Неопределенный интеграл (1247253), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Интегрирование иррациональных функций√)∫ ( √nk ax+b1. R x, n1 ax+b,...,dx – сведение к интегрированию рациональной функции подстаcx+dcx+dновкой ax+b= tm , m = H.O.K.{n1 , . . . , nk }.cx+d√∫2. R(x, ax2 + bx + c) – сведение к интегрированию рациональной функции с помощью подстановок Эйлера (предложены Леонардом Эйлером в 1768 году):√√ax2 + bx + c = t ± ax, если a > 0;√√ax2 + bx + c = xt ± c, если c > 0;√ax2 + bx + c = t(x − λ), если D = b2 − 4ac > 0, λ − один из корней ax2 + bx + c.∫3. Интеграл от дифференциального бинома xm (a + bxn )p dx, где m, n, p ∈ Q, a, b ∈ R, a ̸= 0,b ̸= 0, n ̸= 0, p ̸= 0.1. Если p – целое, то подстановка x = tN , где N – общий знаменатель дробей m и n.2.

Еслиm+1n– целое, то подстановка a + bxn = tN , где N – знаменатель дроби p.3. Еслиm+1n+ p – целое, то подстановкаaxn+ b = tN , где N – знаменатель дроби p.В остальных случаях интеграл от дифференциального бинома не выражается в элементарныхфункциях.4. Сведение к интегрированию тригонометрических функций:√√∫1. R(x, a2 − x2 ) dx – подстановка x = a sin t, тогда a2 − x2 = a cos t, dx = a cos t dt;√√∫2. R(x, a2 + x2 ) dx – подстановка x = a tg t, тогда a2 + x2 = cosa t , dx = cosa2 t dt;√√∫sin t, dx = acossin2 tt dt.3. R(x, x2 − a2 ) dx – подстановка x = cosa t , тогда x2 − a2 = acost∫√5.ax2 + bx + c dx – выделить полный квадрат.∫P (x)P (x)R(x)6. Q(x)√Pax(x)2 +bx+c dx.

Если Q(x) неправильная, то выделяем целую часть: Q(x) = Fn (x) + Q(x) , гдеR(x)– правильная, Fn (x) – многочлен степени n. Получаем интегралы двух типов:дробь Q(x)√∫∫(x)1. √axF2n+bx+cdx = Fn−1 (x) ax2 + bx + c + λ √ax2dx. Коэффициенты многочлена Fn−1 (x)+bx+cи коэффициент λ находятся дифференцированием этого равенства.∫R(x)dx – разлагаем правильную дробь Q(x)на простейшие дроби.

Здесь доста2. Q(x)√R(x)ax2 +bx+cточно рассмотреть интегралы следующих четырех типов:∫1A) (x−α)n √dx(подстановка t = x−α).ax2 +bx+c∫(M x+N )√2B)dx – выделяем полный квадрат (p2 − 4q < 0) и сводим к интегралам2n(x +px+q)вида:∫x2n+1(x2 +r) 2∫x +px+qdx (подстановка t = x2 + r);∫12n+1(x2 +r) 2√dx (подстановка Абеля t = ( x2 + r)′ ).(M x+N )√dx, с помощью подстановки x = αt+βпри p ̸= ab , сводится к интеt+1(x2 +px+q)n ax2 +bx+c∫F2n (t)pb√гралу (t2 +λ)n st2 +r dx.

При p = a применяется подстановка x = t − 2 .∫(M x+N )√D) (x2 +q)n ax2 +c dx – это линейная комбинация интегралов:∫∫x√1√22dx(подстановкаt=ax+c);dx (подстановка Абеля t =2n2(x2 +q)n ax2 +c√(x +q) ax′ +c2C)( ax + c) ).Неопределенный интеграл. Интегрирование тригонометрических функцийРассматриваются интегралы вида∫R(sin x, cos x) dx.1. Универсальная тригонометрическая подстановка t = tg x2 , x ∈ (−π, π):x = 2 arctg t,dx =2dt,1 + t2cos x =sin x =2 tg x22 sin x2 cos x2=1 + tg2cos2 x2 + sin2 x21 − tg2cos2 x2 − sin2 x2=1 + tg2cos2 x2 + sin2 x2x2x2=x2=2t,1 + t21 − t2.1 + t22. В следующих случаях удобны следующие подстановки:A) если R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), то t = cos x, x ∈ (− π2 , π2 );Б) если R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), то t = sin x, x ∈ (0, π);В) если R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), то t = tg x, x ∈ (− π2 , π2 ):x = arctg t,dx =dt,1 + t2sin2 x =tg2 xsin2 xt2==,1 + tg2 x1 + t2cos2 x + sin2 x1tg x1sin x cos xtcos2 x===, sin x cos x ==.22222221 + tg x1+t1 + tg x1 + t2cos x + sin xcos x + sin x∫3.

Для вычисления интеграла вида sinm x cosn x dx, где m, n ∈ N, удобно использовать форcos2 x =мулы:cos2 x =1 + cos 2x1 − cos 2x3 sin x − sin 3x; sin2 x =; 2 sin x cos x = sin 2x; sin3 x =;2243 cos x + cos 3x; sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y; cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y;4x±yx∓yx+yx−ysin x ± sin y = 2 sincos; cos x + cos y = 2 coscos;2222y−xx+ycos x − cos y = 2 sinsin.22∫4.

Интеграл sinp x cosq x dx, где p, q ∈ Q, подстановками t = sin x или t = cos x всегда можноcos3 x =свести к интегралу от дифференциального бинома..

Характеристики

Список файлов учебной работы