Белоконь С.А. Разработка матмоделей, методов и средств исследования аэродинамики (2018) (1245245), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Этот маневр в сочетании спрямолинейным равномерным движением позволяет планировать те сегментытраектории БПЛА, на которых начальная и конечная скорость, а также начальная иконечная высоты различаются незначительно. Планирование маневра основанона базе заранее экспериментально рассчитанных маневров и на использованииинтерполяции.Анализ приведенных выше работ показал, что в большинстве методов дляпостроения маршрута движения беспилотных летательных аппаратов, заданногопутевыми точками,используются либо сплайны, либо сопряжение прямыхучастков дугой окружности. Оба этих подхода имеют существенные недостатки.Так, при переходе от прямолинейной траектории движения к круговой скачкомизменяется нормальное ускорение от нуля на прямой до V 2/R на окружности, чтоприводит к ударным нагрузкам на конструкцию летательного аппарата.Использование сплайнов позволяет избежать таких переходов, но из за постоянноизменяющейся кривизны траектории, по крайней мере одна управляющаяповерхность постоянно активна.Далее в работе для решения проблемы планирования маршрута, заданногопоследовательностью поворотных пунктов, предложен упрощенный метод расчетаплоскойтраектории,состоящейиз62отрезковориентированныхпрямых,сопряженных клотоидами (спиралями Корню) [43, 96].
Клотоида не толькообеспечивает непрерывное с заданной скоростью изменение нормальногоускорения, но и является самой короткой среди переходных кривых подобногокласса.4.2 Постановка задачиПод маршрутом движения летательного аппарата (ЛА) понимается проекциятрехмернойтраекторииполетанагоризонтальнуюплоскость.Основойпланирования такого маршрута является указание координат поворотных пунктовмаршрута и определение траекторий движения между ППМ и траекторийповоротов в окрестностях этих пунктов.
На рисунке 17. представлена схемафрагмента маршрута, состоящего из трех ППМ и соответствующих траекторийL1 , L 2 , S 1 .xP2 ( z 2 , x 2)ΔϕbнS1ϕ2 =ϕ1 + ΔϕL1bкϕ1P1 (z 1 , x 1 )L2zP3 (z 3 , x 3 )Рисунок 17: Схема фрагмента маршрута63Пункты поворота представлены точками P1 , P 2 , P 3 с указанием координат всистеме ( z, x ), принятой при описании движения ЛА. Движение между ППМосуществляется по прямым линиям в направлениях возрастания индексов ППМ,т.
е. по отрезкам L1 , L 2 ориентированных прямых линий. Поворот от траекторииL1 к траектории L2 осуществляется по кривой S 1 , к которой предъявляютсяспецифические требования, связанные с необходимостью учета ограничений наперегрузки, испытываемые ЛА.Определим перегрузку n̄ как отношение ускорений, испытываемых ЛА, кускорению силы тяжести g , т. е.: n̄=V̄˙,gгде V̄˙ – вектор ускорения ( at , a n ) с компонентами at – тангенциальноеускорение, и an – нормальное ускорение. Без потери общности мы будем считать,что движение по маршруту осуществляется с постоянной скоростью V = const и,следовательно, в перегрузке отсутствует компонента at , т. е.n=an(21)gВ точках b s и be начала и конца поворота соответственно прямые L1 и L2должны быть касательными к кривой S 1 .
Это необходимо для непрерывноститраектории. Но для гладкости траектории этого недостаточно. Необходимо ещесоблюсти равенство кривизны траекторий в точках сопряжения. Важность этоготребования демонстрируется, например, в случае сопряжения прямой сокружностью. В этом случае в точке сопряжения нормальное ускорение скачкомизменяется от нуля на прямой доV2на окружности. Внезапное приложениеRтакого ускорения, в общем случае немалого, воспринимается конструкцией ЛА64как ударная нагрузка, при которой деформации элементов конструкции могутзначительно превысить деформации при медленном приложении аналогичнойнагрузки.
С этим явлением, например, давно знакомы строители дорог [97, 98].Ими широко используется кривая, сопряжение которой с прямолинейнымиучастками траектории не приводит к ударным нагрузкам. Один из вариантовреализации подобной переходной кривой – это спираль Корню или клотоида [99].4.3 Метод построения гладких траекторийВ данной работе предложен упрощенный метод расчета гладкого маршрутаP1 , P 2 , P 3 с использованием клотоиды в качестве траектории поворота иориентированных прямых L1 , L 2 в качестве маршрутов движения от точки P1 кточке P2 , и от P2 к P3 соответственно.Для описания маршрутов L1 и L2 естественно воспользоваться хорошоразработанной теорией ориентированных пересекающихся прямых, проходящихчерез две заданные точки [82]. Для сокращения объема излагаемого материала мывоспользуемся векторной формой вычислений.Введем[r̄ ( z ,x )= z222врассмотрениерадиусы-векторы[r̄ ( z ,x )= z1 111x T,1]Tx T , r̄ ( z ,x ) = z x T и r̄ ( z,x )= [ z x ] точек P1 , P2 , P3 и223 3 333][]произвольных точек P ( z,x ) , лежащих на прямых L1 и L2 соответственно(рисунок 18).Вектор R̄1= r̄ 2− r̄ 1 определяет направление движения ЛА от точки P1 кточке P2 , т.
е. единичный вектор τ̄ 1 касательной к траектории L1 :τ̄ 1=R̄1[= τ̄|R̄1| ( 1 ) zT( τ̄ 1 )x ] =[ cos ϕ 1sin ϕ 165]T(22)и единичный вектор нормали к этой траекторииn̄1= ( τ̄ 1 ) −( τ̄ 1) T = cos ϕ1−sin ϕ1 T ,zx[] [ϕ1где–угол]между(23)положительнымнаправлениемосиzиориентированной прямой L1 соответственно.xP2R̄1r̄2L1L2r̄1ϕ1P1zR̄2r̄3P3Рисунок 18: Радиусы-векторы точекСама прямая L1 ( z,x ) определяется уравнениемL1 ( z,x ) = r̄ ( z,x )⋅n̄1 +c1 =z⋅sin ϕ1− x⋅cos ϕ 1 +c 1=0 .(24)Уравнение прямой L2 ( z,x ) определяется аналогично с заменой индексов 1 на2 и 2 на 3.L2 ( z,x ) = r̄ ( z,x )⋅n̄2 +c 2 =z⋅sin ϕ2− x⋅cos ϕ 2 +c 2=0 .66(25)Константы c1 и c 2 определяются из условия прохождения прямых L1 и L2через точки P1 и P2 для L1 и точки P2 и P 3 для L2 :{c 1 =− r̄ 1 ( z 1 ,x 1 )⋅n̄1=− r̄ 2 ( z2 ,x 2 )⋅n̄1c2 =− r̄ 2 ( z2 ,x 2 )⋅n̄2=− r̄ 3 ( z 3 ,x 3)⋅n̄2}(26)Очевидно, величина и направление скоростей движения по прямым L1 и L2определяются векторамиV̄ 1 =V⋅τ̄ 1 , V̄ 2 =V⋅τ̄ 2 ,(27)где V=const – линейная скорость ЛА.В качестве траектории поворота S 1 принимаем клотоиду (спираль Корню),которая не только обеспечивает непрерывное с заданной скоростью изменениецентробежного ускорения, но и является самой короткой среди переходныхкривых подобного класса.В координатах ( z,x ) спираль Корню описывается интегралами Френеля{Uz ( U )=∫ cos0Ux ( U )=∫ sin0π 2U dU,2(28)π 2U dU .2Поскольку мы не будем пользоваться табличными значениями интеграловФренеля, нам удобнее другая нормировка в соотношениях (28) и мы определимклотоиду в форме67{τz ( τ ) =a⋅∫ cos0τx ( τ ) =a⋅∫ sin02τdτ ,2(29)2τdτ .2Чтобы соотношения (29) имели физический смысл, параметр a следуетрассматривать как некий масштабный коэффициент, т.
е. положить [ a ] =M , ипринять τ за безразмерное время, т. е. положить Δτ=Δt, где [ T ] = [ t ] =c . Здесь иTдалее знак [⋅] обозначает размерность переменной.Соотношения (29) задают траекторию поворота S 1 в параметрическойформе. Дважды дифференцируя (29) по параметру τ получаем:[ ]2cosV̄ ( τ ) =a⋅τ2τ2sin2[ ]2иd V̄ ( τ )=aτ⋅dτ−sinτ2τ2cos2,(30)т.
е. векторы скорости и ускорения ЛА в функции параметра τ .V̄ ( τ )Из второго соотношения (30) очевидно, что ||=aτ и, следовательно, дляdτплавного перехода к повороту или выхода из него в точках сопряжения клотоиды спрямыми L1 и L2 необходимо иметь τ= 0 .Определимϕ(τ )– угол наклона касательной к клотоиде. В точкесопряжения клотоиды с прямой L1 τ= 0 и ϕ ( 0)=0 . При движении по клотоидеV x (τ )2τΔϕ ( τ ) будет получать приращение Δϕ ( τ ) =Δarctg=Δ , т. е.2V z(τ )68τ2dϕ=τ и ϕ ( τ ) =ϕ ( 0 ) + .2dτ(31)Очевидно, что соотношение (31) не может одновременно удовлетворятьусловиям ϕ ( 0 ) =ϕ 1 и ϕ ( 0 ) =ϕ 2 в точках сопряжения с прямыми L1 и L2 . Этопротиворечие устраняется использованием так называемой симметричнойклотоиды, состоящей из двух частей.
При этом параметр τ изменяется от τ= 0 вточке сопряжения с прямой L1 до некоторого значения τ c с соответствующимизменением ϕ ( τ ) от ϕ ( 0 ) =ϕ 1 на L1 до некоторого ϕ ( τ c ) =ϕ c и обратногоизменения τ от τ c до τ= 0 на участке изменения ϕ ( τ ) от ϕ ( τ c ) =ϕ c доϕ ( 0 ) =ϕ 2наL2Соотношение (31) в этом случае принимает формуτ2ϕ ( τ ) =ϕ ( 0 ) ± , справедливую для обоих участков клотоиды.2Для симметричности клотоиды следует положитьτ 2cΔϕΔϕ ( τ c )==± ,22(32)где Δϕ – угол между положительными направлениями прямых L1 и L2 .Знак в (32) определяется знаком угла Δϕ , т.
е. необходимо положитьτ 2c =|Δϕ| и τ c =√|Δϕ| .УголΔϕотсчитывается(33)отположительногонаправленияL1доположительного направления L2 против часовой стрелки, т. е. Δϕ≥0 при левомповороте от L1 к L2 и Δϕ≤0 при правом повороте от L1 к L2 .При таком определении Δϕ всегда должно выполняться равенствоϕ 2=ϕ 1 +Δ ϕ .(34)69В [82] приведены соотношения для вычисления Δϕ при задании прямых вформеf ( z,x ) =Az+Bx+C= 0 .В нашем случае с учетом (22), (23), (24), (25) получимA 1=( τ̄ 1 ) ,B 1=−( τ̄ 1 ) ,A 2 =( τ̄ 2 ) ,B 2 =−( τ̄ 2 ) .zxzx(35)Теперь из (35) получим{cos Δϕ=( τ̄ 1 ) ⋅( τ̄ 2) + ( τ̄ 1) ⋅( τ̄ 2 ) = τ̄ 1⋅τ̄ 2 ,xxzzsin Δϕ=( τ̄ 1) ⋅( τ̄ 2 ) − ( τ̄ 2) ⋅( τ̄ 1 ) = τ̄ 1⋅n̄ 2zxz(36)xПрименение процедуры atan2 системы MATLABTM к соотношениям (36) даетзначение Δϕ , удовлетворяющее условию −π<Δ ϕ <π , что при выполнении (34)исключает ошибки, связанные с многозначностью функции Arctg.Очевидно, прямая с углом наклонаϕ c =ϕ 1 +ΔϕΔϕ,= ϕ2 −22(37)проходящая через точку P2 ( z 2 ,x 2 ) , делит угол между положительныминаправлениями прямых L1 и L2 пополам, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
