Лабораторный практикум (1245315), страница 2
Текст из файла (страница 2)
+ bm z − m − dGP ( z ) ===zu ( z ) A ( z −1 ) 1 + a1 z −1 + ... + am z − mПредполагается, что ступенчатое изменение задающей переменнойпроисходит в момент времени k = 0, т. е.w ( к ) = 1 для k = 0,1,2,....(1)Если время запаздывания d = 0, то требования для минимальногоконечного времени установления переходного процесса записываютсяследующим образом:у ( k ) = w ( к ) = 1 для k ≥ mu ( k ) = u ( m)для k ≥ m(2)Для случая b0 = 0 z-преобразования задающей, регулируемой иуправляющей переменных, соответственно, имеют следующий вид:1(ступенька)1 − z −1у ( z ) = y (1) z −1 + y ( 2 ) z −2 + ...
+ 1 z − m + z − ( m+1) + ...u ( z ) = u ( 0 ) + u (1) z −1 + ... + u ( m ) z − m − z −( m+1) + ...w( z ) =(3)(4)(5)Разделив уравнения (4) и (5) на (3), получим:у(z)= p1 z −1 + p2 z −2 + ... + pm z − m =P ( z ) ,w( z )ИУ-1. Дискретные САУ. Лабораторный практикум.(6)8p1 = y (1) ,p2 = y ( 2 ) − y (1) ,Mpm = 1 − y ( m − 1) ,u(z)= q0 + q1 z −1 + ... + qm z − m = Q ( z )w( z )(7)q0 = u ( 0 ) ,q1 = u (1) − u ( 0 ) ,Mqm = u ( m ) − u ( m − 1)Следует учесть, чтоp1 + p2 + ...
+ pm = 1q0 + q1 + ... + qm = u ( m ) =(8)11=K GP (1)(9)Передаточная функция замкнутой системы:GW ( z ) =y(z)GR ( z ) GP ( z )=w ( z ) 1 + G R ( z ) GP ( z )(10)Тогда передаточная функция компенсационного регулятора имеет вид:GR ( z ) =GW ( z )GP ( z ) 1 − GW ( z )1(11)Сравнивая уравнения (6) и (7), получим:GW ( z ) = P ( z )(12)Более того, из уравнений (6) и (7) следует, чтоGP ( z ) =P(z)Q(z)(13)и с учетом (11) передаточная функция регулятора принимает вид:GR ( z ) =Q(z)q + q z −1 + ... + qm z − m= 0 1 −11 − P ( z ) 1 − p1 z − ... − pm z − m(14)Параметры полученного регулятора определяются с использованиемуравнений (8), (9) и (13):q0 =1= u (0 ),b1 + b2 + ...
+ bmq1 = a1q0 , p1 = b1q0 ,q2 = a2 q0 , p2 = b2 q0 ,(15)Mqm = am q0 , pm = bm q0 .Таким образом, параметры регулятора могут быть вычислены оченьпросто. Начальное значение управляющей переменной u(0) зависит только отИУ-1. Дискретные САУ. Лабораторный практикум.9значения суммы коэффициентов bi объекта. Поскольку значение этой суммыубывает с уменьшением такта квантования, начальное значениеуправляющей переменной u(0) будет тем больше, чем меньше тактквантования.Такой апериодический регулятор можно считать компенсационнымрегулятором, однако передаточная функция замкнутой системы (12) и (6) вданном случае определяется в процессе проектирования, а не задаетсязаранее.
Результирующая передаточная функция замкнутой системы сучетом уравнений (12) и (6) принимает вид:GW ( z ) = P ( z ) = p1 z −1 + ... + pm z − m =p1 z m−1 + ... + pmzmЕе характеристическое уравнение равно:1 + GR ( z ) GP ( z ) = z m = 0(16)Таким образом, контур управления с апериодическим регуляторомимеет m полюсов в начале координат плоскости z.2.
Апериодический регулятор для системы с запаздываниемЕсли d ≠ 0 , необходимо использовать следующую модель объекта:dm ddb1 z −(1+ ) + ... + bm z −( + ) b1 z −1 + ... + bd +1 z −(1+ ) + ... + bv z − vGP ( z ) ==1 + a1 z −1 + ... + am z − m1 + a1 z −1 + ... + am z − m + ... + av z − v(17)Коэффициенты этой модели удовлетворяют соотношениям:b1 = b2 = ...
= bd = 0, am+1 = 0, bd +1 = b1 ,bd +2 = b2 ,av = 0 Mbv = bm(18)На процесс управления наложены ограничения:y ( k ) = w ( k ) = 1, при k ≥ v = m + d ,u ( k ) = u ( m),при k ≥ m(19)Коэффициенты передаточной функции регулятора получаются из (3)—(15) с учетом (17). Из (17) и (13) следует, что:ИУ-1.
Дискретные САУ. Лабораторный практикум.10q0 =1= u (0 ),b1 + b2 + ... + bmq1 = a1q0 ,p1 = b1q0 ,q2 = a2 q0 ,p2 = b2 q0 ,MMqm = am q0 ,pd = bd q0 = 0,qm+1 = am+1q0 = 0,pd +1 = bd +1q0 = b1q0 ,(20)MMqv = av q0 = 0,pv = bv q0 = bm q0Передаточная функция регулятора имеет вид:q0 + q1 z −1 + ... + qm z − m1 − p1+ d z −(1+d ) − ...
− pm+ d z −( m+ d )GR ( z ) =(21)Из уравнений (20) и (21) следует, что передаточная функцияапериодического регулятора:q0 A ( z −1 )u(z)=GR ( z ) =e ( z ) 1 − q0 B ( z −1 ) z − d(22)То есть передаточная функция системы по задающему сигналу будетравна:q0 B ( z −1 ) z − dGW ( z ) =1=q0 B ' ( z )z ( m+ d ),(23)а ее характеристическое уравнение:z ( m+ d ) = 0(24)Применение апериодического регулятора приводит к сокращениюполюсов объекта управления.Пример 1.Дан объект, обладающий характеристиками фильтра нижних частот(низкочастотный) и чистым запаздыванием, с передаточной функциейG1 ( s ) =K (1 + T4 s )e−Tt s ,1+Ts1+Ts1+Ts( 1 )( 2 ) ( 3 )(п.1)где K = 1, T1 = 10 c, T2 = 7 c, T3 = 3 c, T4 = 2 c, Tt = 4 c .Дискретная передаточная функция этого объекта:G1 ( z ) =b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + b3 z −3 − dz1 + a1 z −1 + a2 z −2 + a3 z −3(п.2)Параметры для разных значений периода дискретизации:Tактквантования T0,сек.db014816411100ИУ-1.
Дискретные САУ. Лабораторный практикум.0,065250,3759011b1b2b3a1a2a30,004620,00169–0,00273–2,488242,05387–0,562030,065250,04793–0,00750–1,498630,70409–0,099780,255980,02850–0,00074–0,837710,19667–0,009950,329920,00767–0,00001–0,308420,02200–0,00010При такте квантования Т0=4 с по уравнениям (20) полученыкоэффициенты апериодического регулятора:q0 = 9.523,p1 = 0,q1 = −14.285, q2 = 6.714, q3 = −0.952,p2 = 0.619,p3 = 0.457, p4 = −0.0762.Результаты моделирования приведены на рис. 1.ИУ-1. Дискретные САУ. Лабораторный практикум.123. Апериодический регулятор повышенного порядкаЕсли увеличить конечное время установления на один такт с m до m+1,то можно заранее определить начальное значение управляющей переменнойu(0). Поскольку этот сигнал обычно имеет максимальную величину, егоможно ограничить, задав допустимое значение u(0) при синтезе регулятора.Добавим еще один член в уравнения (4) и (5), тогда уравнения (6) и (7)примут вид:P ( z ) = p1 z −1 + p2 z −2 + ...
+ pm+1 z −( m+1) ,(25)Q ( z ) = q0 + q1 z −1 + ... + qm+1 z −( m+1) ,(26)Приравнивая коэффициенты этих полиномов коэффициентам изуравнения (13), получим:b1 z −1 + ... + bm z − mp1 z −1 + p2 z −2 + ... + pm+1 z −( m+1)=1 + a1 z −1 + ... + am z − mq0 + q1 z −1 + ... + qm+1 z −( m+1)(27)Это равенство справедливо только в том случае, когда его правая частьсодержит общий корень в числителе и знаменателе, поэтому:−1−2−m−1P ( z ) ( p '1 z + p2 z + ... + p 'm z ) ( α − z )=Q(z)( q '0 + q '1 z −1 + ... + q 'm z − m ) ( α − z −1 )(28)Можно получить следующие соотношения для определенияпараметров передаточной функции апериодического регулятора:q0 = u ( 0 ) — задается разработчикомq1 = q0 ( a1 − 1) +1,∑ biq2 = q0 ( a2 − a1 ) +Ma1,∑ biqm = q0 ( am − am−1 ) +(29)am−1,∑ bi1 qm+1 = am − q0 +b∑ip1 = q0b1 ,p2 = q0 ( b2 − b1 ) +Mb1,b∑i(30)pm = q0 ( bm − bm−1 ) +bm−1,∑ bi1pm+1 = −bm q0 −∑ biИтоговая передаточная функция регулятора:GR ( z ) =Q(z)q + q z −1 + ...
+ qm+1 z −( m+1)= 0 1 −11 − P ( z ) 1 − p1 z − ... − pm+1 z −( m+1)ИУ-1. Дискретные САУ. Лабораторный практикум.(31)13В этом выражении учтено, что начальное значение управляющейпеременной u(0) задано. Второе значение управляющей переменной всоответствии с (7) и (29) равно:u (1) = q1 + q0 = a1u ( 0 ) +1∑ bi(32)Значение u(0) не следует задавать слишком малым, так как при этомu(1) будет больше u(0), что в большинстве случаев нежелательно.u (1) ≤ u ( 0 )необходимо,чтобыДлявыполненияусловияудовлетворялось соотношение:u ( 0 ) = q0 ≥ 1 (1 − a1 ) ∑ bi(33)Выполнение условия u (1) ≤ u ( 0 ) вовсе не гарантирует, чтоu ( k ) < u ( 0 ) для k ≥ 2 .
Поскольку расчет параметров регулятора достаточнопрост, значение u(0) обычно изменяют до тех пор, пока не будет полученажелаемая последовательность управляющих сигналов. Часто условиеu(l) = u(0) приводит к хорошим результатам.4. Для объектов с запаздыванием (d > 0) расчет регулятора выполняютс использованием уравнений (17)—(21). В этом случае передаточная функцияапериодического регулятора, определяемая уравнением (11) и cотношениями(29) и (30), принимает вид:GR ( z ) =гдеq0 A ( z −1 )1 − q0 B ( z −1 ) z − d(1 − z(1 − z−1−1α)α)(34),1 α = 1 −1 q0 ∑ bi(35)Пример 2.Для рассмотренного выше объекта определены параметры регулятораповышенного порядка:q0 = 3.810,q1 = −0.0012, q2 = −5.8840, q3 = 3.647,q4 = −0.571,p1 = 0,p2 = 0.247,p5 = −0.046.p3 = 0.554,p4 = 0.244,Результаты моделирования приведены на рис.
2.Как видно из переходных процессов, при ступенчатом изменениисигнала задающей переменной обеспечивается сглаженный характерпереходного процесса. Начальное значение управляющей переменнойуменьшилось по сравнению со значением u(0) на рис.1 на 60%. Длительностьконечного переходного процесса по регулируемой переменной увеличиласьна один такт. Система достаточно хорошо подавляет ступенчатый сигналвозмущения v. Однако выбранное начальное значение управляющейпеременной u(0) приводит к некоторому увеличению показателя качестварегулирования.
Тем не менее апериодический регулятор такого типа можетприменяться достаточно широко, поскольку он обеспечивает меньшиеамплитуды отклонений управляющей переменной.ИУ-1. Дискретные САУ. Лабораторный практикум.145. Требования к отчету по работе.1. Работа и отчет по ней должны быть выполнены самостоятельно.2. Отчет должен содержать:- титульный лист,- задание и цель работы,- вариант для исследования,- подробное описание исследования в виде протокола команд MATLABи полученных в ходе работы графиков, функций, моделей SIMULINK,- анализ характера работоспособности/неработоспособностиполученного регулятора на основании моделирования и диаграмм ltiview дляразличных периодов дискретизации,- результаты моделирования замкнутой системы при наличиивозмущающего воздействия,- сравнительный анализ функций u для двух типов апериодическогорегулятора,- общие выводы по работе.3. Отчет выполняется в текстовом редакторе и сохраняется в формате *.rtf.ИУ-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
