1. Системы инерциальной навигации аэрокосмических ЛА (1245719), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Наибольшее влияниена ошибку определения инерциального базиса оказывают систематические погрешности ДУС, обуславливающие накопление «ухода» базиса с течением времени.Наиболее предпочтительной схемой интегрирования кинематических уравнений яв-ляется схема, использующая однократно интегрирующие ДУС, где процесс квантования информации совмещается с процессом первичного интегрирования и поэтомусоставляющая ухода  не зависит от процедуры квантования.2.5. Приближенное и численное интегрированиекинематических уравненийДля интегрирования кинематических уравнений вращательного движения могут применяться универсальные методы интегрирования систем обыкновенныхдифференциальных уравнений (например, метод Рунге-Кутта).Наряду с этим актуальной является проблема разработки специальных методов интегрирования кинематических уравнений с целью получения более экономичных и точных вычислительных процедур.

При этом учитываются как особенностиструктуры кинематических уравнений, так и особенности представления первичнойинформации о параметрах вращательного движения ЛА в БИНС.Одно из направлений построения специальных методов интегрирования кинематических уравнений основано на свойстве линейности уравнений Пуассона и кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона.

Свойство линейностипозволяет найти частное решение кинематических уравнений с помощью нормированной матрицы фундаментальных решений, называемой матрицантом и вычисляемой методом последовательных приближений Пикара.Рассмотрим сущность данного метода применительно к задаче численного интегрирования кинематических уравнений Пуассона:  A ,(2.53)Aгде A  матрица направляющих косинусов;   кососимметрическая матрица угловой скорости  (матрица вращений): 3E 2E  0(2.54)   3E0 1E  . 2E 1E0 Уравнение (2.53) необходимо интегрировать с начальным условиемA(t 0 )  A 0 . Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, общеерешение системы (2.53) может быть выражено с помощью матрицы фундаментальных решений.

Можно показать, что решением уравнения (2.53) является ортогональная матрица направляющих косинусов, удовлетворяющая условию:A(t )  C(t ) ,(2.55)где C  постоянная матрица. Частное решение, соответствующее начальному условию A 0 , имеет вид:A(t )  A 0  1 (t 0 )(t ) .(2.56)Матрица M(t, t 0 )   1 (t 0 )(t ) представляет собой нормированную фундаментальную матрицу и называется матрицантом исходной системы (2.53). Нетрудновидеть, что матрицант удовлетворяет уравнению (2.53),  M ,(2.57)Mи является решением данного уравнения при единичном начальном условии M(t 0 )  E .Таким образом, задача нахождения искомого решения уравнения Пуассона поформуле (2.56) сводится к задаче вычисления матрицанта.

Для определения матрицы Mможно воспользоваться методом последовательных приближений (методом Пикара) k  M k 1 ,(2.58)Mгде k  номер приближенного решения. При этомtM k  E   M k 1 ( t )( t )dt ,(2.59)t0откуда следует, что нулевое приближение M 0  E ,t первое приближение M1  E   ( t )dt  ,t0t второе приближение M 2  E   ( t )dt      ( t )dt ( t )dt  и т.д.t0t0 t 0Таким образом, для M k получаем ряд, состоящий из k  1 слагаемых.

Приk   ряд бесконечен:tttM  E   ( t )dt      ( t )dt ( t )dt   (2.60)t0t0 t 0и сходится абсолютно и равномерно: M  lim M k .ttk Ограничиваясь конечным числом членов ряда, можно получить приближенную формулу для расчета матрицы M . Из (2.60) видно, что матрицант M можетбыть вычислен с ошибкой по двум причинам: из-за принимаемого при расчетах ограничения числового ряда, приближенного представления матрицы ( t ) .Если положить постоянным значение матрицы угловой скорости ( t ) на шагеинтегрирования h , то решение уравнения Пуассона примет вид:(2.61)A(t )  A 0 (eh ) t h ,где M  (eh ) t h  матрицант, выраженный в виде матричной экспоненты.Представляя матрицант через ряд Маклорена, получим2h 2k h k, k  .(2.62)2!k!Остаточный член ряда (2.62) в форме Лагранжа имеет вид:(h ) k 1 hHk e, 0    1.(2.63)(k  1)!Для приближенной оценки остаточного члена ряда ограничимся линейнымприближением в разложении матричной степениM  (e h ) t h  E  h (h ) k 1 (1  h ).(2.64)Hk (k  1)!Считая, что ошибка A k , вызванная усечением ряда (2.62), пропорциональнавеличине остаточного члена H k и времени работы t раб БИНС, получимA k  H kt раб.(2.65)hРезультаты расчета ошибки A k в зависимости от периода дискретности h ,времени работы системы t раб и среднего значения угловой скорости  ср приk  1, 3 показывают, что уменьшение шага интегрирования на порядок приводит каналогичному уменьшению величины ошибки A k .

Данная ошибка, линейно зависящая от времени работы БИНС, в пределах исследуемого времени полета ЛА (50300 с) изменяется примерно на порядок. С увеличением числа слагаемых ряда величина ошибки существенно уменьшается.На величину ошибки A k оказывает влияние переменность угловой скоростина периоде h . Для повышения точности решения навигационной задачи целесообразно учесть изменение матрицы  на шаге дискретности.С этой целью могут использоваться интерполяционный и экстраполяционныйалгоритмы.Воспользуемся рядом Тейлора в моменты времени t n 2 , t n 1 , t n для записи: интерполяционного алгоритма при t n 1  t  t n :( t  t n 1 ) 22! экстраполяционного алгоритма при t n  t  t n 1: n 1 ( t  t n 1 )   n 1и ( t )   n 1  (2.66)(t  t n ) 2э (t )  n  n (t  t n )   n(2.67)2!Выражая производные через конечные разности n 1   n   n 1  1 ,hh n 1   n 1   n 2   n  2 n 1   n 2   2 ,hh2h2где  n (n  1, 2)  конечные разности, получим:(2.68)и ( t )   n 1  1 t  22 t 2  h2h(2.69) э ( t )   n  1 t  22 t 2  h2hПодставив (2.68) и (2.69) в ряд (2.62) и удерживая только первые разности,находим выражение для матрицанта при t  h для: интерполяционной формы:2h1 h hM и ( t )  E  ( n   n 1 )   ( n   n 1 ) 2  ( n 1 n   n  n 1 ) (2.70)22 2 12 экстраполяционной формы:22h2 3 n   n 1  h  3 n   n 1 M э ( t )  E  h( n  n 1   n 1 n ) .

(2.71) 2212 2 Аналогичным образом могут быть получены алгоритмы, учитывающие вторые разности. Сравнение интерполяционного и экстраполяционного алгоритмов показывает, что в БИНС предпочтителен экстраполяционный алгоритм.В приведенных выше алгоритмах в качестве исходной информации используются значения угловой скорости. Решение существенно упрощается, если первичнаяинформация получается в виде квазикоординат с помощью однократно интегрирующих ДУС.

Для этого случая выражение (2.24) можно записать в виде0 z  yt n 1(2.72) n 1  z0  x    n ( t )dt . yx0tnНа основании формулы трапеции значения интеграла (2.72) соответственно равныh n  ( n   n 1 ) ,(2.73)2h n 1  ( n 1   n 2 ) ,(2.74)2Выразим кососимметрические матрицы  n и  n1 через квазикоординаты.Так как по формуле трапеций на интервале [ t n2 , t n ] интегрируемая функция заменяется линейной, то справедливо выражение   n 2 n 1  n(2.75)2Сложив уравнения (2.73) и (2.74), получимh n   n 1  ( n  2 n 1   n 2 ) ,(2.76)2С учетом (2.75) значение   n 1 n 1  n(2.77)2hПодставляя (2.77) в выражение (2.73), получим зависимость для определения  n :3 n   n 1n (2.78)2hПодставляя последние две формулы в (2.70) и (2.71), запишем матрицант ориентации M при интегральной информации об угловой скорости для: интерполяционного алгоритма11M и (h )  E   n   2n  ( n  n 1   n 1 n ) ,(2.79)212 экстраполяционного алгоритма11M э (h )  E  2 n   n 1  (2 n   n 1 ) 2  ( n  n 1   n 1 n ) .

(2.80)212Аналогичные по структуре решения можно получить и для кинематическихуравнений в параметрах Родрига-Гамильтона. Так, интегрируя кинематическоеуравнение (2.7), получимt1( t )  ( t 0 )   ( t )  E ( t )dt  ,2t(2.81)0Для отыскания приближенного решения уравнений (2.81) воспользуемся, каки в предыдущем случае, численным методом интегрирования и кватернионным аналогом матрицанта.

Пусть решение (2.81) имеет вид:(2.82)(t )  (t 0 )  N(t ) .Подставляя (2.82) в уравнение (2.81), находимt1N( t )  1   N( t )  E ( t )dt  ,2t(2.83)0Кватернион N( t ) удовлетворяет кинематическому уравнению (2.81) с начальным условием N(t 0 )  1.

В самом деле, при t  t 0 N(t 0 )  1 и (t )  (t 0 ) . Следовательно, при отыскании решения уравнения (2.81) в виде (2.82) задача сводится копределению кватерниона N( t ) . Для построения алгоритма численного интегрирования положим в соотношении (2.82):t 0  t n 1 , t  t n , t n  t n 1  h ,где h  шаг интегрирования.Тогда решение (2.82) перепишется в виде n   n 1  N n .(2.85)В данной формуле приняты обозначения  n  (t n ) ; N n  N(t n ) . Запишемрешение кинематического уравнения (2.85) в текущий момент времени t  t n 1  «внутри» шага:(2.86)(t )  (t n 1  )  (t n 1 )  ()   n 1  N nгде  n1  решение на n  1 шаге; ()  N()  решение «внутри» шага.

Начальноезначение N() также принимается равным единице.С учетом того что кватернион N() удовлетворяет тому же кинематическомууравнению, решение (2.83) может быть записано в интегральной форме в том же виде:1N()  1   ()  E ()d ,20(2.87)Первое приближение решения интегрального уравнения (2.87) имеет вид:1N1 ()  1   E d ,20Второе приближение после подставки (2.88) в (2.87) запишется в виде(2.88)1  1N 2 ()  1   1   E ()d  E ()d 2 0  2 0 (2.89)11 ()d()d  E ()d.EE2 04 0 0В общем случае при учете последующих слагаемых матрицант будет представлен рядом: 11 N()  1   E ()d    E ()d  E ()d  (2.90)204 00Зависимость (2.90) может быть использована при построении численных методов для любого вида первичной информации об угловой скорости E .Рассмотрим случай получения первичной информации на основе измерений.Заметим, что, как и при интегрировании кинематических уравнений Пуассона, решение (2.90) существенно упрощается, если первичная информация получается ввиде квазикоординат.

Тогда первичная информация на n -м шаге представляет собой первую разность этого вектора, взятую «назад»:1 n   E ( t n )   E ( t n 1 ) tn E (t)dt .(2.91)t n 1Запишем (2.90), заменив в нем интегралы от угловой скорости через введенные выше квазикоординаты:tt t111 (2.92)N( t )  1   E    E  E dt     E  E dt   E dt   240800Тогда задача сводится к отысканию функции E () по данным измерений наинтервале интегрирования. Для построения решения на шаге интегрирования необходимо на основе измеренных значений квазикоординат Ek  E (t k ) построитьприближенное значение функции  E () .

Аппроксимируем функцию  E интерполяционным полиномом, опираясь на измеренные значения  Ek в узлах интерполяцииt k . В качестве интерполяционных полиномов можно использовать ряд Тейлора, интерполяционную формулу Ньютона и др. Воспользуемся в данной задаче интерполяционной формулой Ньютона и проанализируем варианты численных методов интегрирования кинематического уравнения.

Характеристики

Список файлов лекций