 − at0 ,x + at = x0 + at0 .(3.2)(3.3)Характеристики (3.2), (3.3) пересекают ось x в точках с координатамиx0 − at0 и x0 + at0 , соответственно. Поэтому для построения области зависимости точки ( x0 , t0 ) достаточно построить характеристики, проходящиечерез эту точку. Характеристики вырезают на оси x отрезок[ x0 − at0 , x0 + at0 ] . На рисунке 3.1 область зависимости для точки ( x0 , t0 )выделена жирной линией.Рис.
3.1. Область зависимости для точки ( x0 , t0 )Пусть начальные функции ϕ (x) и ψ (x) известны на отрезке [ x1 , x2 ] .10Множество точек фазовой полуплоскости ( x, t ) , области зависимости которых принадлежат отрезку [ x1 , x2 ] , называется областью определенности.Во всех точках области определенности существует решение Даламбера(2.10). Кроме того, область определенности отрезка [ x1 , x2 ] — это максимальная область, в которой решение начальной задачи для однородного волновогоуравнения с начальными условиями, заданными только на отрезке x ∈ [ x1 , x2 ]начальной прямой t = 0 , существует, единственно и определяется по формулеДаламбера.
Сами начальные условия в этом случае записываются следующимобразом:u t = 0 = ϕ ( x), x ∈ [ x1, x2 ] ,ut t = 0 = ψ ( x), x ∈ [ x1, x2 ] .Чтобы построить на фазовой полуплоскости ( x, t ) область определенности отрезка [ x1 , x2 ] начальной прямой t = 0 , нужно через концы этого отрезкапровести характеристики волнового уравнения. Область определенности заключена между правой характеристикой, проходящей через левый конец отрезка начальной прямой, левой характеристикой, проходящей через правый конецотрезка, и самим отрезком прямой (рис.
3.2).Рис. 3.2. Область определенности отрезка [ x1 , x2 ]Из формулы Даламбера следует, что значения функцийϕ (x) и ψ (x) , за-данных при x ∈ [ x1 , x2 ] , влияют на значения решения u ( x, t ) не только в области определенности отрезка [ x1 , x2 ] , но и в области, ограниченной отрезком[ x1, x2 ] оси x и характеристиками x − at = x1, x + at = x2 . Эта область называется областью влияния отрезка [ x1, x2 ] (рис. 3.3). Действительно, для любой точки из области влияния область зависимости имеет непустое пересечениес отрезком [ x1 , x2 ] оси x .11Рис. 3.3. Область влияния отрезка [ x1 , x2 ]Задание 3.1. Укажите на фазовой полуплоскости ( x, t ) область, в которой решениеначальной задачи (2.1)–(2.3) не изменится, если изменить значенияначальных функций ϕ (x ) и ψ (x ) только на отрезке [ x1 , x2 ] .2.
Постройте область определенности для полубесконечного интервала[ x1, ∞) .3. Пусть начальные функции ϕ (x) и ψ (x) обращаются в тождествен-ный нуль, если x > c . Укажите на фазовой полуплоскости ( x, t ) область, в которой решение Даламбера также тождественно равно нулю.4. Задачи для бесконечной струныВ задачах о малых поперечных колебаниях струны u ( x, t ) — отклонение точек струны в момент времени t от положения равновесия (ось x ),u t ( x, t ) — скорость точек струны в момент времени t .
График функцииu ( x, t ) в фиксированный момент времени t представляет собой профильструны. Для однородной струны функция u = u ( x, t ) удовлетворяет уравнению (1), в котором a =T0 , f ( x, t ) = 1 ~f ( x, t ) . Здесь T0 — величина натяженияρρ~струны, ρ — линейная плотность струны, f ( x, t ) — линейная плотностьвнешней поперечной силы.~В этом параграфе рассматривается случай, когда f ( x, t ) = 0 . Такие колебания струны называются свободными. Так как в задачах о колебаниях струныразрывные решения лишены физического смысла, функция u ( x, t ) должна бытьнепрерывна.
Поэтому в задачах о колебаниях струны в качестве начального отклонения ϕ (x) можно взять любую непрерывную функцию, а начальной скорости ψ (x) — кусочно–непрерывную функцию.12Задача 4.1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на интервале ( −c, c ) и имеющим на плоскости ( x, u )форму ломаной с вершинами в точках (−c,0), (0, h), (c,0) . Начальные скороститочек струны равны нулю. Построить профиль струны для моментов времениtk = ck / 4a, k = 0,5 .По условию задачи начальные функции ϕ (x ) и ψ (x ) имеют вид:⎧ϕ ( x) = ⎨0, x > c,⎩h(1 − x / c), x ≤ c,ψ ( x) ≡ 0, − ∞ < x < ∞.(4.1)(4.2)С такими начальными функциями формула Даламбера (2.10) определяетобобщенное решение задачи (2.1)–(2.3).
Это решение для нулевой функцииψ (x) упрощается:1u ( x, t ) = (ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )) .2(4.3)На рис. 4.1 изображен профиль струны в моменты времени t k , k = 0,5 .Рис. 4.1. Последовательные положения струны через промежутки времени Δt =13c4aЧтобы построить график решения (профиль струны) в моменты времени t k ,согласно(4.3),нужнопостроитьграфикифункций1ϕ ( x − atk )2и11ϕ ( x + atk ) , а затем их сложить. График функции ϕ ( x − atk ) получается221сдвигом графика функцииϕ ( x) на величину atk вправо, а функции21ϕ ( x + atk ) на ту же величину влево.2Задача 4.2.
В условиях задачи 4.1 расписать формулу (4.3) при всех− ∞ < x < ∞, t > 0 .Чтобы получить требуемые формулы для функции u ( x, t ) , удобно пользоваться фазовой полуплоскостью ( x, t ) . В рассматриваемой задаче функцияϕ (x) в интервалах x < c, − c < x < c, x > c записывается различными аналитическими выражениями. На оси x фазовой полуплоскости ( x, t ) отметим границы этих интервалов, т.е. точки − c и c , и проведем через них характеристикиволнового уравнения. Эти характеристики разобьют полуплоскость на шестьобластей (рис. 4.2), в каждой из которых получится свое аналитическое выражение для функции u ( x, t ) .Рис.
4.2. Разбиение фазовой полуплоскости на 6 областейРассмотрим, например, область IV. Множество точек области IV задаетсянеравенствами⎧− c < x − at < c,⎨⎩ x + at > c.Поэтому, в соответствии с (4.1),14⎛ϕ ( x − at ) = h⎜⎜1 −⎝аx − atc⎞⎟⎟ ,⎠ϕ ( x + at ) = 0 .(4.4)(4.5)Подставляя (4.4), (4.5) в (4.3), получимx − ath⎛u ( x, t ) = ⎜⎜1 −2⎝c⎞⎟⎟ , ( x, t ) ∈области IV.⎠(4.6)Аналогично рассматриваются остальные области. В области II для любой точки ( x, t )⎧− c < x + at < c,⎨⎩ x − at < −c.Тогда из формулы (4.1) следует, чтоϕ ( x − at ) = 0 ,⎛ϕ ( x + at ) = h⎜⎜1 −⎝x + atc⎞⎟⎟ .⎠Поэтому в области II решением (4.3) является обратная волнаx + athu ( x, t ) = (1 −) , ( x, t ) ∈ области II.2cРассмотрим область VI,⎧ x − at > −c,⎪⎨ x + at < c,⎪ t > 0.⎩Для любой точки из этой области− c < x − at < c,− c < x + at < c .Согласно (4.1),⎛x − atc⎞⎟⎟ ,⎝⎠x + at ⎞⎛⎟⎟ ,ϕ ( x + at ) = h⎜⎜1 −c⎝⎠ϕ ( x − at ) = h⎜⎜1 −а решение (4.3) представляет собой суперпозицию прямой и обратной волнx − at x + athu ( x, t ) = ( 2 −−),2cc15( x, t ) ∈области VI.В задачах с нулевой начальной скоростью решение (4.3) в точке ( x, t ) зависитот значений функции ϕ (x ) только на концах области зависимости, т.е.
в точкахx − at , x + at . В данной задаче для любой точки из областей I, III, V концы области зависимости не попадают в интервал ( −c, c) , где функция ϕ (x ) отличнаот нуля. Поэтомуϕ ( x − at ) = 0 ,ϕ ( x + at ) = 0 ,u ( x, t ) = 0 , ( x, t ) ∈областям I, III, V.(4.7)Задача 4.3. В условиях задачи 4.1 найти формулы, представляющие закондвижения точки струны с координатой x0 > c , при всех t > 0 .В задаче требуется найти отклонение u ( x0 , t ) при всех t > 0 .
Для решения задачи воспользуемся ответами задачи 4.2. На фазовой полуплоскости( x, t ) (рис. 4.2) проведем вертикальную прямую x = x0 . Эта прямая пересекаетобласти V, IV, III (рис. 4.3) и делится характеристиками x − at = c, x − at = −cна три части. В каждой части прямой x = x0 решение задачи записывается одной из формул (4.6), (4.7).Рис. 4.3. Интерпретация задачи 4.3 в фазовой полуплоскости ( x, t )Найдем точки пересечения прямой x = x0x − at = c, x − at = −c . Для этого решим системы:⎧⎪ x = x0 ,⎧ x − at = c,⇒ ⎨ x0 − c⎨xx,=⎩0⎪⎩t = a ,⎧⎪ x = x0 ,⎧ x − at = −c,⇒ ⎨ x0 + c⎨xx,=⎩0⎪⎩t = a .16с характеристикамиФормулыдляфункцииu ( x0 , t )винтервалах0≤t <x0 − c,ax0 − cx +cx +c, t≥ 0будут различными. Подставляя в (4.6),(4.7)≤t < 0aaax = x0 , в соответствии с рисунком 4.3, запишем ответ задачи:x0 − c⎧t0,0≤<,⎪a⎪⎪ hx − at x0 − cx +c(4.8)u ( x0 , t ) = ⎨ (1 − 0),,≤t < 0caa2⎪x +c⎪0, t ≥ 0.⎪⎩ax −cЕсли 0 ≤ t < 0, то отклонение струны в точке x0 равно нулю.
В моментax −cвремени t = 0к этой точке подходит бегущая полуволна от точки c . Приax −cвозмущение в точке x0 становится ненулевым, до тех пор, пока чеt> 0aрез эту точку не пройдет полуволна из точки − c . Начиная с момента времениx +c, отклонение снова станет нулевым.t= 0aЗадача 4.4. Для задачи 4.1 найти формулы, описывающие профиль стру-c.aНа фазовой полуплоскости ( x, t ) проведем прямую t = t0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
