Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Провсрнм факт неустойчивости основного уравнения инерциальной навигации по отношению к погрешностям задания начальных условий, исключив пока из рассмотрения другис упомянутые выше погрешности. 176 Вдаином случае проверяемое нами свойство неустойчивости полностью соответствует классическим определениям А.М. Ляпунова свойств у~тойчивостн и неустойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным условияи. Поскольку уравнение (2,23) нелинейно, воспользуемся известным способом анализа устойчивости ислинейныхдиффереицнальпых уравнений, предусматривающим переход от исходной системы нелинейных уравнений к линейным уравнениям в вариациях. Для получения интересующего нас вывода достаточно воспользоваться моделью центрального гравитационного поля Земли.
В зтом случае уравнение (223) в проекциях на оси абсолютной геоцентрической системы координат записывается в виде следующей системы уравнений: "о д=Ф- — х, з Г ко у=Ф- — у з г (2.27) по у=Ф вЂ” — ' д з 1 г где го — постоянная притяжения. Полагая далее, что кажущиеся ускорения измеряются без погрешностей, запишем дифференциальные уравнения для отклонений Ьх, бу, бг от номинального (невозмушенного) решения системы (2.27), соответствующего нулевым погрешностям задания начальных условий движения.
Лннеаризовав правые части уравнений (2.27) в окрестности номинального решения, получим следующую систему дифференциальных уравнений (2.28) в вариациях: (2.28) Коэффициенты данной системы уравнений переменыы, однако их можно "заморозить", приняв следуюшее допущение. Будем рассматривать !77 к (гз - Зхьз Зпоху Ы=- бх+ Ьу ,3 гз 3 яоух к,(г з — Зу з) 6)з = — Ьх — Ьу гз гз Зкозх Зкозу яо(г бя" = — бх ' — бугз гз Зиохз + б з гз 3поуя + — Ьт, гз 2 3 2) Ьт.
.3 6|+ ызбх = О, 6У - 2Я26у = О, ья е язбя = О, (2.29) где величина месть — ' а 1,241510 з рад/с. Линейные уравнения (2.29) с постоянными коэффициентами легко интегрируются, Первое и третье уравнения идентичны и их решения представляют собой гармонические колебания с периодом Т= —: 2я, и 6х(0 = бх сояьи — 6Ре в(пас, 1 Ф (2,30) 6я(0 6яесовм + — 6 Р яшьэг. 1 н В данном случае период Т 84,4 мин и представляет собой известный в теории ииерцнальных и гироскопических систем период Шулера.
Решение второго уравнения системы (2.29) имеет вид: 6у(с) 6уе ~ ' ое е'У2ч~ + — 6ро ~ ~ е С использованием гиперболических функций его можно выразить следующим образом: решение задачи навигации применительно к баллистическим ракетам, траектории которых лежат в области пространства, размерами которой но сравнению с радиусом Земли можно пренебречь. В соответствии с этим в данных уравнениях положим: г = й„у = Я„ х = г = О. Если считать, что высота и протяженность траекторий полета БР на АУТ не превосходят 500 км, то данное допущение вносит погрешность в значения коэффициентов системы (2.28) величиной не более 2%.
Для последующего качественного анализа решений уравнений (2.28) такая погрешность вполне допустима. С учетом указанных допущений система уравнений (2.28) примет вил; ЬР' Ьу(с) = буесй42ыг + — «'йь/2ся/. /2и (2.3Ц 61~ = ~Г2а>буояб~/2ыг + Ь/~„с)з~Г2ыг. (2.32) Отсюда видно, что погрешности задания начальных условий движения влияют на погрешность определения вертикальной скорости с теми же коэффициентами усиления. Проанализируем влияние погрешностей измерений на погрешности решения основного уравнения инерциальной навигации.
При наличии погрешностей измерений Ь 1г„, Ь/4', и ЬМ; уравнения (2 29) примут вид: ЬЯ+ ызбх = ЬФ„, ЬУ вЂ” 2ы'Ьу = ЬФ, Ьг ~ ызбя = Ьйг (2.33) Если лля простоты предположить, что погрешности измерений постоянны, а погрешности начальных условий отсутствуют, то решения уравнений (2.33) имеют вид: Выражения (2.30) и (2.3!) показывают, что погрешности решения основного уравнения ннерциальной навигации, вызванные погрешно-. стями задания начальных условий движения, имеют существенно различный внд по координатам х и т, т.е. в горизонтальной плоскости, и по координате у, т.е.
по высоте полета. Погрешности бх и бг имеют колсбатсльиый характер, а погрешность бу с течением времени возрастает. При этом погрешности задания начальных условий движения бу н 61~ влияют на погрешность определения высоты полета с н коэффициентами усиления /с1 = сп Ды/ и кз = я)з ~/2ы/, возрастающими с течением времени по зкспоненциальному закону. Так, при с = 5 мин /с~ = = 1,14, /сз = 0 55; при с = 30 мин /с ~ = /сз = 11,8; при г = ! 20 мин /с1 = /сз = = 154331. Погрешность определения вертикальной скорости описывается выражением, получаемым дифференцированием зависимости (2.31): ь )р„ Ьх(г) а — "(! - сояьзз), 2 ОФ бу(з) = — с(с)зт'2ьзг — !), 2 ьз~ (2.34) ОФ, Ьх(г) = — *(! - созмз). 2 — О О "о .3 2ко Π— О ,.з О О ке ,.з !80 Полученные выражения показывают, что погрешности решения основного уравнения инерциальной навигации, вызванные постоянными погрешностями измерений, имеют характер гармонических колебаний по параметрам движения в горизонтальной плоскости, а по высоте и вертикальной скорости возрастают по экспоненциальному закону.
Очевидно, что данный вывод можно было бы получить и не решая уравнений (2.33). Действительно, накопленная к некоторому моменту времени погрешность в определении высоты или вертикальной скорости, вызванная любой причиной (в том числе погрешностями измерений, погрешностями модели гравитационного поля, погрешностями численного интегрирования уравнений инерциальной навигации), действует начиная с этого момента как погрешность в начальных условиях движения, в результате чего в дальнейшем происходит экспоненциальный рост погрешностей решения уравнений навигации по высоте и вертикальной скорости.
Результаты проведенного анализа позволяют сделать вывод о неустойчивости основного уравнения инерциальной навигации по высоте полета. Явление быстрого возрастания погрешностей инерциальной навигации ограничиваетдопустимоевремяработы ИНС беэ коррекции навигационной информации. Причиной неустойчивости уравнений навигации является структура модели гравитационного поля, наглядно отражаемая градиентной матрицей (П2.28), приведенной в Приложении 2: Данная матрица показывает, что градиент гравитационного ускорения по высоте положителен, тогда как в горизонтальной плоскости градиент отрицателен.
Вследствие этого начальная положительная погрешность в определении высоты полета приводит к заниженному Расчетному значению гравитационного ускорения и. в силу уравнений навигации, - к завышенному значению вертикальной скорости. На последующих циклах численного интегрирования уравнений навигации эта зависимость сохраняется, что и приводит к монотонному возрастанию погрешностей навигации по высоте. Данное явление можно устранить, если отказаться от использования модели гравитационного поля, а величину гравитационного ускорения, иеобходнлюго для решения уравнений навигации.
определять в процессе полста по измеренным значениям элементов градиентной матрицы. Именно эта идея лежит в основе градиентно-гравитационного метода навигации, рассматриваемого ниже. 2.1.6. Градиентно-гравитационный метод навигации Рассматриваемый метод навигации представляет собой естественное развитие и усовершенствование классического принципа инерциальной навигации.
Данный метод предусматривает провеление измерений не только кажущихся параметров движения обьекта навигации, ио и элементов градиентной матрицы гравитационного поля, что позволяет определять текущие значения ускорения силы притяжения без использования высокоточной моделй гравитационного поля. 1соретическую основу градиентно-гравитационного метода навигации образуют уравнения, включающие основ.
нос уравнение инерциальной навигации и уравнение для Эл расчета гравитационного ус- А корсика. Рассмотрим вывод данного уравнения. э1 г Напомним,что гравитаци- Р х„ оиное поле Зсилн, порожден- Г1Ь иое совокупностью образуюгцих ее масс, иеизлеенио в свя- г заниой с Землей системе коор- г линат, однако в абсолютном Рне. 2,5. Отиоеиееэлиея н авол1ючиее еееаюп ряпрсстрансгвсононестационар- чеекяееистечмяеерлииет 131 но вследствие осевого вращения Земли.
Далее будут использоваться две системы координат-абсолютная геоцентрическая, которая принимается в качестве основной инерциальиой системы координат для решения задачи навигации, и относительная геоцентрическая система координат (см. рис. 2.5). Матрица перехода от относительной к абсолютной геоцентрнческой системе координат имеет вид (2.35), где ы, — угловая скорость вращения Земли, сояъа,г О я(пм,~ О ) О -апя,г О созм,! (2.35) Аа,г Оа Аз.гЬг~ (2.3б) (2.37) та '~а.гт~' (2.38) Перейдем к выводу интересующего нас уравнения.
Дифференцируя по времени обе части равенства (2.36), получаем: (2.39) где точкой обозначена операция локального (поэлемептпого) дифферен- цирования матрицы А, „и вектора-столбца л Исходя из функциональ- ной зависимости дг = яг(гг), производную й„выразим слелующим образок Далее будем использовать следующие обозначения. Через дг и яа обозначим векторы-столбцы, образованные проекциями вектора гравитационного ускорения на оси относительной и абсолютной систем координат. Аналогичный смысл имеют обозначения гг, г и чг, ч„где градиус-вектор центра масс объекта навигации н ч — его абсолютная скорость. Перечисленные величины связаны между собой соотношения- мш ай„ ф = — "Ф а; "' Обратимся далее к равенству (2,37) и продифференцнрусм локально обе его части: (2.41) Выражение (2.39) преобразуем с помощью формул Д.Зб), (2.40) и (2.41) к следующему виду: Зд, ляг а 1 г4г аг, "а;" С учетом данной формулы выражение (2.42) принимает вид: (2.43) "(а а г ~а а — ' =А А'я + — 'г.
й '"*"' д га (2.44) Выразим локальную производную ~', через полную производную с помощью известной формулы — = г+ ыхг. й' й (2.45) Учтем, что полная производная вектора г есть абсолютная скорость объекта навигации ч Проектируя обе части равенства (2.4Я на оси абсолютной системы координат, получаем: ч, Р, +(),г„ (2.46) где (2а — матрица вращений, 183 (2.42) гг Градиентная матрица гравитационного поля прн переходе от относительной системы коорлинат к абсолютной преобразуется по формуле: 0 0 ы, о оо -а,О 0 (2.47) Матрицу А„, выразим с помощью уравнения Пуассона (см.
Приложение 3, формула (ПЗ.ЗО)): '( ° Аь' (2.48) Уравнение (2.44) с учетом выражений (2,46) и (2.48) приобретает вид; ~48, Оя, — ' = П д + — "(ч - ь) г ). й ®а О а яя' Гя (2.49) й', — =т сй (2,50) ~~а Ойв ид8 Ф вЂ” ь(т йг), ,й я я аг, я В состав начальной информацлидля решения уравнений (2.50) входят начальные условия движения объекта навигации т,'", гш и начальное значение ускорения силы притяжения Земли я,~". Первичная измерительная информация включает результаты измерений компонент вектора кажущегося ускорения Ф, и злементов ая, градиентной матрицы — '. Поскольку градиентная матрица симмегричдг, на, для ее определения по результатам измерений достаточно найти шесть величин 184 Таким образом, вывод уравнения для расчета ускорения силы притяжения завершен.
Объединяя зто уравнение с основным уравнением инерциальной навигации, получаем общую систему уравнений градиентно-гравитационного метода навигации: (2,5!) дхг ау,' дг,' дх,ду,' дх,а~, 'ду.дя,' Примем также во внимание, что потенциальная функция у удовлетворяет уравнению Лапласа в относительной геоцентрической системе координат, дгу дгу дгу + + о. дх, ду„ дя, Это уравнение, как нетрудно проверить, остается справедливым при любых подобных преобразованиях градиентной матрицы вида: д»„ я ( ГАт (2.53) г, где А㠄— ортогональная матрица, В частности, уравнение Лапласа справедливо и в абсолютной геоцентрической системе координат: дУ дУ дУ вЂ” + — + — =О, ьх ду дя Таким образом, при определении элементов градиентной матрицы по измерениям достаточно найти пять величин -три ее внедиагональных элемента и два диагональных элемента, после чего третий диагональный элемент может быть найден из уравнения Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
