Потоковая 3 (2011) (1247257)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

РЕШЕНИЯ ПОТОКОВОЙ ПО АНАЛИЗУ16 мая 2011RRЗадача 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода Σ z dS по поверхности x = v, x = u sin v,y = u cos v,y = v, z = u sin v; z = u cos v;в обоих вариантах 0 6 u 6 1 и 0 6 v 6 π/2.√Решение. Воспользуемся формулой dS = EG − F 2 du dv. НаходимE = (ru , ru ) = 1,G = (rv , rv ) = 1 + u2 .F = (ru , rv ) = 0,Кстати, это считалось на лекции (по модулю замены букв).

ТогдаZ 1 pZZZ π/2u=1√u 1 + u2 du = 1 · 13 (1 + u2 )3/2 = 31 ( 8 − 1).sin v dv ·z dS =u=000ΣОтвет второго варианта тот же.Задача 2. Вычислить работу векторного поля(z, x, y)(y, z, x)вдоль линии (3 cos t, 3 sin t, t) от точки t = 0 до точки t = 2π.RРешение. Работа вычисляется криволинейным интегралом γ (f , dr). Находим скалярное произведение(f , dr) = (y ẋ + z ẏ + xż) dt = (−9 sin2 t + 3t cos t + 3 cos t) dt.Первое слагаемое вносит −9π в интеграл от 0 до 2π, а последнее даёт нулевой вклад. Среднее интегрируется почастям и также даёт нулевой вклад.Ответ: −9π.В первом варианте 3t sin t даёт ненулевой вклад помимо 9 cos2 t. Ответ: 3π.Задача 3.

Вычислить поток векторного поля(x + ez , y + ex , z + ey )(x + ey , y + ez , z + ex )через внешнюю поверхность телаx2 + y 2 6 R 2 ,0 6 z 6 x;x2 + y 2 6 R 2 ,0 6 z 6 y.Решение. По формуле Гаусса — Остроградского, искомый поток равен интегралу от дивергенции данного поляпо телу. Дивергенция равна 3.

Находим объём двойным интегралом по полукругуx2 + y 2 6 R 2 .0 6 y,В полярных координатах:ZZZV =Zsin ϕ dϕ ·y dx dy =Dπ0Rρ2 dρ = 2 · R3 /3.0Интересно, что π уходит, невзирая на округлость.Ответ обоих вариантов: 2R3 .Задача 4. Вычислить циркуляцию векторного поля(y, −x, z)(−y, x, z)вдоль контураx2 + y 2 + z 2 = 4,x2 + y 2 = z 2 ,z > 0;x2 + y 2 + z 2 = 16,x2 + y 2 = z 2 ,z > 0,ориентированного по часовой стрелке при взгляде из начала координат.Решение.

Контур Γ есть окружность, параллельная плоскости Oxy. По формуле Стокса циркуляция полявдоль Γ равна потоку его ротора через любую поверхность с границей Γ. Выгодно взять круг в той же плоскости, что и контур. По правилу согласования ориентаций нормаль указывает вверх. Через этот круг протекает√лишь третья компонента ротора, равная 2, так что поток равен удвоенной площади. Радиус круга равен z = 8.Ответ: 16π.Ответ первого варианта: −4π..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)