Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде Matlab (2006) (1246139), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Идея здесь заключается в том, что нули функции Н(и, и) с меньшей степенью вероятности будут располагаться «близко» от начала частотных координат, так как амплитуда преобразования в этой области равна наибольшему значению этой величины. Имеется множество вариаций на эту тему, при которых по-разному разбираются значения (и, и) функции Н в нуле или около нуля.
Такой подход иногда называется псеедоинверсной фильтрацией. Но, вообще говоря, подходы, основанные на инверсной фильтрации такого типа, не очень точны, что видно из примера 5.8 в следующем параграфе. 5.7. Винеровская фильтрация Винеровская фильтрация (названная в честь Н. Винера, предложившего этот метод в 1942 г.) является одним из самых старых и хорошо известных подходов в линейном восстановлении изображений.
Винеровский фильтр ищет приближение 1, которое минимизирует среднеквадратическое отклонение е2 Е(( г)2 где Š— оператор математического ожидания, а г" неискаженное изображение. Решение этой экстремальной задачи в частотной области выражается формулой 2 1 ~Н(и,с)!~ Н(и, п) Н(и, и) ~Н(и, с)!з + Яч(и, и) /ЯУ(и, с) ~~~~84 Глава б. Восстановление изображений где Н(и,и) искажающая функция; ~Н(и,и)~~ = Н*(и,и)Н(и,о); Н'(и,о)— комплексно-сопряженная функция Н(и, о); В„(и, о) = 1Х(и, и) 1~ — энергетический спектр шума; Вг(и,о) = ~Р(и,и)~~ — спектр неискаженного изображения; частное о'„,(и, и)/Ву(и, и) называется энергетическим соотношением шум/сигнал (г)ЯРН, Хо1ве-го-818па1 Роиег Наг1о).
Видно, что если спектр шума равен нулю для всех значений и и о, то это соотношение также равно нулю, и винеровский фильтр приводится к инверсному фильтру, который обсуждался в предыдущем параграфе. Определим две полезные величины, которые называются средняя энергия шума и средняя энерг я иэображения, соответс~венно, г)л = — ~~',,~ оэ(и о) и Х4 = —,~ ~~~,оГ(и о) 1 1 Здесь М и Х обозначают вертикальный и горизонтальный размеры массивов изображения и шума.
Эти величины являются скалярами, а их частное Н= —, г1А эл которое также скалярно, иногда используется при построении постоянной матрицы, которая используется вместо Вэ(и, и)/оу(и, и). В этом случае, даже при неизвестном истинном соотношении шум/сигнал, получается простой способ интерактивного экспериментироваггия путем изменения этой константы и наблюдения результатов восстановления. Конечно, такой метод является весьма грубым, когда предполагается, что все функции являются константами. Замена оэ(и, и)/Ву(и, о) на константу Н в приведенной выше формуле для Г(и, и) называется параметрическггм винеровским фильтром.
В примере 5.8 показано, что даже такой простой прием может привести к существенно более лучшему результату, чем при инверсной фильтрации. Винеровская фильтрация реализована в 1РТ с виде функции йесопчяпг, которая имеет три возможные синтаксические формы. Во всех этих формах я обозначает искаженное, а 1г — восстановленное изображение. Первая синтаксическая форма 1г = г)есопгэпг(Я, РЯР) предполагает, что соотношение шум/сигнвл равно нулю. Следовательно, такая форма винеровского фильтра совпадает с инверсным фильтром, рассмотренном в з 5.6. Синтаксис 1ехИг = йесопнипг(я, РЯР, МЯРН) предполагает, что соотношение шум/сигнал известно или в виде константы, или в виде массива: годится и то и другое.
Этот синтаксис используется,чля реализации параметрической винеровской фильтрации. В этом случае аргумент МЯРН может служить интерактивным входным параметром, Накоггец, команда внда Хг = бесопггипг(я, РЯР, )гАСОНН, РАСОНН) б.. »» ~ ~В~~5) предполагает известными автокорреляционные функции МАСОйй и РАСОНБ шума и неискаженного изображения.
Обратите внимание на то, что в функции аесопчвпт используются автокорреляции г) и /, а не энергетический спектр этих функций. По теореме о корреляции заключаем, что [Г(и, и)[ = Э[/(х, у) о /(х, у)], 3 = едбесарех(1, РЯР). Эта функция смазывает края входного изображения 1, используя функцию разброса точек РЯР. Выходное изображение 3 есть взвешенная сумма 1 и его размытой версии. Весовая матрица, которая определяется автокорреляционной функцией РЯР,присваивает 3 значения 1 внутри изображения, а около границ 3 приравнивается размытой версии 1. Пример 5.8.
Применение функции бесопчвпг при восстановлении размытого вашу ленного изображения. Рис. 5.8, а) совпадает с рис. 5.7, г), а рис. 5.8, б) получен командой » 1г1 = бесопчвпг(8, РЯР); где 8 это искаженное изображение, а РБР— функция разброса точек, вычисленная в примере 5.7. Как уже отмечалось выше, тг1 — это результат прямого применения инверсной фильтрации, и, как ожидалось, на этом изображении преобладают шумовые эффекты. (Как и в примере 5.7, все изображения были обработаны функцией р1хе1аир для их увеличения до размера 512 х 512 пикселов.) Число В, которое обсуждалось ранее в этом параграфе, было получено с помощью исходного и шумового изображений из примера 5.7 по формулам » Яп = аЬвИтх2(по1ве)) .
2; » пА = вшп(ЯпО))/рго6(в1хе(потев)) » БХ = аЬвШС2(х)). 2; » пА = виш(Бп(:))/рсоа(в1хе(по1ве)) » Н = ВАЛА; похве рочег врессгиш похве ачегайе ревет 1шаЯе ревет врессгпш 1шабе ачега8е ровех Для восстановления изображения с помощью этого соотношения П выполним команду » Хт2 = бесопчвпт(8, РЯР, й); где «а» обозначает операцию корреляции, а З вЂ” преобразование Фурье. Это уравнение дает возможность вычислить автокорреляционную функцию / (х у) о/ (х у) для использования в йесопччпг, находя обратное преобразование Фурье энергетического спектра.
То же можно сказать про автокорреляционную функцию шума. Если восстановленное изображение демонстрирует искажения типа «звоны», которые вносятся дискретным преобразованием Фурье, используемым в алгоритме, то иногда с этим явлением позволяет справиться функция еббесарет, которую следует применить до выполнения функции бесопчвпг. Ее синтаксис ю«ест вид уа ь Ф ~ 1 ~~В7) 5.8. Сглаживающая фильтрация методом наименьших квадратов со связью Другой хорошо зарекомендовавший себя метод линейного восстановления заключается в филыпрации по методу наименьших квадратов с ограничениями. который в документации 1РТ называется сглаживающей фильтрацией. Двумерная дискретная свертка задается выражением 1 зг-г п-г 5(х,у) я Х(х,у) = — У ~ Х(пг,п)6(х — гп,у — и).
ЛХ Л" =о =о С помощью этой формулы можно выразить модель линейного искажения д(х, у) = = Ь(х,у) * Х(х, у) + г1(х, у), которая обсуждалась в З 5.1, в векторно-матричной фар лге к = НХ+ г1. Пусть, к примеру, д(х, у) имеет размеры М х Лг. Тогда можно сформировать первые Лг элементов вектора я из элементов изображения, которые располагаются в первой строке д(х, у), следующие ЛГ элементов взять из второй строки д(х, у) и т.д. В результате получится вектор размера ЛХЛгх1. Такую же размерность имеют векторы Г и гь которые строятся по аналогичной схеме. В этом случае матрица Н имеет размеры МЛг х ЛХЛг.
Ее элементы берутся из предыдущего уравнения свертки. Логично заключить, что задача восстановления изображения может быть переформулирована в виде простых матричных действий. Однако в данном случае это не так. Предположим, что мы имеем дело с изображением средних размеров, например, у которого ЛХ = Л' = 512. Тогда векторы в описанных выше представлениях будут иметь размерность 262 144х1, а у матрицы Н будут размеры 262 144 х 262 144. Обрабатывать векторы и матрицы таких размеров весьма непросто.
Проблема еще более усложняется тем обстоятельством, что для Н может не существовать обратной матрицы в силу наличия нулей у передаточной функции (см. з 5.6). Таким образом, формулировка задачи восстановления в матричной форме не позволяет облегчить технику восстановления изображений. Несмотря на то, что мы здесь не собираемся обосновывать метод наименьших квадратов со связями, стоит отметить, что центральным местом этого метода является чувствительность к обращению матрицы Н, о чем говорилось в прелы,пущем абзаце. Одним из возможных путей преодоления этой трудности является оптимизация процедуры восстановления по сглаживающей мере, например, по вторым производным изображения (и, в частности, по лапласиану). Такая процедура будет иметь смысл, если ограничения задачи являются доступными параметрами. Таким образом, требуется найти минимум целевой функции С, которая определяется по формуле м — г и-г х=о э=о при условии выполнения ограничения (связи) [[д — як[[2 = [[г1[[2, ~~~~88 Глава б.
Восстановление изображений 2 ~ Т где [[иг[[г = ткттк — это евклидова норма вектораг, à — это приближение испорченного изображения, а оператор Лапласа аУ2 был определен в 3 3.5.1. Решение этой задачи по оптимизации, записанное в частотной области, задается выражением где у — это некоторый параметр, который следует подобрать так, чтобы выполнялось уравнение связи [при у = 0 получаем решение для инверсного фильтра), а Р[и, о) — преобразование Фурье функции 0 1 0 1 — 4 1 0 1 0 В этой функции мы узнаем оператор Лапласа, введенный в 3 3.5.1.
В предыдущих формулах остались неизвестными две величины, у и [[у)[[~. Однако 7 можно вычислить интерактивно, если известна скалярная величина [[у)[[, которая пропорциональна энергии шума. Фильтрация методом наименьших квадратов со связями реализована в 1РТ в виде функции бесопчгеЕ, которая имеет синтаксис 1г = йесопнтеЕ(Е, РЯР, М01ЯЕРОМЕЕ, КАМСЕ), где Š— этоискаженноеизображение, 1т — восстановленноеизображение, М01ЯЕРОМЕЕ пропорционально [[2)[[2,а ЕАМСŠ— это диапазон для нахождения решения у.
По умолчанию это интервал [10 э, 10э[ (или в обозначениях МАТ1,АВ, [1е-10, 1е10) ). Если два последних параметра в йесопптеЕ отсутствуют, то эта функция совершает обычную инверсную фильтрацию. Хорошим начальным приближением для М01ЯЕРОМЕЕ может являться число Мгт'[ог+ оуг), где ЛХ и Аг размеры изображения, числа в квадратных скобках равны дисперсии и квадрату среднего значения шума. Эта величина является лишь первым приближением, в то время как окончательное оптимальное значение может быть совсем иным, что видно в следующем примере.
Пример 5.9. Использование функции йесовктеЕ при восстановлении смазинного зашумленного изображения. Мы теперь восстановим изображение на рис. 5.7, г) с помощью функции бесопнтеЕ. Это изображение имеет размеры 64х64, а из примера 5.7 нам известно, что его шум имеет нулевое среднее и дисперсию, равную 0.001 Следовательно, наше начальное приближенное значение для М01ЯЕРОМЕЕ равно (64)гх[0.001+ 0[ = 4. На рис. 5.9, а) дан результат выполнения команды )> 1т = йесопктеЕ(Е, РЯР, 4); гДля нектар-столбца тт, имеющего п компонент, тгттс=) „" гм~, где юа — Ыая компонента вектора и. 5.9 Аттттттттттттлт .'1птт.тт ~'ттпттотт онп тттттттлттт тттттттого т.нтнетп ото оо ттп тпптптеттття $69) т,тт и и Рот итттттт от гИтипп ~та пт.т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
