Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 95
Текст из файла (страница 95)
(Прядь иврвв.) 12.1] 485 свлижкнив по лучу  — угол места цели относительно управляюпгей точки, Гм — скорость снаряда, Ут †скорос цели, Й вЂ” постоянная высота цели, ла †танге начального угла наклона траектории. У~ Т Рис. !2.1. Сближение по лучу. Непосредственно из рис. 12.1 получаем: (бл)а = (юг)а+ а(ДВ)а. (12.1) В пределе это дает: (12.2) Расстояние, которое цель проходит за время т, будет: Угу = )с с(и  — й с(я В, (12.3) (12А) Но по определению (12.5) т) Это, очевидно, предполагает, что место старта н точка управления совпадают.
(Призе. иерее.) где В, есть угол, под которым цели при т'= О. Дифференцируя йг Ут— и'В снаряд стартует '), или угол места (12.3) по В, получаем: Я вЩ~~6 ' 486 [гл. 12 ТРАЕКТОРИЯ ПОЛЕТА СНАРЯДА Поэтому из (12.4) получаем: ла ага7Г Л Лв иГЛВ ! У Мпаз — — М (12.6) Подставляя это в (12.2), находим гз (12.7) Если мы введем обозначения Р=— Рт (12. 8) (12.9) то получим дифференциальное уравнение траектории снаряда в сле- дующем виде: (12. 10) Интегрирование дифференциального уравнения. Уравнение траектории в первого порядка, но нелинейное; его нельзя проинтегрировать в элементарных функциях. Решение может быть найдено при помощи разложения в ряд.
Представим г в зиле разложения в ряд Тэйлора о'(З вЂ” зо)' ',"(а — зе)' г=г +г (0 — 0)+ + +..., (12.11) где т определяет начальный наклон траектории. Из уравнения (12.10) получаем: (')'-+ '=„„'., откуда, принимая во внимание первое из начальных условий (12.12), получаем: (12.14) Второе из начальных условий (!2.12) дает: глв — =1+с)яа0 = —, з1пя За жа (!2 15) где ге есть начальная наклонная дальность снаряда, считая от управляющей точки; в производных от г по 0 нужно положить 0 = 0е. Чтобы получить окончательную формулу для г, нужно выразить коэффициенты г', г", г" и т. д.
через начальные условия ге=0 !в "о=ш (12.12) 12.1! 487 свлижвнив по лю!г так что (12.14) можно переписать так: Д (!+та) о та (!2.16) Чтобы получить г", нужно дифференцировать (12.10). Это дает: 2да с!О 6 5! 46 При 0 = 00 —, =,, поэтому ив (12.!7) получаем: 1 (! + та)а 0 5!пв 6 та 2л (1+ та) (12. 18) О тв Чтобы получить следующие коэффициенты ряда, этот процесс нужно повторять. Приведем значения коэффициентов до десятого члена включительно: Го = О, г' = С, о 2С г о т' С(6+ т) С (24+ 16та) о тв ч С(120+120та+21тв) гч о т 4 С (720+ 960та+ 282т4) тв С (5040+ 8400та + 3606тв + 301 то) о тв С (40 320+ 80640та+ 48384тв+ 6816тв) о та С (362 880+ 846 720та + 645 120тв+ 169 680тв + 468 ! тв) ГО тв х С (3 628 800+ 9 676 800та+ 8 951 040тв+ 3 310 320тв+ 352 562тв) г о т о где С д(1+ та Поэтому разложение решения в ряд будет: г = — (1+ та)[(Π— Оо) — — (Π— 00)а + 3, а (6+та) (Π— 00)а —...~, (12.
19) 1гл. 12 488 ТРАЕКТОРИЯ ПОЛЕТА СПАРЯДА Таким образом, уравнение траектории при сближении по лучу представлено рядом (12.19). На рис. 12.2, 12.3, 12.4 показаны примеры траекторий снаряда при сближении по лучу для углов старта Ое = 15, 30, 45' и для аначеннй отношения р = 1,5: 2; 3; 5. /росна/арон оеои ББ О БЛ //У/ ББ ОО 4О /Б /У /Б /Б ДБ Д/ ДУ 4Б ДБ йрнр йрооонн/анино/ь Биоенос оь Рис. 12.2. Траектории при сближении по лучу. Начальный угол 1/м наклона траектории Ое = 15;р = — , где 1ьм — скорость снаряда, 1/т 1/т — скорость цели. Отметим, что зти траектории построены в декартовых координатах, причем антенна радиолокатора помешена в начале координат. Обе координаты выражены в частях высоты цели.
/росоьно/ььн исаи и оь' о'у О ЛЬ ОУ ОБ Оо /О // /У /Б /Б ДО Д/ ДУ ДБ Б// йонр /ьри/оньоаоьнан Баоьнос/нь Рис. 12.3. Траектории при сближении по лучу. Начальный угол наклона траектории Оь = 30; р = †, где И вЂ” скорость снаряда, м И, — скорость цели. Время полета. Время полета снаряда есть промежуток времени между моментом старта и попаданием в цель.
Из уравнения (12 3) мы имеем. Ит// =- /с с1п 0 — й с1д й (12. 20) 12.1) 489 сзлижвннв по лучу где гу время полета, а 0 — угол места в момент попадания. Отсюда получаем: 17 у (с1оо 0з С1К 07) 77 т Время полета может быть выражено также через наклонную дальность гг в момент попадания. Из рис. 12.1 имеем: 5!П 0 Р (12.22) откуда с(и0 =- — у г' — Й'. 1 -г з У 77 г При помощи (12.23) получаем время полета в виде = — ()С с1д 0о — Угг — йз) . 1'т (! 2.24) Если траектории уже вычерчены, то 0г и гг могут быть просто сняты с графика.
Их можно получить также из ряда (12.19) при (12. 28) (еьр 7раяяаьаяае альа ч ББ и Ба Бу Рис. 12.4. Траектория прз сблокеняи по лучу. Начальный угол на!ем клона траектории Зз — — 45'! р = —, где у — скорость снатет ' ряда, ты — скорость цели. помощи интерполяции.
Приведенный ниже пример поясняет этот метод. Пример 1. Для случая 0з = 15' н р= 2 из (12.19) получаем следующую таблицу: а ~ г ) х 1бо 18о 20о ~22о ОГ 23. 0,4702 1,2440 1,8463 2,3214 2,5166 0,4892 1,3080 1,9648 2,5037 2,7340 Б Бг БЕ ББ ББ (Б Гг йи ЛБ 1Б ге Гц~аеангяаяьная Баяьнеенгь 0,1348 0,4042 0;6720 0,9379 1,0683)УГ~ 400 [гл. 12 тглвктогия полвтл снлгядл У = — (3,732 — 2,424) = 1,308 — .
Для цели, летящей на высоте 30000 футов при числе Маха 0,66, получим: Т 1 = ' — = 59 8 сел 656,7 В момент старта снаряда наклонная дальность цели равна 22,0 мили. Угловая скорость касательной к траектории при сближении по л у ч у. Управление снарядом после старта состоит в том, чтобы отклонять рули на нужную величину и в нужном направлении. В хорошем приближении отклонение руля пропорционально угловой ской к траектории снаряда.
Поэтому исслепри сближении по лучу представляет Рнс. 12.5. К вычислению угловой скорости при сближении по лучу. рости вращения касательно дование угловой ско[)ости значительный интерес. Пусть на рис. 12.5 у тогда имеем: обозначает угол наклона траектории; «у «(гз!па) «(гсоз 0) г'з!пВ+гсоз 0 «х «О ' «В г'сов 0 — гз!пз' Дифференцируя (12.25) по О, получаем: «т 1 гз+ 2гж — г5"' (12.26) ( йг 7Р~ Чтобы найти у = —, нам нужно определить О, поскольку «т «г ' ~=Π—. «т «В ' (12. 27) Из уравнения (12.3) имеем: ! В= Р а гсгйз — к7 ' (12,28) Здесь х и у — декартовы координаты, соответствующие полярным г и ~.
Попаданию, очевидно, соответствует уг —— 1. В этом случае хг — — 2,424 и Вà — — 22,42'. Используя (12.21), мы получим: 491 Свлижвнив по лтчу Лифференцируя по 1, получим: !гФ ЛГ сова В Я с!я Во !гтГ)з 1из В, или ЛВ !Гт — = — жпзВ. л! /~ (12.29) После подстановки в (12.26) находим: га+ 2 (12. 31) и'В га + г'а Из уравнений (12.10) и (12.17) получаем: 2лз с!я В Г" =-— з!пз В l Вз — гз 5!и! В (12.32) Поэтому уравнение (12.31) принимает внд (12.33) Окончательно из (12.27), (12.29) и (12.33) получаем искомую угло- вую скоростш ! — " ~ 1 -/- ) .
(12.зч з!яз В При этом время определяется из (12.3) следующим обрааом: 1 (с!я Вз' с!а В) Р (12.35) )~т Несколько примеров зависимости угловой скорости от времени приведены на рис. 12.6 — 12.9. Масштабы на этих графиках нормированы таким образом, что единица по осн ординат соответствует максимальной угловой скорости, имеющей место в момент попадания, а максимальная абсцисса соответствует времени полета 1 . !'м Теперь мы покажем, что при р=- — ) 1 угловая скоростьвсегда !'т конечна. Из уравнения (12.34) мы видим, что если у стремится Используя тождество — = 1+!да р, из (!2.25) получаем: 1 соУ т (12.30) созе т (г~ соз  — Г 5!и В)а 492 [гл.
12 тглектогиа полита бнлгадА к бес!гонечности, должно удовлетворяться равенство дя ге=в з!пае или л г= —. з!Пз 0 Из рис. 12.5 ясно, что наибольшее значение есть (12.36) При меньших значениях угла 0 снаряд еще не достигает цели, и поэтому г ( —,. (12.38) Вместе с (12.36) это дает; !ав( ! в Поскольку 0 удовлетворяет неравенствам 0 (6 (и, из (12.39) следует: — <51, р (з!п0. (12. 40) Поэтому кривые угловых скоростей, представленные на рис.
12.6 — 12.9, нетрудно перестроить в кривые нормальных ускорений, указывзющих перегрузку в долях л' в любой момент времени после старта. Для этого необходимо умножить у на скорость снаряда в футах ББ Ф Б,7 ~~6 ББ Ъ, ББ ~~6 Бр й ~~~ Р„г М Ц Р,г Б йг Б7 07 БР ББ ББ Б7 КБ ББ 75 9 Ряаяя Б еагБББах Рис. 12.6. Угловая скорость при сближении по лучу; Вз — — 15, р=1,5. дя $ 47 ф 4Б ~'ь 4 Ба 47 а! дя Ба дя ББ йа' Б7 ББ аа !Бее Бяачя Б еаягяБаа Рнс. 12.7. Угловая скорость прн сближении по лучу; во — — !5ь р = 5 Так как р ) 1, это неравенство не может иметь места; поэтому ~ всегда остается конечным при р) 1. Нормальное ускорение при сближении п о л у ч у. Нормальное ускорение снаряда А получим, умножив угловую скорость у на скорость полета: Ам = !(гм у!. (12.41) 12.
1] 493 свлижвнив по лтчг в секунду и разделить на 3 =32,2 95улг/сека. Два примера таких кривых приведены на рис. 12.10 и 12.11 для скорости снаряда, соответствующей числам М = 1, 2, 3, 4. Число Маха взято для высоты 30000 футов. 0,0 й~ Д7 ББ ,'.а 0, 0,7 07 0 07 йд 07 БУ ВБ 00 07 00 00 70'Гп Брпппп 0 спрунппсс Рис. 12.8. Угловая скорость при сближении по лучу; ее= 45; р= 1,5. 40 00 40 й ч~е ВБ ч ~3= ББ Ч" 07 07 0,/ 0 7/7 07 00 00 ВБ 00 07 а г йу 7Му 0рпмп 0 сппрпрлг Рис. 12.9. Угловая скорость при сближении по лучу; бе= 45", р = 5.
Ч а с то т н ы й с п е к т р у г л о во й с к о р о с т и. Если произвести преобразование в смысле Фурье функции, дающей вависимость угловой скорости от времени, мы получим ее частотный спектр. Очевидно, что выполнить преобразование Фурье непосредственно для такой сложной функции, как (12.34), будет или весьма трудно, или даже вообще невозможно. По виду приведенных выше кривых 1гл. 12 тгзвктогия долита сндгвдл замечаем, что для апроксимации выражения (12.34) в пределах от г'=0 до г=г можно применить полипом '). При помощи метода интерполяции, изложенного в $6.15, можно показать, что все Яу Жияя д сенун~ол Рис. 12.10.
Нормальное ускорение при сближении по лучу; ае = 15", р = 1,5. Высота цели 30 000 футов. ю лг уд ду ю я 60 10 ду Юрюя л сеРун1ах Рис. 12.11. Нормальное ускорение при сближении по лучу; аз=45', р = 5. Высота цели 30000 футов. кривые, приведенные на рис. 12.6 — 12.9, могут быть апроксимированы полиномом третьей степени: р =у(1) = аР+ Из+ с1+ А (12. 42) г) Важно отметить, что наша апроксимация полагает угловую скорость после попадзння равной нулю. Могут быть сделаны и другие предположения, например, что угловая скорость после попадания сохраняет свое конечное значение, и т.
и. 495 12.1) СБЛИЖЕНИЯ ПО ЛУЧУ Тогда спектр у(г) будет определен преобразованием Фурье -~- 00 у 0(ш) = ~ у(г) е-У"то'г ~' у(1) е-У гйу (12. 43) где у(г)= О при г ) гу и при 1(0. Теперь нужно вычислить каждый член, входящий в (12АЗ). Например, выполнение преобраао- дд Лт дтгг АРл (~ (~ Рауааны а ийнц~ Ьавмена Рис. 12.12. Спектр угловой скорости при сближении по лучу; 00 — — 1,50 р = 1,5. ванна Фурье над членом Ив ведется при помощи интегрирования по частям: ту Иве-'"'Л= — е-Укм ~ — — ~ 1е-а с1г = /Ыв .„1 ~у 2ЬУ Щ О е 0 0 Подобным же образом могут быть вычислены все остальные . члены выражения (12.43). Чтобы определить только амплитуды, ие обращая внимания на -фазу, необходимо найти модуль 6(ы); ,$ мн ьа й с — у 1 — е-Ж вЂ” — ~ е У"'011= )Ыве У 2Ьг .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
