1. Системы инерциальной навигации аэрокосмических ЛА (1245719), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Особенность интерполяционной формулыНьютона состоит в том, что интерполяция выполняется «внутри» шага h , т.е. на интервале [t k1, t k ] по получении последнего значения Ek  E (t k ) по формулеt 1( t  1) t 2iE ( t k  h  th )  iEk iEk  iEk  1!2!(2.93)( t  1) t ( t  n  2) n iEk  R n ,n!где iE  значения квазикоординаты по осям базиса E , i  1, 3 ; t  безразмерное, 0  t  1; h  шаг решения, t k  t k 1  h ; ik  разноnсти, взятые «назад», n  1, 2, 3,; R n  остаточный член.Процедура получения и геометрический смысл второго слагаемого (2.93) показаны на рис.

2.8, откуда видно, чтовремя внутри шага, t Рис. 2.8. Линейная аппроксимация квазикоординатiE ( t k 1  )  iEk гдеhiEk ,h(2.94)iEk  iEk  iEk1илиiE ( t k 1  )  iEk Поэтому окончательноhiEk ,h(2.95)t 1iEk .1!Таким образом, значение квазикоординаты iE (t k 1  ) при учете только второго слагаемого находится при аппроксимации функции iE ( t ) на шаге интегрирования h линейной зависимостью, что приводит к ошибке iE ()  iE ()  ik () .Уточнение значения iE () осуществляется учетом последующих слагаемых ряда(2.93).

Используя эту формулу, представим интерполяционный полином в виде рядапо степеням  , подставив в последний безразмерное время t  :hiE ( t k 1  )  iEk iE ( t k 1  )   iE k 1 1 21 32 46 5iEiEiEiEiEkkkkk h 2!3!4!5!2  1 215 2   iE k   4 iE k   5iE k   4!5!h  2!3  1 325 3   iE k   4 iE k   5 iE k   4!5!h  3!54  1 45 5  1 5 4   iE k   iE k    5  iE k  5! h 5!h  4!(2.96)Величина угловой скорости на этом же шаге получается как производная:iE 1 1111iE  iE k   2 iE k   3 iE k   4 iE k   5iE k   h261220 11 2  2 iE k   4 iE k   5iE k   1212h 2  1 311 3   iE k   4  iE k   5iE k   44h 243  1 41 5  1 5 4   iE k   iE k    5 iE k  6 h 24h 6(2.97)Подставляя (2.96) и (2.97) в соотношение (2.92) и учитывая члены до четвертого порядка малости включительно, получим следующее выражение для решения() в момент   h :1 1N k (h )  1  ( E k ) 2  ( 2  E k ) 2   16 81111  E k  1  ( E k ) 2  ( 2  E k ) 2  ( E k   2 iE k ) 23224 24(2.98)11 ( E k ) 2  2  E k   E k   2  E k 462411  E k   3  E k  E k   4  E k  48144При получении данного соотношения кватернионные произведения были заменены на операции векторного и скалярного умножений.

Оставляя в полученнойформуле члены соответствующего порядка малости, можно получить алгоритмычисленных методов первого, второго и третьего порядков:1N k (h )  1   E k ,(2.99)211(2.100)N k (h )  1   E k  ( E k ) 2 ,28111 1N k (h )  1   E k 1  ( E k ) 2   ( E k ) 2   E k   2 E k . (2.101)224 24 8Алгоритмы численных методов определения ориентации JIA через параметрыРодрига-Гамильтона на основе использования матрицанта представляют собой рекуррентные соотношения различного порядка, использование которых в БЦВМ является предпочтительным с точки зрения быстродействия по сравнению с обычными численными методами.2.6.

Методы коррекции решений в процессе интегрированиякинематических уравненийКак отмечалось выше, элементы матрицы направляющих косинусов и параметры Родрига-Гамильтона представляют собой совокупности избыточных параметров ориентации, которые подчинены естественным условиям связи. Для матрицы направляющих косинусов данные условия связи определяются свойством ее ортогональности, а для параметров Родрига-Гамильтона – свойством равенства нормыкватерниона, описывающего вращение твердого тела, единице.При интегрировании кинематических уравнений вследствие действия погрешностей, сопровождающих процесс решения этих уравнений (погрешности методаинтегрирования, погрешности измерений компонент вектора угловой скорости, погрешности, связанные с квантованием информации в БЦВМ, и др.), указанные условия связи нарушаются, т.е.

матрица направляющих косинусов теряет свойство ортогональности, а кватернион вращения – свойство его нормированности. В связи сэтим возникает проблема коррекции получаемых решений путем ортогонализацииматрицы направляющих косинусов и нормировки кватерниона вращения.Рассмотрим сначала вопрос коррекции матрицы направляющих косинусов.Пусть A( t ) – матрица направляющих косинусов, искаженная погрешностями интегрирования уравнений Пуассона. Наиболее употребительный способ ортогонализации матрицы A заключается в том, что данная матрица заменяется такой ортогональной матрицей X , которая наиболее близка к матрице A по критерию минимумасуммы квадратов разностей одноименных элементов матриц A и X :f   ( x ij  a ij ) 2  min(2.102)ijЗаметим, что в приведенном выражении использовано понятие евклидовойнормы матрицы, поэтому данное выражение может быть записано в виде2f  X  A e  min .(2.103)Будем предполагать, что матрица A( t ) остается невырожденной в процессеинтегрирования уравнений Пуассона, когда ортогональная матрица X , удовлетворяющая условию минимальности (2.102), определяется следующей формулой:X  (A т ) 1 A т A .(2.104)Для вычисления квадратного корня из симметрической матрицы A т A (ввидуневырожденности матрицы A матрица A т A положительно определена и имеет положительные собственные значения) достаточно привести матрицу A т A к диагональному виду:(2.105)D  Sт (A т A)S ,где S – ортогональная матрица, определяемая с помощью известных вычислительных процедур приведения симметрических матриц к диагональному виду.Если через d i обозначить диагональные элементы матрицы D (ими, очевидно, являются собственные значения матрицы A т A , то матрица D определяется как диагональнаяматрица с элементами d i .

Учитывая изложенное, формулу (2.104) перепишем в виде(2.106)X  (A т ) 1S DSт .Таким образом, в ходе интегрирования уравнений Пуассона целесообразноосуществлять контроль ортогональности матрицы A путем вычисления следующего показателя неортогональности:  AтA  E ,e0(2.107)и при достижении величиной  заданного порогового значения доп корректировать матрицу A по формуле (2.106).Вопрос коррекции нормы кватерниона при интегрировании кинематическихуравнений может решаться аналогичным образом. При этом достаточно производить контроль нормы кватерниона и при значимом отклонении нормы от единицы,  1   доп ,осуществлять коррекцию кватерниона по обычной формуле его нормирования:  20  21  22  23 ,(2.108)( n ) ,где ( n ) – нормированный кватернион.Заметим, что формула (2.108) вытекает из формулы (2.106), если под A понимать вектор-столбец, образованный компонентами кватерниона  i (i  0,3) .

Такимобразом, можно утверждать, что нормированный кватернион ( n ) наиболее близокк корректируемому кватерниону по критерию минимума суммы квадратов разностей их одноименных компонент.Существуют также иные подходы к задаче коррекции кватерниона при интегрировании кинематических уравнений. Рассмотрим содержание способа преобразования кинематических уравнений к виду, при котором обеспечивается асимптотическая близость нормы кватерниона к единице независимо от погрешностей интегрирования кинематических уравнений.Обозначим    и запишем выражение (2.108) в виде  (n )(2.109)Продифференцировав (2.109) по времени, получим  (n ) . (n )  (2.110)(n )Кватернион  удовлетворяет уравнению ( n )  1 ( n )  E .(2.111)2С учетом (2.109) и (2.111) уравнение (2.110) принимает вид:     1   E .(2.112)2Обозначим  f ( t ) .

Тогда окончательно имеем:  f ( t )   1   E .(2.113)2Уравнение (2.113) эквивалентно (2.111) в том смысле, что результат нормировки решения уравнения (2.113) удовлетворяет уравнению (2.111). Теперь можновыбрать функцию f ( t ) таким образом, чтобы обеспечить асимптотическое свойство нормирования кватерниона, т.е.     1 .Функцию f ( t ) при этом можно выбрать различными способами, например,принятьf (t )  k(  1)(2.114)или(2.115)f (t )  k( 2  1) .Рассмотрим первый вариант. Будем интегрировать уравнение (2.113) в виде  1   E  k (  1) .(2.116)2Необходимо выяснить, как в процессе решения уравнения (2.116) будет изменяться  .

Для модуля  имеем дифференциальное уравнение: k (  1) .(2.117)Интегрируя это уравнение, получаем0dt  kt 0 ,(  1)ln 1 1 ln 0 kt .0Разрешив последнее выражение относительно  , имеем:1   1 kt   1  0e  ,0откуда следует, что   1 при t   .Рассмотрим второй вариант выбора функции f ( t ) . В этом случае уравнениедля кватерниона интегрируется в виде  1   E  k ( 2  1) .(2.118)2Для модуля  дифференциальное уравнение имеет вид: k ( 2  1) ,откуда после интегрирования данного уравнения получаем12(2.119) 1 2kt .(2.120)  1 e20Из данного выражения следует, что   1 при t   вдвое быстрее, чем впервом случае. 02.

Характеристики

Список файлов лекций