Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде Matlab (2006) (1246139), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Параметры ) и )с являются целыми числами. 2)инсляция 1с определяет местоположение этих одномерных функций на оси х, масштаб )' задает их ширину, т. е. насколько они широки или узки вдоль оси х, а множитель 21)г контролирует их высоту или амплитуду. Заметим, что ассоциированные функции разложения являются масштабированными по степени числа 2 и сдвинутыми на целые интервалы функциями, которые получаются из материнского вейвлета ф(х) = фо о(х) и из матперииской масштабирующей функции ~р(х) = зоо,о(х).
Свойство 2: Кратномасштабноя совместимость. Только что введенная мас- штабирующая функция должна удовлетворять следующему требованию кратно- масштабного анализа: (а) каждая функция 1оо,й(х) ортогональналюбому своему целочисленному сдвигу. называется масштабируюн1ей функцией. Каждая из этих двумерных функций является произведением двух одномерных интегрируемых в квадрате масштаби- рующих вейвлетных функций (б) Множество функций, которые можно представить в виде рядов разложения по х г(х) при малых масштабах или разре|пения (т.
е., когда д' мало), принадлежит множеству функций, представимых в более высоких масштабах. (в) Имеется единственная функция, которую можно представить во всех масштабах, которая есть тождественный нуль. (г) Каждую суммируемую функцию можно представить с произвольной точностью при д — со. Если выполнены все эти свойства, то существует парный вейвлет ~(х),который вместе со всеми своими целочисленными сдвигами и масштабными преобразованиями по всем степеням 2 охватывает (представляет в виде ряда) разность между любыми двумя множествами функций, представимыми с помощью разложений по у г(х) соседними масштабами д и д -)- 1.
Свойство ВЧ Ортогональпость. Функции разложения (~р г(х)) образуют ортогонвльный или биортогональный базис в пространстве одномерных измеримых, суммируемых в квадрате функций. Базис обладает тем свойством, что каждая представимая в этом базисе функция имеет единственный набор коэффициентов разложения. Как уже отмечалось в этом параграфе, для вещественных ортогональных ядер имеем равенство д„„= Ь„, . В биортогональном случае (1,при г = г, )Ь„д,,) = б,, = ( ( О,иначе, и д называется двойственным ядром к Ь.
Для биортогональных вейвлетных преобразований с масштабирующими функциями р г(х) и вейвлетами ф г(х) двойственные к ним функции обозначаются дг г(х) и ггг г(х). 72. Быстрое вейвлетное преобразование Важным следствием из описанных выше свойств является возможность представления обеих функций ~р(х) и й(х) в виде линейной комбинации своих же копий в масштабе с удвоенным разрешением, т. е. имеют место следующие разложения в ряды: ~р(х) = ~ Ь„(п)ъ'2р(2х — и) и )х) = ~ ЬВ(п)Г2ьд(2х — и), п и где Ь (и) и ЬВ(п) — это коэффициенты разложения, которые принято называть, соответственно, масштабным и вейвлетным векторами. Онн являются коэффициентами фильтрации при совершении быстрого вейвлетного преобразования ГКТ )Еаэс Чаче!ег Тгапэ)огш).
Итеративная процедура вычисления РОТ показана на рис. 7.2 в виде блок-схемы. На этом рисунке И',(д, т, и) и (Иге(д, т, и) при г = Н, )г, П) являются коэффициентами РЪ'Т с масштабом дй Блоки, содержащие перевернутые во времени масштабный и вейвлетный векторы Ь ( — и) и Ьг,( — т), представляют собой, соответственно, низкочастотный и высокочастотный фильтры декомпозиции. Блоки, содержащие 2 со стрелкой ), осуществ- ~~~258 Глава 7.
Вейвлелгы ляют прореживаюшую выборку, т, е, они выбирают каждый второй элемент последовательности. Математически последовательность шагов фильтрации и прореживания, используемых в этих вычислениях, можно записать в виде следующей формулы, например, для вычисления Иг„, (у, пт, п): Игр (эс™ и) стсг( тп) '" (Ьсс( и) '" Исс(э + 1сгп п)~л=2« lс>0]~«с=2« ь>0 где * обозначает операцию свертки.
Вычисление свертки для отрицательных нечетных индексов эквивалентно фильтрации и прореживанию с шагом 2. И'~9, га л) И'„й; ж, л) И«бе!, т, л) И~Щ и, л) И1 й, гл, «) Строки Юис. 7.2. Блок фильтров двумерного преобразования г'ссГТ. Каждый проход порождает один масштаб йнчт. при первой итерации игл б + Ь лс, и) = 7(в, и) Каждый проход через блок фильтров на рис. 7.2 разлагает входные данные на четыре компоненты меныпего диапазона (или масштаба). Коэффициенты И' получаются двумя проходами низкочастотной фильтрации (т, е, с фильтром Ь„), и поэтому они называются квэфд)ициентами приближения; коэффициенты (И'„' при т = Н, Ъ",Р) называются, соответственно, коэффициентами гориэонтальныт, вертикальных и диагональных дегпалей.
Поскольку само изображение 7(х,у) представлено в наивысшем разрешении, то оно становится входом Иг (у + 1, т, и) первой итерации процедуры. Обратите внимание на то, что в операциях на блок-схемы рис. 7.2 не используются ни вейвлетная, ни масштабная функции, а только лишь ассоциированные с ними вейвлетный и масштабный векторы. Кроме того, здесь имеется три переменные преобразованного пространства: масштаб у, горизонтальная трансляция п и вертикальная трансляция т. Эти переменные соответствуют обозначениям и, и,... в первых двух уравнениях 1 7.1.
7.2.1. Преобразования ГЖТ в пакете Юахге1еЬ Тоо1Ьох В этом параграфе мы используем функции из пакета Ч~ауе1ег Тоо1Ьох для вычисления преобразований г'тс'Т простого тестового изображения размера 4х4. В следующем параграфе мы разработаем свою собственную функцию для выполнения этих преобразований, не прибегая к Ъ'ауе1ес Тоо1Ьох (используя лишь пакет 1РТ). Материал этого параграфа послужит основой для написания нужной функции. Пакет Жасге1ес Тоо1Ьох строит фильтры декомпозиции для широкого клас- са быстрых вейвлетных преобразований.
Доступ к фильтрам, осуществляющим специфические вейвлетные преобразования, обеспечивается функцией в1118егв, которая имеет следующий синтаксис: [Ро Р, Н1 Р, Ро Н, Н1 Н) = и111сегв[ипаше). Здесь входной параметр апаше определяет возвращаемые коэффициенты фильтра в соответствии с табл. 7.1; выходные данные Ео Р, Н1 Р, Ео К и Н1 Н являются вектор-строками, в которых записаны коэффициенты фильтров, осуществляющих, соответственно, высокочастотную декомпозицию, низкочастотную декомпозицию, высокочастотную реконструкцию и низкочастотную реконструкцию. (грильтры реконструкции будут обсуждаться в 3 7.4.) Соответствующие пары фильтров можно также построить командой [г1, г2) = и111сегв[нпаше, суре), где переменная суре принимает значения гб', 'г', '1' или 'Ь',что позволяет получить пару фильтров декомпозиции, реконструкции, а также пару низкочастотных и высокочастотных фильтров соответственно.
При такой форме синтаксиса фильтр декомпозиции или низкочастотный фильтр записываются в переменную г1, а их парные фильтры помещаются в г2. Таблица 7.1. Фильтры ГЪ'Т из пакета ЪНане!ег Тоо!Ъох и имена семейств фильтров агуатпу нгпате хране!ег 'гЬго' В табл. 7.1 перечислены все гЪЪгТ фильтры, имеющиеся в Ъ1гане!е1 Тоо)Ьох. Свойства этих фильтров, а также другую полезную информацию относительно их масгптабирующих и вейвлетных функций можно узнать из многих книг по цифровой фильтрации и по кратномасштабному анализу.
Некоторые основные свойства можно узнать из функций иане1пХо и ианейпв в самом пакете %ане[е1 Тоо)Ьох. Чтобы получить описание семейства вейвлетов и18ш11у [см. табл. 7.1) в окне команд МАТЮКАВ, следует набрать на клавиатуре иане1п1о[и181311у). Чтобы получить численную аппроксимацию ортонормальных масштабирующих и,гили вейвлетных функций, воспользуйтесь командой [рЬ1, рвт, хна1) = иане1цп[ипаше, 1вег), Нааг 'Ьавг' Рапьесьгев '4Ь' Согйегв 'со11' Яугп!егв 'вуа' Рвсгеге Меуег 'йаеу' Вьоггьобопа! 'Ь1ог' .г. Б б 2Д9 'Ьааг' 652, 6Ь3,..., 6545 'со111', 'со112',..,, 'со115' 'вуа2', 'вуаз',..., 'вуа45' 'баеу' 'Ь1ог1.1', 'Ыог1.3', 'Ь1ог1.5', 'Ыог2.2', 'Ьгог2.4', 'Ыог2.6', *Ьгог2.8', 'Ыогз.1', 'Ьгогз.з', 'Ыогз.5', 'Ьгогз,7', 'Ыогз.9', 'Ьгог4,4', 'Ыагб.5', 'Ь1огб.8' 'гЬгог1.1', 'гЫог1,3', 'гЫог1.5', 'гЫог2.2', 'гЬгог2.4', 'гЫог2.6', 'гЫог2.8', 'гЬ1ог3.1', *гЫогз.з', 'гЫог3.5', 'гЫог3.7', 'гЫог3.9', 'гЫог4.4', 'гЫогб.б', 'гЬгаг6.8' ~~~260 Глава 7.
Вейвлетиы которая выдаст аппроксимирующие векторы рЫ и рв1, а также оценивающий вектор хна1. Целый положительный параметр 1Сег контролирует точность при- ближений, определяя число итераций, используемых при вычислениях этих век- торов. Для биортогональных преобразований синтаксис имеет вид [рЫ1, рв11, рЫ2, рв12, хна1] = иане1ии[впэше, 1Сег), где рЫ1 и рв11 — это функции декомпозиции, а рЫ2 и рв12 — функции рекон- струкции. Н1 Р, ьо Н, Н1 Н] = н111Сегв['Ьаат') » [Ро Р, Ро Р = 0.7071 Н1 Р = -0.7071 Ео Н = 0.7071 Н1„К = 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071 Узнать ключевые свойства и построить графики масштабирующей и вейвлетной функций этого преобразования можно с помощью команд: » нане1п1о['Ьааг'); НААН1НВО 1п1отшаС1оп оп Нааг ване1ес.
Нааг Иане1еС Сепета1 сЬагассегавС1св: СошрасС1у виррогсес[ нане1еС, СЬе о1е[евС ап6 СЬе в1шр1евС иане1еС. вса11пЯ 1ипсС[оп рЫ = 1 оп [О 1] епс) 0 оСЬегн1ве. ване1еС 1ипсС1оп рв1 = 1 оп [О 0.5], = -1 оп [0.6 1] еие) 0 оСЬегнаве. Ееш11у Нааг ЯЬогс паше Ьаат Ехашр1ев Ьаат Ав СЬе ваше ав аЫ ОгСЬойопа1 уев ВйогСЬояопа1 уев Сошрасс виррогС уев РИТ ровв1Ь1е СИТ ровв1ЬТе Яирротс н16СЬ 1 Е11сегв 1епйсЬ 2 НеЯи1аг1Су Ьааг 1в поС сопС1пиоив Пример 7.1. Фильтры, масипаабируюи~ая и вейвлетная функции Хаара.
Самое известное и простое вейвлетное преобразование основано на масштабиру- ющей и вейвлетной функциях Хаара. Фильтры декомпозиции и реконструкции преобразования Хаара имеют длину 2, и их можно получить следующими командами: .Ш. В яг ~ 26~~1) Яушшесгу уев ЫцшЬег о1 чап1вЬ1пЯ шошепсв 1ог рв1 1 йе1егепсе: 1.9ацЬесЬАев, Теп 1ессцгев оп иаче1есв, СВМЯ, 51АМ, 51, 1994, 194-202. » [рЬА, рв1, хча1] = наче1цп('Ьааг', 10); » хах1в = хегов(в1хе(хча1)); » вцЬр1оС(121); р1оС(хча1, рЬ1, 'Ь', хча1, хах1в, '- -К') ! » ах1в([0 1 -1.5 1.5]); ах1в вс!ваге! » С1С1е('Нааг Яса11пЯ ГцпсС1оп'); » виЬр1оС(122); р1оС(хча1, рв1, 'Ь', хча1, хах1в, '- -Ь') ! » ах1в( [О 1 -1. 5 1.
5] ); ах1в вс!ваге; » С1С1е('Нааг Наче1еС вцпсС1оп')! На рис. 7.3 приведен результат команд в последних шести строках. Функции сАС1е, ахти и р1оС описаны в гл. 2 и З.Функция вцЬр10С используется для пред- ставления окна графика в виде матрицы подграфиков, в которых можно строить разные графики. Она имеет общий синтаксис Н = вцЬр1ос(ш, п, р) или Н = вцЬр1ос(шпр), Рис. 7.0.
Масштабируюн!ая и вейвлетная функции Хаара Масштабируюшая функция Хаара Вейвлетная функция Хаара !.5 !.5 0.5 0.5 — 0.5 — 0.5 — !.5 0 — !.5 ! 0 0.5 0.5 ! Масштабирующая и вейвлетная функции Хаара, показанные на рис. 7.3, являются разрывными и имеют компактный носитель. Последнее свойство означает, где ш и и число строк и столбцов матрицы подокон. Оба числа ш и и должны быть не меньше 1, Необязательный параметр Н является манипулятором подграфика, выбираемого параметром р, который начинается с 1 (самый верхний левый подграфик), а при увеличении на 1 обозначает следующий подграфик в первой строке и т.д, до ее конца, потом первый подграфик во второй строке и т, д, Таким образом, обращение вцЬр1ос(122) из предыдущей последовательности команд соответствует подграфику, расположенному в первой строке и во втором столбце матрицы подграфиков 1х2, в котором и будет выполняться команда р10С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
