Неопределенный интеграл (1247253)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Первообразная. Неопределенный интеграл.Первообразная:Опр. Функцию F называют точной первообразной функции f на интервале (a, b), если в каждой точке x ∈ (a, b) она дифференцируема и F ′ (x) = f (x) (dF (x) = f (x)dx).Опр. Функцию F называют обобщенной первообразной функции f на интервале (a, b), еслиона непрерывна на (a, b) и в каждой точке x ∈ (a, b), за исключением некоторого множестваточек K, дифференцируема и F ′ (x) = f (x) (dF (x) = f (x)dx).

При этом в случае ограниченногоинтервала (a, b) множество K конечно. Если же интервал (a, b) неограничен, т.е. имеет вид(−∞, b), (a, +∞) или (−∞, +∞), то K не более чем счетно, причем каждый ограниченныйподынтервал из (a, b) не должен содержать более чем конечное число точек из K.Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело с точной или обобщенной первообразной, то будем называть функцию F просто первообразной.Свойства. Если F первообразная функции f на (a, b), то для каждой постоянной C функцияG, определенная как G(x) = F (x) + C для каждого x ∈ (a, b), также является первообразнойфункции f на (a, b).Если F, G первообразные функции f на (a, b), то существует постоянная C такая, что G(x) =F (x) + C для каждого x ∈ (a, b).Неопределенный интеграл:Опр.

Операция нахождения первообразных функции f на промежутке (a, b) называют неопределенным интегрированием, а ее результат, который представляет собой множество всех первообразных функции f на промежутке (a, b), называют неопределенным интегралом функции∫∫f на (a, b) и обозначают через f (x)dx. Под обозначением f (x)dx понимают также любую изпервообразных функции f .∫∫В обозначении f (x)dx знак называется знаком неопределенного интеграла, произведениеf (x)dx — подынтегральным выражением, а сама функция f (x) — подынтегральной функцией.∫Поскольку все первообразные функции f отличаются константой, то f (x)dx представляетсобой выражение F (x) + C, где C — произвольная константа, а F — некоторая первообразнаяфункции f .Свойства.

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению):∫∫′( f (x)dx) = f (x)( d( f (x)dx) = f (x)dx ).2) Если функция F дифференцируема на интервале (a, b), то подынтегральная функция яв∫ляется производной функции F и F ′ (x)dx = F (x) + C (подынтегральное выражение является∫дифференциалом функции F и dF (x) = F (x) + C).Свойства. (Линейность) Если функции f и g имеют первообразные на интервале (a, b), тои функция αf + βg, где α, β ∈ R, имеет первообразную на этом промежутке и справедливоравенство∫∫(αf (x) + βg(x))dx = α∫f (x)dx + βg(x)dx.Таблица основных неопределенных интегралов:∫xα+11.x dx =+ C (α ̸= −1);α+1∫ax3.ax dx =+ C (a > 0);ln a∫5.sin xdx = − cos x + C;∫17.dx = − ctg x + C;sin2 x∫arcsin x + Cdxa√9.(a > 0);=22− arccos x + Ca −xa∫√dx√11.= ln |x + x2 + a| + C (a ̸= 0);x2 + aα(гиперболические функции: sh x =∫2.∫ex dx = ex + C;4.∫6.cos xdx = sin x + C;∫1dx = tg x + C;cos2 x∫ 1 arctg x + Cdxa10.(a > 0);= a22− 1 arcctg x + Ca +xaa∫dx1|x + a|12.=ln+ C (a ̸= 0);22a −x2a |x − a|8.ex − e−xex + e−xch xsh x ); ch x =; cth x =; th x =22sh xch x∫13.1dx = ln |x + a| + C;x+a∫sh xdx = ch x + C;14.ch xdx = sh x + C;∫∫1115.dx = th x + C;2 dx = − cth x + C; 16.sh xch2 x∫ √x√ 2a2x17.a2 − x2 dx =a − x2 + arcsin + C (a > 0);22a∫√√dxx 2a√18.=x + a + ln |x + x2 + a| + C (a ̸= 0);222x +aОсновные методы интегрирования:Метод разложения.

Этот метод применяется в случаях, когда подынтегральную функцию fможно представить в виде линейной комбинации функций fj , j = 1, n, первообразные которыхнетрудно найти, т.е.f = α1 f1 + ... + αn fn .Тогда из свойства линейности∫∫∫f dx = α1f1 dx + ... + αnfn dx.Интегрирование заменой переменных.Теорема. (о замене переменной) Пусть функция φ(x) дифференцируема на интервале X иотображает интервал X на интервал T , т.е. φ(X) = T , а функция g(t) имеет первообразнуюG(t) на T , т.е.∫g(t)dt = G(t) + C.Тогда на интервале X функция g(φ(x))φ′ (x) имеет первообразную, равную G(φ(x)), т.е.∫∫′g(φ(x))φ (x)dx = G(φ(x)) + C ( g(φ(x))dφ(x) = G(φ(x)) + C).∫Пусть нужно вычислить интеграл f (x)dx. Допустим, что его удалось представить в виде∫g(φ(x))φ′ (x)dx, где функции g, φ удовлетворяют всем условиям теоремы (о замене переменной), причем первообразная G для функции g легко находится.

Тогда, на основании этой тео∫∫ремы, получаем f (x)dx = g(φ(x))φ′ (x)dx = G(φ(x)) + C.Теорема. (о подстановке) Пусть функция ψ(t) строго монотонная и дифференцируемая наинтервале T функция, отображающая T на интервал X и имеющая дифференцируемую обратную, а функция f (ψ(t))ψ ′ (t) имеет на T первообразную G(t), т.е.∫∫′f (ψ(t))ψ (t)dt = G(t) + C ( f (ψ(t))dψ(t) = G(t) + C).Тогда на интервале X функция f имеет первообразную, равную G(ψ −1 (x)), т.е.∫f (x)dx = G(ψ −1 (x)) + C.Пусть нужно вычислить интеграл∫f (x)dx. Из каких то соображений находим функцию ψ,удовлетворяющую условиям теоремы (о подстановке), и в исходном интеграле подставляемвместо x величину ψ(t), а вместо dx = ψ ′ (t)dt.

В результате переходят к нахождению перво∫образной G(t) новой функции f (ψ(t))ψ ′ (t), т.е. к нахождению интеграла f (ψ(t))ψ ′ (t)dt. Найдя G(t), получаем исходный интеграл подстановкой в G(t) на место t выражения ψ −1 (x), т.е.∫f (x)dx = G(ψ −1 (x)) + C.Интегрирование по частям.Теорема. (ФИЧ) Пусть каждая из функций u, v дифференцируема на промежутке (a, b) и,кроме того, на этом промежутке существует первообразная для функции vu′ .

Тогда на (a, b)существует первообразная и для функции uv ′ , причем справедлива формула∫∫∫∫′′u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx ( u(x)dv(x) = u(x)v(x) + v(x)du(x)).Особенно эффективно интегрирование по частям применяется к интегралам вида∫P (x)φ(x)dx,где P (x) – многочлен, а φ(x) относится к одному из следующих двух классов функций:2) ex ; cos x; sin x;1) ln x; arccos x; arcsin x; arctg x; arcctg x;Если функция φ(x) принадлежит первому классу, полагаютu = φ(x), dv = P (x)dx,а если же она принадлежит второму классу, то полагаютu = P (x), dv = φ(x)dx.Также интегрируют по частям интегралы вида∫eax cos bxdx,∫eax sin bxdx.Неопределенный интеграл.

Интегрирование рациональных функцийДля интегрирования рациональной функцииP (x),Q(x)где P (x) и Q(x) – полиномы, используетсяследующая последовательность шагов:Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дробиЕсли дробь неправильная (т.е. степень числителя P (x) больше степени знаменателя Q(x)),разделим многочлен P (x) на Q(x). Получим следующее выражение:– полином,R(x)Q(x)P (x)Q(x)R(x)= F (x)+ Q(x), где F (x)– правильная рациональная дробь.Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дробиЗапишем многочлен знаменателя Q(x) в виде Q(x) = (x−a)α ...(x−b)β (x2 +px+q)ξ ...(x2 +rx+s)η ,где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительныхкорней.Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.Запишем рациональную функцию в следующем виде:R(x)A1A2AαB1B2Bα=++ ...

++ ... +++ ... ++2α2Q(x)(x − a) (x − a)(x − a)(x − b) (x − b)(x − b)βK1 x + L1K2 x + L 2Kξ x + Lξ+ 2+ ... + 2+ ...+22(x + px + q) (x + px + q)(x + px + q)ξM1 x + N1M2 x + N2Mη x + Nη+ 2+ ... + 2.22(x + rx + s) (x + rx + s)(x + px + q)ηОбщее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni должно быть равно степенизнаменателя Q(x).Далее умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x.

В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni . Данная системавсегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробейИнтегрируем полином F (x). Затем интегрируем простейшие дроби, полученные при разложении правильной рациональной дробиR(x),Q(x)с помощью следующих формул:∫∫1dxdx1.dx = ln |x − a| + C;2.dx =+ C;kx−a(x − a)(1 − k)(x − a)k−1У дробей с квадратичным знаменателем выделяем полный квадрат и совершаем замену∫∫ep4q − p2 epAx + Bt+B23.dx=dt;t=x+,m=, B =B−A .2k22k(x + px + q)(t + m )242Далее применяем следующие формулы:∫∫11tt224.dt = ln(t + m ) + C; 5.dt =+ C;2222kt +m2(t + m )2(1 − k)(t2 + m2 )k−1∫1t1dt = 2 arctg + C;6.22t +mmm∫∫1t2k − 317.dt =+dt22k222k−122(t + m )2m (k − 1)(t + m )2m (k − 1)(t + m2 )k−1Неопределенный интеграл.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы