Потоковая 2 (2011) (1247256)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

РЕШЕНИЯ ПОТОКОВОЙ ПО АНАЛИЗУ4 апреля 2011Задача 1. Найти момент инерции относительно начала координат однородной пластины единичной плотности, ограниченной линиейρ = sin 4ϕ,ρ = cos 5ϕ.Решение. Пишем момент инерции в полярных координатах:ZZZZZZI=(x2 + y 2 ) dS =ρ2 dS =ρ3 dρ dϕ.DDDКогда целочисленный коэффициент k при аргументе нечётен, фигура состоит из k штук одинаковых симметричных лепестков. Угол раствора каждого лепестка равен π/k.

Если допустить отрицательные значения ρ,откладывая при том точки в противоположном направлении, то при изменении угла в пределах 0 6 ϕ 6 2π вселепестки пробегаются дважды. Когда коэффициент k чётен, при допущении отрицательных ρ получается 2kлепестков, а при недопущении — k лепестков.В обоих случаях следует посчитать момент инерции одного лепестка и затем умножить на их количество.

Прямоеже интегрирование по ϕ ∈ [0, 2π] даёт в первом варианте нуль, а во втором — ответ, вдвое больший истинного.Поэтому в первом вариантеZ π/2kZ sin kϕZ π/kZ πI1 = 2kdϕρ3 dρ = k4sin4 kϕ dϕ = 41sin4 t dt = 14 B( 52 , 12 ) = · · · = 3π32 .0000От целой буквы k ответ не зависит. Во втором варианте ответ тот же.Задача 2. ВычислитьZZZ(x2 − z 2 ) dV,ZZZT(x − z)2 dVTпо телу, ограниченному плоскостямиx = y, x = z, y = −z, z = 1,x = −y, x = z, y = z, z = 1.Решение. Рассмотрим сечение тела плоскостью z = c = const, где 0 6 c 6 1 (иначе сечение пустое).Поэтому в первом варианте −z 6 x 6 z, −z 6 y 6 x, а во втором −z 6 x 6 z, −x 6 y 6 z.

ТогдаZZZZ 1 Z zZ z(x − z)2 dV =dzdxdy (x − z)2T=4− 15.1Zdz0Ответ первого варианта:−zz0Z−z−xdx (x + z)(x − z)2 =Z1Zzdz0−zdx (x − z)(x2 − z 2 ) = · · · =415 .2Задача 3. Исследовать сходимость несобственного интегралаZZZf (x, y, z) dx dy dz,222 aB (1 − x − y − z )где B = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 < 1} иf (x, y, z) = |xz| ,f (x, y, z) = y 2 .Решение. Особенность размазана по единичной сфере. Функция f на шаре B ограничена сверху, но снизу тольконулём. Выбросим окрестность U координатных плоскостей; тогда f станет отделённой от нуля и для анализасходимости можно заменить f на 1.Переходим в сферические координаты:ZZZZZZr2 sin θ dr dθ dϕf dV∼.I(a) =2 a(1 − r2 )aB\UB\U (1 − r )Интегрирование по углам даёт постоянную, которая в анализе сходимости не играет роли, так чтоZ 1Z 1Z 1r2 drr drdtI(a) ∼∼∼.2 )a2 )aa(1−r(1−r000 tВторой переход здесь возможен, поскольку особенность при r → 1, а там r2 ∼ r.

Он делается лишь для последующего удобства: далее заменяем t = 1 − r2 вместо возни с бета-функцией. Полученный интеграл сходится приa < 1 и расходится при a > 1.Вспоминаем выброшенную окрестность. В случае a < 1 из-за неё сходимость не портится, ибо f ограничена.В противном случае возвращение окрестности не может победить расходимость вне её.Ответы: сходится при a < 1 и расходится при a > 1.Задача 4.

Построить график функцииZ +∞sin αx cos xdx,f (α) =x0Zf (α) =0+∞cos αx sin xdx.xРешение. Проще решить сразу оба варианта, обобщив их доZ +∞sin αx cos βxF (α, β) =dx.x0Применим тригонометрическое тождествоsin(α + β) = sin α cos β + cos α sin βв обратную сторону, чтобы свести произведение функций к разности:Z +∞sin (α + β)x − sin (α − β)x2f (α, β) =dx = I(α + β) − I(α − β),x0Здесь I(γ) есть интеграл ДирихлеZ +∞sin γxI(γ) =dx,x0который хорошо бы уже просто знать из семинаров. Это разрывная функция, I(γ) = π2 sgn γ. Если и не знать:при γ > 0 замена t = γx показывает, что I(γ) = I(1), а значение I(1) = π2 вычислялось на лекции; при γ < 0минус выносится из синуса и получается − π2 ; при γ = 0 значение I(0) = 0 как бы очевидно.Ответы:f (α) = π4 (sgn(α + 1) − sgn(α − 1)),f (α) = π4 (sgn(α + 1) + sgn(α − 1)).Во втором варианте разность становится суммой, ибо sgn(1 − α) = − sgn(α − 1)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)