Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 96
Текст из файла (страница 96)
тг 2Ь Г \ )в 0 + „+ в (12 44) уЫУе У 2Ы„е У 2Ьу ((1 — е У) тглвктогия полвтл снлвядл ф А~ ф lу , уг уууст ууугг Раунены у нуинеиу унемени Рис. 12,13. Спектр угловой скорости при сближении по лучу; бе=15; р= 5. Ьт лег лууп (~ Релгенм У ериницу Ууемени Рис. 12.14. Спектр угловой скорости при сближении по лучу; бе = 45, р = 1,5. 12.2! 497 чистов пгвслвдовлнив это и даст частотный спектр угловой скорости. На рис. 12.!2— 12.!6 приведены спектры, соответствующие рис. 12.6 — 12.9.
Орли- наты этих кривых представляют собой относительные амплитуды, а абсциссы — частоты в радианах в секунду, если время нормировано на 1Г. Излом этих кривых происходит от нашего предположения, что после попадания угловая скорость равна нулю. Рассмотренный здесь случай относится к проблеме класса поверхность в воздух, причем мы предполагаем, что снаряд стартует га й ~ц йа ' аг»г га 'ап Л7йт (~ Радианы 3 е1анаау 1ггеггана Рис. 12.15. Спектр угловой скорости при сближении по лучу; во=45 э=5. непосредственно в луче. Проблема захвата снаряда лучом рассматривается отдельно в главах 13 и 16. Очевидно, что проблема класса воздух †возд будет значительно сложнее, так как она требует вообще рассмотрения трехмерного движения. Рассмотрение маневрирующих целей не входит в задачу настоящей главы.
Сложность этой проблемы обычно такова, что решение в конечном виде не может быть получено. 12.2. Чистое преследование ') Вероятно, наиболее давно известная и простая траектория есть так называемая кривая погони или «собачья кривая», получающаяся ») У нас обычно применяют термин »самонаведение». Однако, поскольку в этой книге слову «самонаведение» придан физический, а не кинематический смысл, мы пользуемся дословным переводом американского термина. (Прил». перев.) 52 зеь эйг.
А. с. л»э» [гл. 12 498 ТРАЕКТОРИЯ ПОЛЕТА СНАРЯДА Рис. 12.16. Чистое преследр- гр = — — Итз г = — — !г 5!и, г12.46 6) где точкой, как обычно, обозначено дифференцирование по времени. Интегрирование зтих уравнений очень просто. Деля (12.46) на (12.46), мы получим: г ! р — =~ — — с!и р)т, г 51пт (12. 47) Ум где, как и раньше, положено р = —. Этоуравнениеинтегрируется ьт непосредственно, и мы получаем: (51п т) (1+ сов т)Р (12.48) где К в постоянная интеграции, определяемая начальными значениями гр и вр: Р Л|-5- ~5У5) (12 49) (51п т6) при чистом преследовании. Существуют два типа преследования: 1) чистое или обыкновенное, при котором угол упреждения равен нулю, и 2) с упреждением, при котором углу упреждения придается некоторое постоянное значение.
Чистым Преследованием называется метод сближения, при котором вектор скорости снаряда непрерывно проходит через цель. У р а в н е н и я да и ж е н и я. При выводе уравнений движения мы сделаем следующие предположения; а) цель движется прямолинейно (не маневрирует); б) скорости снаряда и цели постоянны; в) рассматривается только движение в неподвижной плоскости, определяемой векторами скоростей снаряда и цели. Геометрические соотношения, необходимые для вывода уравнений движения при чистом преследовании, приведены на рис. !2.16.
На нем применены следующие обозначения: г — расстояние МТ между снарядом и целью, у — угол между направлением скорости цели и линией МТ. Таким образом, положение снаряда относительно цели определяется полярными координатами г и у. Для удаляющейся цели, как показано на рис. 12.16, уравнения движения получаем, беря составляющие скорости по радиусу-вектору и по перпендикуляру к нему: г = )гтсоз ~7 — 1гм (12.46) 12.2] йибтов пгвблвдованив г = — !гт соа р — !гм (12.50) (12.51) г р = !гт а!п су.
Если снова разделить (12.50) на (12.51), получим: — = — — + с!усу) чч г с' р (12.52) откуда квадратурами получаем: о (1+своз) (12.53) (а!п т)тс ' где постоянная К' определяется через го и ео следующим образом: го бип во)с (1 + соо в~с) Строить траектории по уравнениям (12.48) и (12.53), не имея явной зависимости г и су от времени 1, затруднительно.
Поэтому поступим следующим образом. Для удаляющейся цели по (12.45) мы имеем: г сов 4 = !гт созе Чс — )гм соа Чс, (12.55) а'из (12.46) имеем гу з!п !с = — Чтя!по с!с. Вычтем (!2.56) из (12.55); получим: (12.56) г соз о — гсо з1п со = !гт — Ум соз со = г+!гг =!гт — !гм — =!гт — рг — р!гм (12 57) !гт Это мы можем переписать так: г (соз со+ р) — гсо сйп со = !гя — РУм. (12.58) Уравнение (!2.58) легко интегрируется следующим образом: (соз о+ р) с1г — г сйп чс с(чс = 0~ т — РЧм) ЙС, о 3' с / (соз Ч'+ Р) сог / г з1п 9 'И = ~ (сгт — Рсгм) ссс.
32* Если цель движется навстречу, то г уменьшается кзк вследствие движения снаряда, так и вследствие движения цели. Поэтому уравнения движения будут: (гл. 12 500 тялектогия полета Снлгядл Применяя к интегралам в левой части. формулу интегрирования по частям, находим: г (сов ~ + р) ( = ()гт — р вгм) г, или г(соз у+р) — гв(сов уз+ р)=()гт — р)~м)! (!2 59) Отсюда определяем время, протекшее с момента 1 = 0 (для удаляющейся цели): гв (сов чв+Р) — г (сов э+Р) 'Р)гм !Гт (12. 60) В случае цели, летящей навстречу, можно рассуждать совершенно таким же образом.
Получаем дифференциальное уравнение г (соз ~у — р) — г~у в1п ~у = Рвгм — )гт, (12.61) решение которого есть г (соя'у — р) — гр(соз ув — р) = (р)гм — (гт) 1, (12 62) г(сов т — р) — гв(сов чв — р) откуда (! 2.63) Р)гм — )гт При помощи полученных теперь соотношений мы можем построить траекторию снаряда для желаемых частных случаев. Например, для цели, летящей навстречу, используем (12.53) и (12.63). В них )гм, )гт, р, гв и ув заданы и начальное относительное положение снаряда к цели известно. Исходя из начального положения снаряда, можно получить его последующие положения. Берем новое значение у+Ьу и из (12.53) вычисляем новое значение г.
После этого нз (12.63) вычисляем время 1; зная 1 и )Гт, найдем перемещение цели. Из нового положения цели проводим прямую под углом э+ А<у. Новое положение снаряда найдем, отложив вдоль этой прямой новое расстояние г. П р и м е р 1. Построить траекторию преследования для цели, летящей навстречу, если )гм = 4)Гт, где Чт — соответствует М =- 0,66. Начальная горизонтальная дальность цели 117 000 футов. Высота цели 30000 футов. Заметим, что скорость, соответствующая М = 1 на высоте 30 000 футов, равна 995 футов в секунду и что р= 4. Здесь гв= 120785 футов и в = 14,4'.
Из (12.54) находим К' = 7,60. Траектория снаряда строится, как указано выше, и изображена на рис. !2.17. Рассмотрим вкратце свойства этой траектории. Начальное расстояние от снаряда до цели равно 120 785 футов, а попадание происходит при ~у = 180'. Однако уже при у = 60' расстояние между снарядом и целью равно всего 12.2) 501 чистов преследование 79 футов; при этом с момента старта уже прошло 37,14 сек, а полное время полета снаряда г' = 37,17 сек. Это означает, что за оставшееся 0,03 сек снаряд должен повернуться на 120'. Угловая .скорость получается очень большой. Ниже будет показано, что угловая скорость монотонно растет и в момент попадания стремится к бесконечности. Масштаб, выбранный на рис. 12.17, не позволяет точно изобразить траекторию вблизи цели. Йюь 0 00 00 00 00 00 70 00 00 100 00 ЛЫ Гприяявплья00 00яьяяьтяь 0 01ьяятяях р~тЯ Рис.
12.!7. Траектории при чистом преследовании. В р е м я п о л е т а. Время полета для удаляющейся цели можно найти иа (12.60), положив г = О. Это дает: г, (сов Рв + Р) Р)'и 1'т (12. 64) Для цели, летящей навстречу, из (12.63) находим: — гв (сов в,1 — 70 Р !'и — "'т (12.65) 1 т Ъьт (51и т)1 1Р = — 51П 1р = К'(1+ сов р)" (12.67) Отсюда видно, что при р ) 1 время полета всегда остается конечным.
П р и м е р 2. Используя данные примера 1, найти время полета для обоих случаев движения цели. Для цели, летящей навстречу, из (12.65) получаем гà — — 37,2 сек. Для удаляющейся цели из (12.64) получим: Рг — — 60,9 сек. Угловая скорость каса тельной к траектории при чистом преследовании. Для удаляющейся цели угловая скорость определяется уравнениями (12.46) и (12.48): )ьт 1Ят П + сов т)вв 1Р = — — 51П 1Р =— (12. 66) г К(вро в)а-в Из уравнения (12.48) ясно, что и — + О, когда 51п 1р — + О. Поэтому, когда снаряд накрывает удаляющуюся цель, Т1-+О. Для цели, летящей навстречу, угловая скорость определяется уравнениями (12.51) и (12.53): ВО2 !гл. 12 траектория полата снлгвлл (12.69) $"т (1+ сов т)" Иа р — — Иа т.+о К т-»о (5!пт) В случае цели, летящей навстречу: при1<р(2 (!2.70) »'т (в!п р)яо 1ип <р =- —, Июп =О; т»» К' т.о (!+совр)Я (12.
71) при р= 2 (в!и т)5 4 !Гт 1ип !р= —, 1ип К т-»» (1+соя р) К' (12.72) при р) 2 (5!п т).+в Иа <р= = со. К то (1+совт)" Вычисление пределов для случая удаляющейся цели не нуждается з пояснениях. В случае же цели, летящей навстречу, приведем соответствующие вычисления. При 1 ( р ( 2, отбрасывая постоянный коэффициент, имеем: (в!и т)Я+~ О 1ип 50» (!+воат)Я О По правилу Лопиталя (5!и т)"" р+ 2 в!пя т сов т О . П+совт)Я р, .(!+воат)Я ' О р+ 2 . р я!пя т — (р+ 1) в!пят О !оп р(р — 1) то» (1+ сов т)" 5 О р+2 ~ . рв!пя в т .
(р+1) 5!пят ~ Игл , — !ип р(р — 1) ( те» (1 + 005 т)! т-»» (1 + 005 т) ! = — Иа (12.74) Р— 1 5.»» (! + 505 т)! (12.73) Здесь г -+ О, когда !р †+, и поэтому при цели, летящей навстречу, снаряд накрывает ее при 4~-»к. Представляет интерес найти предельное значение угловой скорости в тот момент, когда снаряд накрывает цель. Это предел зависит от отношения скоростей и оказывается различным для двух рассматриваемых здесь типов движения цели. В случае удаляющейся цели: при 1(р(2 Иа <р = — — 1ип (51п р)' !' (1+совр)Я = О; т-»о К т-~о при р=2 )т . 4!Гт. 1ип <р= — — 1ип (1+сов р)'= —; о-во К т-ьо в при р)2 12.2) 303 чвстов птвслвдовлнвв поскольку в этом случае р — 2 < О. Отсюда, так как И1П 5!пр О .
с05р = — = Иш =со, «»1+с05 т О «к — $!пр яз (12.74) получаем: $.1 к(1+с05 т)РР— 1 р-«к (1+с05 р / Этим доказывается равенство (12.71). Теперь рассмотрим случай 2 < р < 3, снова отбрасывая постоявный коэффициент. Опять будет: (5!и в)1 О р «к (1+ С05 р)Р О так что, применяя правило Лопвталя, мы имеем: $!пз'+ р Р+2 . 51пят сов р О 1ип = — — !ип р, к(!+совр)Р Р р «(!+совр)Р 1 О !ип Р+2 . Рв!пв ~рсоа т — з!пят Р(Р 1)р.«» (1+сов р)Р 1!ип А — Ирп В).
р+2 Далее: 1ип А = р 1ип 5!пз р с0$ р-«к(1+ С05 9) ( 5!Пт =рйю ( ) !ипсовзр7=р ° со ° 1=со, , 1! + сов р ) з!и т поскольку Ирп =. со; !+Совт Ирп В— 5!пят О Р Ит (!+сов т)Р в ΠР— 2 р « Р . $10Р р = — — 1ип з Ирп совр Р— 2р «» (1+совр)Р р-«к 51пР р с05 т (1 + с05 т)Р Р = — ° О ° ( — 1) = О, р — 2 поскольку р < 3. Таким образом, Иа (510 т)Рв з Р+ 2 (со — О) = со. (12.76) р.«к (1+ С05 р)1 Р(Р— 1) Это означает, что Ив! 17= со пря 2 "р< 3. В случае, когда 3 < р < 4, р возрастает на едянвцу в ! получает множитель 51п р )+ чоз т' , предел которого прв чр-«и есть оо, Поэтому, приз(еияя [гл. 12 тРАвктоРия полвтА снАРядл 504 метод математической индукции, находим, что Иш у= со т -Р а (12.
77) для всех нецелых значений р ) 2. Наконец, рассмотрим целые значения р, начиная с р = 2. Применяя правило Лопиталя, легко получаем (12.72). В самом деле, Рт з!пл т О У~ — 2 а!па т соз т О К' „1+ соа т О К' „(1+ соз т) О !хт . — 2а!птсозат+в!и" т 4!ат . 4Ът =2 —,!пп — Иш созау — 0= —, Для удаляющейся цели при 1 ( р < 2 имеем: ! —— ~'~- =7(+-:Л -(-:)'1 ' (12.78) а для цели, летящей навстречу, при ! < р( 2 будет: ,~'-(~)'1 ' ~9|паха= Кх Г Р!Р ~1 — — ) 2) (12. 79) Кривые зависимости угловой скорости от времени могут быть построены при помощи формул (12.66) и (!2.60) для удаляющейся цели и при помощи (12.67) и (12.63) для цели, летящей навстречу. Вычисление нужно вести примерно следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
