В.С. Гаврилов - Учебно-методическое пособие - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения (1248983), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В этом случае 3l ≤ − x ≤ 5l , и из формулы (9.17)следуетω ( x + 3l ) ⎞⎛ ω(x + l)g (− x) = − A⎜ sin+ sin⎟, − 5l ≤ x ≤ −3l .aa⎝⎠(9.18)С помощью соотношения (9.9) на этом интервале найдем функцию f (x) :ω ( x + 3l ) ⎞⎛ ω(x + l)f ( x) = A⎜ sin+ sin(9.19)⎟, − 5l ≤ x ≤ −3l .aa⎝⎠Таким образом, функция f (x ) определена уже на интервале ( −5l , l ) (см.формулы (9.12), (9.15), (9.10)), а функция g (x) — на интервале (0,5l ) (см.формулы (9.6), (9.13), (9.17)).
Продолжая использовать соотношения (9.9),(9.10), функцию f (x ) найдем при всех x ≤ −5l , а g (x ) — если x ≥ 5l . Используя метод математической индукции, можно показать, что при всехn = 0,1,2,... справедливы формулыnω ( x + (2k + 1)l )k =0af ( x) = A ∑ sin, − (2n + 3)l ≤ x ≤ −(2n + 1)l ,62(9.20)nω ( x − (2k + 1)l )k =0ag ( x) = A ∑ sin, (2n + 1)l ≤ x ≤ (2n + 3) .(9.21)Найденные функции следует подставить в общее решение (9.5). Для этогобудем использовать фазовую полуплоскость ( x, t ) . На оси x фазовой полуплоскости отметим точки x = ( 2k + 1)l , k = 0,±1,±2,... .Рис.
9.1. Фазовая полуплоскость для задачи 9.1Через точки, расположенные на отрицательной части оси x , проведем характеристики с положительным наклоном, а через точки, расположенные на положительной части оси x , характеристики с отрицательным наклоном. Эти характеристики разобьют полубесконечную полосу 0 < x < l , t > 0 на части, в каждойиз которых для решения задачи будет свое аналитическое выражение (рис.
9.1).Для того чтобы расписать решение в первой части полубесконечной полосы,x + at < l , t > 0, x > 0 ,определим расположение области зависимости любой точки из этой части. Таккак левый конец области зависимости попадает в интервал ( −l , l ) , а правый конец в интервал (0, l ) , тоf ( x − at ) = 0, g ( x + at ) = 0 .Подставляя эти значения в (9.5), получимu ( x, t ) = 0 .Рассмотрим вторую область,x + at > l , x − at > −l , x < l .Для любой точки из этой области левый конец области зависимости попадает винтервал ( −l , l ) , поэтомуf ( x − at ) = 0 ,а правый конец попадает в интервал (l ,3l ) , поэтому63g ( x + at ) = A sinТогда, в соответствии с (9.5),u ( x, t ) = A sinω ( x + at − l )aω ( x + at − l )Рассмотрим ( 2n + 3) -ю область ( n ≥ 0) :a..(9.22)x > 0,⎧⎪⎨ x − at < −(2n + 1)l ,⎪ x + at < (2n + 3)l.⎩Построим область зависимости решения для точки из этой области.
Левый конец области зависимости располагается в интервале ( −( 2n + 3)l ,−( 2n + 1)l ) , аправый в ((2n + 1)l , (2n + 3)l ) . Поэтомуnf ( x − at ) = A ∑ sinω ( x − at + (2k + 1)l ),aω ( x + at − (2k + 1)l )g ( x + at ) = A ∑ sin,ak =0n ⎛ω ( x − at + (2k + 1)l )ω ( x + at − (2k + 1)l ) ⎞u ( x, t ) = A ∑ ⎜ sin+ sin⎟=aa⎠k =0 ⎝ωx nl= 2 A sin(9.23)∑ cos ω (t − (2k + 1) ) .a k =0ak =0nДля любой точки из области под номером 2n + 2, (n > 0) левый конец областизависимости попадает в интервал ( −( 2n + 1)l ,−( 2n − 1)l ) , а правый — в интервал ((2n + 1)l , (2n + 3)l ) . Тогда, в соответствии с формулами (9.20), (9.21),(9.5), будем иметьn −1f ( x − at ) = A ∑ sinω ( x − at + (2k + 1)l ),ak =0nω ( x + at − (2k + 1)l )g ( x + at ) = A ∑ sin,ak =0n −1ω ( x − at + (2k + 1)l )u ( x, t ) = A( ∑ sin+ak =0ω ( x + at − l ) nω ( x + at − (2k + 1)l )+ sin+ ∑ sin)=aak =164ω ( x + at − l )ω ( x − l ) n−12(k + 1)l ⎞⎟) ⎟ .
(9.24)∑ cos ω (t −aa k =0a⎠⎝Вычисление сумм в формулах (9.23), (9.24) зависит от частоты ω . Частоты⎛= A⎜⎜ sinωm =+ 2 sinπmla, m = 1,2,3,...(9.25)называются собственными частотами колебаний струны.Если ω не совпадает с собственными частотами колебаний, то, используяформулу [8, 1.341(3)]n −1∑ cos( x + ky ) =n −1nyy ) sin22 ,ysin22n + 3 ( x > 0, x − at < −(2n + 1)l ,cos( x +k =0вобластяхснечетным номеромx + at < (2n + 3)l ), n ≥ 0) получим(n + 1)lω (n + 1)l) sinaaau ( x, t ) = 2 A,(9.26)ωlsinaа в областях с четным номером 2n + 2 ( x < l , x + at > ( 2n + 1)l ,x − at > −(2n + 1)l , n > 0)sinωxcos ω (t −(n + 1)lω (l − x)ωnl ⎞⎛sincos ω (t −) sin⎜⎟l−xaaa⎟ .(9.27))−2u ( x, t ) = A⎜ sin ω (t −lωa⎜⎜⎟⎟sin⎝⎠aπa. На основании свойств тригоРассмотрим частный случай, когда ω =2lнометрических функций формулы (9.26), (9.27) значительно упрощаются.
Дляобластей с нечетными номерами 4 s + 3, s ≥ 0 и 4 s + 5, s ≥ 0 будем, соответственно, иметьπx(9.28)sin ωt ,2lu ( x, t ) = 0 .(9.29)Для областей с четным индексом 4 s + 2, s > 1 и 4 s + 4, s > 0 , соответственноu ( x, t ) = 2 A sinполучимu ( x, t ) = 0 ,65(9.30)xu ( x, t ) = A cos ω (t − ) .(9.29)aФункции (9.26)–(9.29) не зависят от номера s , решение задачи является функ4l.
В первой области решецией периодической по переменной t с периодомaние равно нулю, во 2-й области решение определяется по формуле (9.22)xu ( x, t ) = − A cos ω (t + ) ,aв 3-й области решение имеет вид стоячей волны (9.27), в 4-й решение представляет собой прямую бегущую волну(9.30), в 5-й области решение опятьравно нулю.Задача 9.2. Рассмотреть случай, когда частота совпадает с одной из собственных частот колебаний струны: ω = ωm .0Решение задачи можно получить из формул (9.26),(9.27) предельным переходом приω → ωm0 .
Раскрывая неопределенность типапиталя, найдем, что в областях с нечетным номером 2n + 3u ( x, t ) = 2 A(−1) m0 (n + 1) sinв областях с четным номером 2n + 2u ( x, t ) = A(−1)m0ω m0 xa0по правилу Ло0cos ωm0 t ,ω m0 xx(sin ωm0 (t + ) + 2n sincos(ωm0 t )) .aa(9.31)(9.32)Из формул (9.31), (9.32) следует, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает с ростом n . Имеет место явление резонанса.Задание 9. Решите задачу о поперечных колебаниях струны, если к концуx = 0 приложена сила F (t ) = A sin ωt , а конец x = l — жёстко закреплён.
В момент времени t = 0 смещения и скорости точек струны равны нулю. Найти2lсмещения точек струны при 0 < t < .aОтветы к заданиям для самостоятельной работыЗадание 1.x2 y21.1.4+ f ( x) + g ( x). 1.2. f ( y )e1.4. f ( x + t )e ( x −t ) / 2 + g ( x − t ). 1.5. −2.x − at = x0 ,x + at = x0 .1ω2−x+ g ( x). 1.3.x2+ f ( x)e − 2 y + g ( y ).4sin ωt + f ( x + at ) + g ( x − at ) .66Задание 2.221 − ( x − at ) 21 − ( x − at ) 2(e+ e − ( x + at ) ). 1.2.(e− e − ( x + at ) ). 1.3.
sin( x + t ).24a11 x + a ( t − t ′)3. (ϕ ( x − a (t − t ′)) + ϕ ( x + a (t − t ′))) +∫ψ (ξ )dξ .22 a x − a ( t − t ′)1.1.4. [2, стр.47-48]Задание 3.⎧ x − at > x2 , ⎧ x + at < x1 ,1. ⎨⎨⎩t > 0;⎩t > 0.2. x − at > x1 , t > 0.⎧ x + at < −c, ⎧ x − at > c,⎧ x − at < −с,3. u ≡ 0, ⎨u ≡ const , ⎨⎨⎩ x + at > с.⎩t > 0;⎩t > 0;Задание 4.1.c−x⎧0;⎪0, 0 < t <⎪a⎪c−xc+x0 <t <0;⎪ 2h ( x + at − c),⎪ c0aa⎪2c − xc+x⎪h0 <t <0;⎪ (at − c),aa⎪c⎪2c − x2c + xh0 <t <0;u ( x , t ) = ⎪⎨ (c − x ),00aa⎪c⎪2c + x3c − x0 <t <0;⎪ h (3c − at ),⎪caa⎪3c − x3c + x⎪h0 <t <0;(3+−),cxat⎪0aa⎪ 2c⎪3c + x0.⎪0, t >⎪⎩a2.
[4, гл. II, §2, №53].673.⎧0, x < −c − at ;0⎪⎪v⎪ 0 ( x + at + c), − c − at < x < c − at ;000⎪ 2a⎪v c⎪ 0 , c − at < x < 2c − at ;⎪ 2a00⎪⎪ v0( x + at ), 2c − at < x < 3c − at ;⎪0002a⎪⎪ 3v cu ( x, t ) = ⎪⎨ 0 , 3c − at < x < −c + at ;0 ⎪ 2a00⎪v⎪ 0 (2c − x + at ), − c + at < x < c + at ;000⎪ 2a⎪⎪ v0 c, c + at < x < 2c + at ;⎪002a⎪⎪v⎪ 0 (3c − x + at ), 2c + at < x < 3c + at ;000⎪ 2a⎪0, x > 3c + at .⎪⎩0⎧ ⎧ππ⎧⎪0, ⎪ x + at < − 2 , ⎪ x − at > 2 ,⎨⎪ ⎨⎪⎩t > 0;⎪⎪ ⎩t > 0;⎪1v⎪ cos( x + at ) + 0 ( x + at + π ), x − at < − π , − π < x + at < π ;2a2222⎪2⎪⎪ππ4. u ( x, t ) = ⎨cos x cos at + v0 t , x − at > − , x + at < , t > 0;22⎪ππ⎪ v 0π⎪ 2a , x + at > 2 , x − at < 2 ;⎪⎪ 1 cos( x − at ) + v0 ( π − x + at ), − π < x − at < π , x + at > π .⎪22a 2222⎪⎩⎪Задание 5.1sin ωx1.1.
− 2 (sin ωt − ωt ) . 1.2. 2 2 (1 − cos ωat ) .a ωω⎧ x − at > x ,22. u ≡ 0, ⎪⎨⎪⎩t > 0;⎧⎪ x + at < x ,1 u ≡ const , x + at > x2 + at , x − at < x1 − at .⎨00⎪⎩t > 0;68⎧ 1⎪ 2 (ωt − sin ωt ), 0 < t < T ;3. u ( x, t ) ≡ ⎪⎨ω⎪ 1 (ωt − sin ωT + ω (T − t ) cos ωT ), t > T .⎪ω 2⎩Задание 6.⎧ x, x − t > 0, t > 0;1. u ( x, t ) ≡ ⎨⎩ x − sin( x − t ), x − t < 0, x > 0.⎧− 3 sin t + 3t , x − 3t > 0, t > 0;2.
u ( x, t ) ≡ ⎪⎨⎪⎩( x − 3t )3 − 3 sin t + 3t , x − 3t < 0, x > 0.⎧ x 2 + 4t 2 − sin x cos 2t + sin x, x − 2t > 0, t > 0;3. u ( x, t ) ≡ ⎪⎨ 3 x−2t 11− cos( x − 2t ) − sin( x + 2t ) + 4 xt − 2 x + 4t + sin x, x + 2t < 0, x > 0.⎪ e22⎩2Задание 7.1. [4, гл. II, §2, №59].c⎧h⎪ c x, 0 < x < 3 ;⎪⎪ h ⎛ x + c ⎞, c < x < 2c ;⎟⎪ 2c ⎜⎝3⎠ 33⎪⎪ h ⎛ 5c − x ⎞, 2c < x < 5c ;⎟⎪ 2c ⎜⎝ 33⎠ 3⎪7c⎛ 4 c ⎞ ⎪ 5c<x< ;u ⎜ x,⎟ = ⎨0,3⎝ 3 a⎠ ⎪ 3⎪h⎛7c ⎞ 7c10c⎪ 2c ⎜ x − 3 ⎟, 3 < x < 3 ;⎠⎪ ⎝⎪ h ⎛ 13c13c⎞ 10c⎪ 2c ⎜ 3 − x ⎟, 3 < x < 3 ;⎠⎪ ⎝⎪13c>0,.x⎪3⎩2. [4, гл. II, §2, №60].69c⎧0,0<<;t⎪a⎪⎪ v 0 (at − c ), c < t < 2c ;⎪ 2aaa⎪2c4c⎪v<t < ;u (3c, t ) = ⎨ 0 c,aa⎪ 2a⎪ v04c5c()−3,<<;atct⎪ 2aaa⎪5c⎪ v0()3,.−>atct⎪⎩ a3⎧0, x − t > 0, t > 0;3.1.
u ( x, t ) ≡ ⎪⎨ 1⎪ 9 (cos 3( x − t ) − 1), x − t < 0, x > 0.⎩⎧0, x − t > 0, t > 0;3.2. u ( x, t ) ≡ ⎪⎨ 3x−t ) + 1 sin 3( x − t ), x − t < 0, x > 0.⎪10 (cos 3( x − t ) − e10⎩Задание 8.x⎛at 1at ⎞1. sin ⎜⎜ cos − sin ⎟⎟.2⎝2 a2⎠⎧h ⎛l⎞l⎪ ⎜⎜ 3x − ⎟⎟, 0 < x < ;2⎠4⎪l ⎝⎪ ⎛l ⎞ ⎪ 4hl2 ⎞ l3l⎛2. u⎜⎜ x, ⎟⎟ = ⎨ ⎜⎜ xl − x 2 − ⎟⎟,<x< ;16 ⎟⎠ 44⎝ 4a ⎠ ⎪ l 2 ⎜⎝⎪3l⎪ 2h< x < l.⎪ (l − x),4l⎩3.
[6, стр.48–50].Задание 9.⎧⎪⎪⎪0, x − at > 0, t > 0, x < l;⎪ aA ⎛x ⎞⎞⎛⎜ − 1 + cos ω ⎜⎜ t − ⎟⎟ ⎟, x − at < 0, x + at < 2l , x > 0;u ( x, t ) = ⎪⎨⎜a ⎠ ⎟⎠⎝⎪ωT0 ⎝⎪ωω2l⎪ 2aAsin (l − at ) sin (l − x), x + at > 2l , x < l , t < .⎪aaa⎪⎩ωT0701.2.3.4.5.6.7.8.Список литературыТихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики:Учебное пособие для университетов. М.: Наука, 1966. — 724с.Арсенин В.Я.
Методы математической физики и специальные функции: Учебное пособие для студентов высших технических заведений.М.: Наука, 1984. — 383с.Владимиров В.С. Уравнения математической физики: Учебник длястудентов физических и механико–математических специальностейвысших учебных заведений. М.: Наука, 1981. — 512с.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учебное пособие для студентов университетов.
М.:Наука, 1972. — 687с.Сборник задач по уравнениям математической физики. Под редакцией Владимирова В.С.: Учебное пособие для студентов физико–математических специальностей высших учебных заведений. М.:Наука, 1982. — 254с.Комеч А.И. Практическое решение уравнений математической физики: Учебно–методическое пособие для университетов. М.: Изд-воМГУ, 1993. — 154с.Метод характеристик для решения волнового уравнения на плоскости: Методическая разработка. Составители: Денисова Н.А., Калинин А.В., Морозов С.Ф.
Изд-во ННГУ, 1992. — 35с.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов ипроизведений. М.: гос. Изд–во физико–математической литературы,1963. — 1097с.71Владимир Сергеевич ГавриловНаталья Андреевна ДенисоваМетод характеристик для одномерного волнового уравненияУчебно–методическое пособиеФедеральное бюджетное государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского».603950, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23.Подписано в печать . .2014. Формат 60x84 1/16.Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура Таймс.Усл. печ. л.Уч.-изд. л.Заказ N◦. Тираж 200 экз.Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситетаим. Н.И. Лобачевского603950, г.Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
