Потоковая 1 (2011) (1247255)
Текст из файла
ÐÅØÅÍÈß ÏÎÒÎÊÎÂÎÉ ÏÎ ÀÍÀËÈÇÓ14 ìàðòà 2011Çàäà÷à 1.Ôóíêöèè u(x, y) è v(x, y) çàäàíû íåÿâíî:Íàéòè dz â òî÷êå (1, 1) äëÿ ôóíêöèèu − ln v − x = 0,v + ln u − y = 0.u + ln v − x = 0,v − ln u − y = 0.z(x, y) = u − 5v.z(x, y) = 3u + v,Çàìåòèì, ÷òî (x, y) = (1, 1) âëå÷¼ò (u, v) = (1, 1). Ýòî ðåøåíèå óãàäûâàåòñÿ, àäðóãèõ íåò: ln v = 1 − u óáûâàåò ïðè ðîñòå u, â òî âðåìÿ êàê v = 1 + ln u âîçðàñòàåò.ÏîñêîëüêóÐåøåíèå âòîðîãî âàðèàíòà.dz = du − 5dv = (ux dx + uy dy) − 5(vx dx + vy dy),òðåáóåòñÿ íàéòè ÷åòûðå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.Îáîçíà÷èì äàííûå ôóíêöèè ñâÿçè ÷åðåç F è G.
Íàéä¼ì ìàòðèöó ßêîáèD(F, G)1 1/v −1 01=, íî u = 1, v = 1 ⇒−1/u1 0 −1−1D(u, v, x, y)1 −1 0.1 0 −1∂u ∂u ∂v ∂vÊëþ÷åâîé ÿêîáèàí J = ∂(F,G)∂(u,v) = 2. Èñêîìûå ïðîèçâîäíûå ∂x , ∂y , ∂x , ∂y âûðàæàþòñÿ ïî ôîðìóëå èç ëåêöèé:∂(F, G)1= ,∂(x, v)21∂(F, G)= ,vx = −J −1 ·∂(u, x)2ux = −J −1 ·Ìîæíî ïèñàòü è â ìàòðèöàõ:ux uyvx vyFu Fv=−Gu Gv∂(F, G)1=− ,∂(y, v)2∂(F, G)1vy = −J −1 ·= .∂(u, y)2uy = −J −1 ·−1 −1 Fx Fy1 11 0·=·=Gx Gy−1 10 1121 −1.1 1Çíà÷èò, du = 21 (dx − dy), dv = 12 (dx + dy), dz = −2 dx − 3 dy.Îòâåò ïåðâîãî âàðèàíòà: dz = dx + 2 dy.Çàäà÷à 2. óðàâíåíèè(y − z)zx + (y + z)zy = 0,(z + y)zx + (z − y)zy = 0,ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííûõ, ïðèíÿâ u = y − z è v = y + z çà íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, à x(u, v) çà çàâèñèìóþ.Õîòÿ óðàâíåíèå ñâÿçè F (x, y, z) = 0 íåèçâåñòíî, F = z(x, y) − z âïîëíå ïðèãîäíî.Äëÿ ôóíêöèè z(x, y) èìååì zx = −Fx /Fz è zy = −Fy /Fz .
À äëÿ ôóíêöèè x(y, z) àíàëîãè÷íî xy = −Fy /Fx .Îòñþäà xy = −zy /zx , à ñîãëàñíî èñõîäíîìó óðàâíåíèþ, ýòî ðàâíî u/v.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, xy = xu uy + xv vy = xu + xv . Îòâåò: xu + xv = u/v.Îòâåò âòîðîãî âàðèàíòà: xu + xv = −v/u.Ðåøåíèå ïåðâîãî âàðèàíòà.Çàäà÷à 3.Íàéòè ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû ôóíêöèè u = xyz íà ìíîãîîáðàçèèF (x, y, z) = x2 + y 2 + 4z 2 − 12 = 0,F (x, y, z) = x2 + 4y 2 + 4z 2 − 12 = 0.Ìíîãîîáðàçèå (ýëëèïñîèä) êîìïàêòíî è áåç ãðàíèöû, à ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà.
Ïîýòîìó ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèÿ äîñòèãàþòñÿ â óñëîâíûõ ýêñòðåìóìàõ, òàê ÷òî áóäåò äîñòàòî÷íîèõ âñå ïåðåáðàòü. Ïðèìåíèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = u + λF . Çàïèøåì êîìïîíåíòû å¼ ãðàäèåíòà:Ðåøåíèå ïåðâîãî âàðèàíòà.Lx = 0 = yz + 2xλ,Ly = 0 = xz + 2yλ,Lz = 0 = xy + 8zλ;çàòåì ñîñòàâèì õèòðóþ êîìáèíàöèþ (òàê äåëàëîñü â ïðèìåðå íà ëåêöèè, êîãäà èñêàëè ýêñòðåìóìû íà ñôåðå):xLx + yLy + zLz = 0 = 3xyz + 2(x2 + y 2 + 4z 2 )λ = 3xyz + 24λ.2Ïîäñòàâèâ λ = −xyz/8 â óðàâíåíèå Lx = 0, ïîëó÷èì yz(4 − x2 ) = 0, è àíàëîãè÷íî ñ îñòàëüíûìè êîìïîíåíòàìè:xz(4 − y 2 ) = 0 è xy(1 − z 2 ) = 0.
Çàìå÷àåì, ÷òî u = xyz = 0, êîãäà õîòü îäíà êîîðäèíàòà íóëåâàÿ. Èíà÷å x = ±2,y = ±2, z = ±1.  ýòèõ òî÷êàõ u = ±4. Ýòî è åñòü óñëîâíûå ýêñòðåìóìû: ÷åòûðå ìàêñèìóìà è ÷åòûðå ìèíèìóìà.Ìîæíî ñðàçó óãàäàòü îòâåò, ðàñòÿíóâ êîîðäèíàòû òàê, ÷òîáû ýëëèïñîèä ïðåâðàòèëñÿ â ñôåðó: x0 = x, y0 = y,0z = 2z .
Òîãäà ïîäîçðåíèå ñðàçó ïàäàåò íà òî÷êè, ãäå |x0 | = |y 0 | = |z 0 |.Îòâåò âòîðîãî âàðèàíòà: x = ±2, y = ±1, z = ±1; â ýòèõ òî÷êàõ u = ±2.Çàäà÷à 4.Íàéòè öåíòð ìàññ îäíîðîäíîé ïëàñòèíû, îãðàíè÷åííîé ëèíèåé(x2 + y 2 − y)2 = x2 + y 2 ,(x2 + y 2 + x)2 = x2 + y 2 .Ïåðåõîäèì ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå:Ðåøåíèå âòîðîãî âàðèàíòà.(x2 + y 2 + x)2 = x2 + y 2 ;(ρ2 + ρ cos ϕ)2 = ρ2 ;(ρ + cos ϕ)2 = 1;ρ + cos ϕ = ±1.Ïîñêîëüêó ρ > 0, à cos ϕ > −1, îòáðàñûâàåì âàðèàíò −1.
Îñòàëîñü ρ = 1 − cos ϕ.10−1−3−2−10123Ýòî çíàìåíèòàÿ ëèíèÿ êàðäèîèäà. Òî÷êîé îòìå÷åí âû÷èñëåííûé íèæå öåíòð ìàññ ïëàñòèíû.2πZM=Z1−cos ϕdϕ02πZ12 (1ρ dρ =00− cos ϕ) dϕ =212Z2π(1 − 2 cos ϕ + cos2 ϕ) dϕ = π +0π2= 32 π.Âêëàä îò cos ϕ íóëåâîé, ðàç èíòåãðàë ïî ïîëíîìó ïåðèîäó. Àíàëîãè÷íî íèæå äëÿ cos3 ϕ.ZMx =2πZdϕ01−cos ϕZ(ρ cos ϕ)ρ dρ =002π13cos ϕ(1 − cos ϕ) dϕ =313Z2π(cos ϕ − 3 cos2 ϕ + 3 cos3 ϕ − cos4 ϕ) dϕ0= − 31 (3π + 4 · 12 B( 52 , 12 )) = − 54 π.Èíòåãðàë îò cosm ϕ ïî ÷åòâåðòè îáîðîòà ñâîäèòñÿ ê áåòà-ôóíêöèè (áûëî â çàäàíèÿõ).
Ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò Myïî äðóãîé îñè ðàâåí íóëþ ââèäó ñèììåòðèè ôèãóðû. Öåíòð ìàññ íàõîäèòñÿ â òî÷êå (Mx , My )/M .Îòâåò: (− 56 , 0).Îòâåò ïåðâîãî âàðèàíòà: (0, 56 ). Êàðäèîèäà ïîâ¼ðíóòà íà ÷åòâåðòü îáîðîòà.http://en.wikipedia.org/wiki/Cardioid.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
