Неопределенный интеграл2 (1247254)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Первообразная. Неопределенный интеграл.Первообразная:Опр. Функцию F называют точной первообразной функции f на интервале (a, b), если в каждой точке x ∈ (a, b) она дифференцируема и F ′ (x) = f (x) (dF (x) = f (x)dx).Опр. Функцию F называют обобщенной первообразной функции f на интервале (a, b), еслиона непрерывна на (a, b) и в каждой точке x ∈ (a, b), за исключением некоторого множестваточек K, дифференцируема и F ′ (x) = f (x) (dF (x) = f (x)dx). При этом в случае ограниченногоинтервала (a, b) множество K конечно. Если же интервал (a, b) неограничен, т.е. имеет вид(−∞, b), (a, +∞) или (−∞, +∞), то K не более чем счетно, причем каждый ограниченныйподынтервал из (a, b) не должен содержать более чем конечное число точек из K.Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело с точной или обобщенной первообразной, то будем называть функцию F просто первообразной.Свойства.

Если F первообразная функции f на (a, b), то для каждой постоянной C функцияG, определенная как G(x) = F (x) + C для каждого x ∈ (a, b), также является первообразнойфункции f на (a, b).Если F, G первообразные функции f на (a, b), то существует постоянная C такая, что G(x) =F (x) + C для каждого x ∈ (a, b).Неопределенный интеграл:Опр. Операция нахождения первообразных функции f на промежутке (a, b) называют неопределенным интегрированием, а ее результат, который представляет собой множество всех первообразных функции f на промежутке (a, b), называют неопределенным интегралом функции∫∫f на (a, b) и обозначают через f (x)dx. Под обозначением f (x)dx понимают также любую изпервообразных функции f .∫∫В обозначении f (x)dx знак называется знаком неопределенного интеграла, произведениеf (x)dx — подынтегральным выражением, а сама функция f (x) — подынтегральной функцией.∫Поскольку все первообразные функции f отличаются константой, то f (x)dx представляетсобой выражение F (x) + C, где C — произвольная константа, а F — некоторая первообразнаяфункции f .Свойства.

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению):∫∫′( f (x)dx) = f (x)( d( f (x)dx) = f (x)dx ).2) Если функция F дифференцируема на интервале (a, b), то подынтегральная функция яв∫ляется производной функции F и F ′ (x)dx = F (x) + C (подынтегральное выражение является∫дифференциалом функции F и dF (x) = F (x) + C).Свойства. (Линейность) Если функции f и g имеют первообразные на интервале (a, b), тои функция αf + βg, где α, β ∈ R, имеет первообразную на этом промежутке и справедливоравенство∫∫(αf (x) + βg(x))dx = α∫f (x)dx + βg(x)dx.Таблица основных неопределенных интегралов:∫xα + 11.x dx =+ C (α ̸= −1);α+1∫ax3.ax dx =+ C (a > 0);ln a∫5.sin xdx = − cos x + C;∫17.dx = − ctg x + C;sin2 x∫arcsin x + Cdxa√9.(a > 0);=22a −x− arccos xa + C∫√dx√11.= ln |x + a + x2 | + C (a ̸= 0);a + x2∫ex − e−x);13.sh xdx = ch x + C (sh x =2∫1ch x15.);2 dx = − cth x + C (cth x =sh xsh xα∫2.∫1dx = ln |x + a| + C;x+aex dx = ex + C;4.∫6.cos xdx = sin x + C;∫8.10.12.14.16.1dx = tg x + C;cos2 x∫ 1 arctg x + Cdxaa=(a > 0);a2 + x2 − 1 arcctg x + Caa∫dx1|x + a|=ln+ C (a ̸= 0);a2 − x22a |x − a|∫ex + e−xch xdx = sh x + C (ch x =);2∫1sh x);2 dx = th x + C (th x =ch xch xОсновные методы интегрирования:Метод разложения.

Этот метод применяется в случаях, когда подынтегральную функцию f можно представить в виде линейной комбинации функций fj , j = 1, n, первообразные которых нетрудно∫∫∫найти, т.е. f = α1 f1 + ... + αn fn . Тогда из свойства линейности f dx = α1 f1 dx + ... + αn fn dx.Интегрирование заменой переменных. Этот метод основан на следующем утверждении.Теорема. (о замене переменной) Пусть функция φ : (a, b) → (c, d) дифференцируема на (a, b),∫а функция g имеет первообразную G на (c, d), т.е.

g(t)dt = G(t) + C. Тогда на интервале (a, b)функция, заданная формулой g(φ(x))φ′ (x), имеет первообразную, равную G(φ(x)), т.е.∫∫′g(φ(x))φ (x)dx = G(φ(x)) + C ( g(φ(x))dφ(x) = G(φ(x)) + C).Пусть нужно вычислить интеграл∫f (x)dx, где функция f (x) = g(φ(x))φ′ (x), где функции g, φ удовле-творяют всем условиям теоремы (о замене переменной), причем первообразная G для функции g легко∫∫находится. Тогда, на основании этой теоремы, получаем f (x)dx = g(φ(x))φ′ (x)dx = G(φ(x)) + C.Интегрирование по частям.Теорема. (ФИЧ) Пусть каждая из функций u, v дифференцируема на промежутке (a, b) и,кроме того, на этом промежутке существует первообразная для функции vu′ . Тогда на (a, b)существует первообразная и для функции uv ′ , причем справедлива формула∫∫∫∫′′u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx ( u(x)dv(x) = u(x)v(x) + v(x)du(x)).Особенно эффективно интегрирование по частям применяется к интегралам вида∫P (x)φ(x)dx, гдеP (x) – многочлен, а φ(x) относится к одному из следующих двух классов функций:1) ln x; arccos x; arcsin x; arctg x; arcctg x;2) ex ; cos x; sin x;Если функция φ(x) принадлежит первому классу, полагают u = φ(x), dv = P (x)dx, а если же онапринадлежит второму классу, то полагают u = P (x), dv = φ(x)dx.∫∫Также интегрируют по частям интегралы вида eax cos bxdx, eax sin bxdx..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы