Пупков К.А., Коньков В.Г. Интеллектуальные системы (1-е изд., 2001) (1245264), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

[108] Для того, чтобы набор u 0 (t )  {uS0 (t ), u 0N / S } быллокальной угрозой и контругрозой для коалиции S достаточно, чтобы для T   F (t,x0(t),u0 )  F f k   Φk (T,x0(T),ξ j(T)    k,ξ j(t)  k0 ,u j   dt, uгде γ j xx t0 j k , j  N , N / S  f   f k , j  [S , N / S ], & j (t )  A(t )   j (t )  B j (t )  u j (t ),  j (t0 )  0, A  , B j  ;x  u j 00x& 0 (t )  f ( x, uS0 , u N/ S ), x ( t0 )  x0 ; v j  u j   j  u j-реализацияугрозиконтругроз, v j , u 0j , u j принадлежат U j , вектор малых величин j выбираем изусловияT20  u j  v j  dt   , где  >0 — малая величина.y0Если показатели имеют смысл показателей эффективности, то знаки второго итретьего неравенств в (105) меняются на противоположные.Доказательство.

[108] Допустим, что задана постоянная  >0 и для0управлений u S0 (t )  U S и u N/ S (t )  U N / S условия теоремы выполняются.Введем допустимые вариации управленийvS (t ,  S )  uS0 (t )   S  uS (t )vN / S (t ,  N / S )  u N0 / S (t )   N / S  u N / S (t ),где uS (t )  U S и u N / S (t )  U N / S .любых допустимых u (t )  {uS (t ), u N / S }  U , выполнялась система неравенств:45Тогда для любого фиксированного набора управлений u ( t )  U существуетпостоянная 1>0 настолько малая, что неравенство (103) выполняется при S ,  N / S  0, 1  .Введем функциюТаким образом, из первого условия (105) при  S  0, 3  и соответствующемзнаке  S следует, что управление v S (t ,  S ) реализует локальную угрозукоалиции S.Далее покажем, что из второго и третьего условий (105)0f k ( S ,  N / S )  J k (v S , v N / S )  J k (u S0   S  u S , u N/ S   N / S  u N / S ) (107)Тогда f k (0,0)  J k (u S0 , u 0N / S ) .В силу свойства функций fk, Fi, i о непрерывной дифференцируемости поf k, (k,j= S,аргументам x, u существуют непрерывные частные производныеjN/S), которые при  S   N / S  0 принимают вид (106).f S (0,0)Из первого условия (105) 0 следует, что у коалиции S существует Sдопустимая вариация vS (t ,  S ) управления uS0 (t ) , реализующая угрозу (101)f S (0,0)коалиции S.

Действительно, при  S  0 S  0 . SПри этом  S  0,  1  можно выбрать так, чтобыf S (0,0) S  0 . S(108)Выполнение первого условия (105) достаточно, чтобы существовала достаточномалая постоянная 2>0 такая, что при  S  0,  2  имеет местоf S ( S ,0)  f S (0,0) , что следует из добавления к обеим частям (102) величиныf S (0,0) и изменения левой части на бесконечно малую величину 0( S ) .Последнее соотношение с учетом обозначения (107) принимает видJ S (uS00   S   3  min 1,  2  .0  S  uS , u N/S ) 0J S (uS0 , u N/ S ) ,припри соблюдении условия (108) существует допустимая вариация v N / S (t ,  N / S )0управления u N/ S (t ) , реализующая контругрозу (102) контркоалиции N/S.Выберем N /S   f (0,0)    S при  S  0,  3  .  S f S (0,0)    S   N / S 1Получимf S (0,0)f (0,0) S  S N / S  0 . S N / SffПри S  0 выбираем  S  0 , а при S  0 —  S  0 . S S0J S (vS , uN/S )f(0,0)f S (0,0) 0, N /S 0, N / S N / SВ силу условия (108) имеет место  N / S  0 .Вследствие непрерывной дифференцируемостифункции(109)f N / S ( S ,0)вокрестности  S  0 существует  4  const  0 такая малая, чтоf N / S ( S ,0) 0 при  S  0,  4  . N / SТак как  N / S  0 , то при 0   S   5  min 3 ,  4  и 0  N / S  1f N / S ( S ,0) N /S  0 . N / S(110)46Величина1  0находится из неравенства (103) при фиксированномуправлении uS (t ) , реализующем локальную угрозу S, и выбранному u N / S (t )при реализации контругрозы.Из (109) следует существование постоянной  6  0,  6   3 такой, что приОдин из вариантов методического упрощения структуры алгоритма на второмэтапе заключается в сведении исходной задачи к такому виду, когда дляполучения u 0 достаточно использовать лишь области достижимости.Для этого вводятся дополнительные координаты S  0,  6  и  N / S  0,  6 x&0 K  FK (t , x, u ),f S ( S ,  N / S )  f S (0,0) .(111)      f N / S ( S* ,  N / S )  f N / S ( S* ,0) .При0   S  min 5 ,  6 исоотношения (103), (111), (112).Раскрывая обозначение (107)vN / S (t ) 0uN/ S (t )   N / S0   N / S.

из(111), min  6 ,  7  S*(112)J K   K ( x(T ), T )  x0 K (T )   K ( x (T ), T ) (113)где x (T )  x0 K T , x (T ) — расширенный вектор, K  ( S , N/S ) .Тогда(112)управление uN / S (t ) реализует контругрозу0J S (v S , v N / S )  J S (uS0 , u B0 / s ), J N / S (v S , v N / S )  J N / S ( v S , u N/ S ) .Такимтеорема доказана.образом,Алгоритм оптимизации. Условия теоремы 2. предполагают, чтонеравенства (105) выполняются на множестве допустимых управлений u jкоалиции j  ( S , N/S ) . Следовательно, каждое из трех скалярных произведенийвыражения (106) представляет собой произведение вектора, зависящего отоптимального управления и траектории, на любой вектор из допустимогомножества.Если в первом слагаемом множество  j (T ) имеет смысл множестваf K    K x 0 (T ), T,  j (T ) ; j xвыполняютсяимеем:,и исходная задача сводится к задаче с терминальным показателемИз неравенства (110) для любого фиксированного  S*  0,  5  существуетокрестность 0,  7  S* , где  7  S*  0 и  7  S*   1 , и при  N / S  0,  7  S*такая, чтоx0 K t0   0(114)& j (t )  A (t )   j (t )  B j (t )  u j (t ),  j (t0 )  0, u j  U j (1150x& 0 (t )  f ( x 0 , uS0 , uN/ S ), x ( t0 )  x0 ,(116)где последняя система имеет вид0 x& o (t )  FK (t , x 0 , uS0 , u N/ S ), x0 K ( t0 )  0 0K.0 x& 0 (t )  f ( x 0 , uS0 , u N),x(t)x/S00(117)В данной трактовке достаточные условия принимают вид системыдостижимости при t=T [172], то в интегральном члене (106) имеет местоансамбль траекторий  j (t ) и множество управлений u j (t ) .47Вектора a, b являются векторами, однозначно зависящими от u0.

Вектора S (T ), N / S (T ) заполняют соответствующие области достижимости (ОД) (См.рис. 21). f   S T , x 0 (T ) S ,  S (T )   0x  S 0   S T , x (T ) f S,  N / S (T )  0 ,x  N / S 0 f N / S    N / S T , x (T ),  N / S (T )  0 x N / S  j2(118)lIОД N/Sпри наличии связей (115), (116), (117).Здесь и далее рассматриваются кусочно-непрерывные управления u j (t ) видаl IIIu j (t )  q1 j  1t  t0   1t  t1   q2 j  1t  t1   1t  t2   ...

, l IV l IIl IIгде qij min  qij  qij max или параметризованные стратегии u j (t )  q j , x (t ) .lI0Таким образом, необходимо найти пару (uS0 , u N/ S ) , которая на множествахдопустимых управлений uS  U S и u N / S  U N / S и, как следствие, намножествах S ( t ), N / S ( t ) обеспечивает систему неравенств (118).Общую алгоритмическую структуру этапа 2 теперь можно базировать на основеследующей геометрической трактовки.Примем для рассуждений без ограничения общности результата, чторазмерность систем (115) и (116) dim j  2, dim x  2 .Тогда система (118) является системой скалярных неравенств следующего вида(прочерки над переменными опускаем) f S a,S (T )  a1  S1 (T )  a2  S2 (T )  0S f S a,N / S (T )  a1  N / S1 (T )  a2  N / S2 (T )  0 .

(119) N / S f N / S b,N / S (T )  b1  N / S1 (T )  b2  N / S2 (T )  0 N / SОД  SlIj1l II l IIIl IVРис. 21 Топология алгоритма на основе ОДУтверждение 2. Для того, чтобы третье неравенство системы (119)выполнялось на всей ОД N/S достаточно, чтобы вектор нормали bгиперплоскости находился «внутри» конуса (lI0lII), где lI и lII - вектора нормаликасательных гиперплоскостей к ОД N/S .Доказательство. Достаточно учесть знак скалярного произведения b,  N / S (T ) при всех возможных положениях векторов  N / S (T ) в ОД  N/S .Утверждение 3. Для того, чтобы второе неравенство системы (119)выполнялось на всей ОД  N/S достаточно, чтобы вектор нормали aгиперплоскости находился “внутри” конуса (-lI0-lII).48Доказательство базируется на учете знака скалярного произведенияa, N / S (T )  при всех  N / S (T )  ОД N/S .в точку касания ОД и гиперплоскости, а также вектор нормали l в точке касанияопределяются при решении задачиУтверждение 4.

Первое неравенство системы (119) ограничивает областьдопустимых значений нормали a гиперплоскости второго неравенствасистемы пересечением конусов (-lI0-lII) и (-lIV0-lIII), где lIII и lIV - нормали кгиперплоскостям, касающимся ОД S .Доказательство. Рассмотрим от обратного нормаль a в зачерченномсекторе (-lII0-lIV). Тогда всегда найдется вектор  S (T )  ОД S , которыйобеспечит равенство a,  N / S (T )   0 , т.е.  S (T ) a .Полученная система конусов (lI0lII) и (-lIV0-lI) (выделены ярко на рис.

Характеристики

Список файлов книги