Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вопрос о том, какие векторы примитивных трансляций имеет изображенная нз этом рисунке «решетка», лишен смысла, поскольку она не является решеткой с точки зрения принятого нами определении решетки: точки этой «решетки» нельзя «перебрать» с помощью набора векторов типа п,а+ п«Ь, где г«1 и пз — любые целые числа, Но предположин, что изображенные точки являются набором однчаковых атомов, можно выбрать точки решетки (например, между атомами, входящими в пару), векторы примитивных трансляций, примитивную ячейку и базис атоиов, связанный с точкой решетки.
Рис. 1.7г. Атомные ряды трех различных кристаллических структур. Точки кристаллической решетки обозначены крестиками, В первом атомном ряду ныбраиные произвольным образом точки решетки деля'г расстояние между атомами пополам. Точки решетки можно поместить и в другом месте при условии, что длива и направление вектора а остаются без изменения. Во всех трех рядах точки решетки связаны друг с другом посредством вектора примитивной трансляции а. Примитинпый (наименьший) базис первого ряда состоит из одного атома и отстоит от точки регпетки па г(з а. Примитивный базис второго ряда состоит из двух одинаковых атомов, один пз которых отстоит от точки решетки на и1а, а второй на иза. Примитявиый базис третьего ряда состоит из двух разных атомов, отстоящих от точки решетки на и,а н иза.
Если бы мы хотели описать атомный ряд первой структуры посредством вектора примитивной трансляции решетки а' (=2а), то базис, связанный с а', состоял бы из двух одинаховых атомов, один из которых находился бы в положении '/га', а другой — и положении з(га', Если бы начало вектора а' совпадало с одним из атомов, то базис состоял бы из атома в позипни О н атома в позиции '(з а', Кристаллическая решетка, образованная вектором а', имеет в два раза меньше точек решетки, чем решетка. образованная иектором а.
Рис. 1.8. Примитивную ячейку можно также выбрать следующим образом: 1) провесги липин, соединяющие данную точку решетки со всеми соселними точками; 2) через середины зтих линий перпендикулярно к ним провести новые линии или плоскости. Полученная таким способом ячейка наименьшего объема есть примитивная ячейха Впгнера — Зейтца.
С помощью таних ячеек можно заполнить все пространство кристаллической решетки так же, как и с помощью ячеек, показанных на рис. 1.7. обаемож'). 11а примитивную ячейку приходится только одна точка кристаллической решетки'). Хотя в каждом из восьми углов параллелепипеда находится точка решетки, однако каждая такая точка принадлежит одновременно восьми ячейкам, которые сходятся в рассматриваемой точке. Обьем примитив- ') Существует много способов выбора векторов приммтивных трансляций н примитивных ячеек для данной кристаллической решетки (рис. !.7а). ') Число атомов в примитивной ячейке равно числу атомов базиса. иой ячейки У, определяется смешанным произведением векторова, Ь,с: У,=[аХЬ с[; [1.3[ он может быть найден с помощью правил элементарной векторной алгебры.
Базис, связанный с точкой решетки примитивной ячейки, можно назвать примитивным базисом. Примитивный базис является базисом, имеющим наименьшее число атомов. Другой вариант выбора ячейки объема У, показан на рис. 1.8. Ячейка, выбранная таким образом, называется в физике примитивной ячейкой Вигнера — ЗейтЧа ОСНОВНЪ|Е ТИПЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК '1 Кристаллические ре|петки могут быть приведены в самосовмешеиие не только в результате трансляционных преобразований, но и в результате различных точечных операций симметпии.
Типичной операцией симметрии является вращение вокруг оси, проходящей через какую-нибудь точку решетки, Сушествуют решетки, имеющие оси вращения первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка, которые соответствуют поворотам иа углы 2ги 2а/2, 2п/3, 2гг/4 и 2и/6. Оси враи!ения иначе называются поворотными осями. Опи обозначаются цифрами 1, 2, 3, 4 и 6. Не существуют кристаллические решетки, имеющие поворотные осп пятого или седьмого порядка. Молекула сама по себе может иметь поворотную ось симметрии любого порядка, в отличие от бесконечной периодической кристаллической решетки. Кристалл может состоять из молекул, каждая из которых имеет поворотную ось пятого порядка, но кристаллическая решетка в целом ие будет иметь эту ось.
На рис. !.9а показано, чтб происходит, если попытаться создать периодическую решетку с осью пятого порядка; пятиугольники не подходят друг к другу вплотную. Таким образом, видно, что нельзя сочетать пятикратную точечную симметрию с требуемой трансляционной симметрией. На рис. 1.9б показано, что в кристаллах не можег быть поворотной оси седьмого порядка. Иллюстрация этого приведена на рис. 1.10. Точечную группу [класс/ симметрии кристаллической решетки можно определять как совокупность операций симметрии, т. е.
симметричных преобразований, осуществленных '1 Работа Бране, в которой он вывел основные типы кристаллических решеток, впервые появилась в 1848 г. Затем она была включена в его книгу [!21. 11емецкий перевод вышел в 1897 г. [13[. Для того, чтобы получить исчерпывающее представление о симметрии кристаллов, см. работы Зейтца [141 и т, 1 справочника [151 Подробное и довольно хорошее описание пространственных групп дано в нниге Филипса [181. 2Т Рис 19а В кристаллической решегке не мо,кет существовать ось симметрии ° ятого порядка; аенозможно с по.
пошью пятиугольников заполнить ясе пространство решетки без прочегкутков На рнс 1.32 показан пример плозной упаиовки твердых шаров (моделируюших атомы) с осью спчяетш.з пятого порядка которая, одяако пе обладает трапсляпионной инвариантиостью. Рис. 1.9б Рисунок Кеплера 1«Нагшоп)се гпнпг11», 1619), из которого нндно, что а кристаллической решетке не может существовать ось симметрии седьмого порядка 117).
Рис. 1.1О. Точки кристьллнческон решетки поворачиваются па угол ф опюсительно фиксированной точки решетки При вращении вектор а переходит в вектор а'. При определекиых зна гениях угла йг повернувшаяся решетка совпадает с исходной Для квадратной решетки это происходит при ф=п72 и углах, кратных этому значению, так что точечная группа квадратной репгетки включает в себя поворотную ось симметрии четвертого порядка Во всех случаях совпадения повернувшейся и исходной решеток вектор а' — а будет вектором решетки. Этот вектор не может быть короче веитора а, так как такого нектора решетки не существует, за исключением нулевого вектора, Аналогичные требования определяют частные величины угла ф для всех возможных решеток. таис.
1.11. Четыре двухмерные кри. сталлографическне точечные группы. с!ерными кружками показаны эквивалентные точки. Перван точечная группа не имеет элементов .снчметрив, и поэтому точек, эквивалентных данной, нет. Точечная группа 1пз имеет плоскость зеркального отражения: исходная точка, отразившись в этой плоскосги, перекоднт в экввваленю пую позицию Точечная группа 2 имеет поворотную ось симметрия второго порядка: прв повороте на угол и первая точка сонме~дается со второй. Действие оси 2 и пло. скостя зеркального отражения обусловливает наличие второй плоскосзи, перпендикулярной к нерпой.
П результате имеем точечную группу симметрии 2тгп с четырьмя эквивалентнымн точ- камн 1т 2млг Двухмерные кристаллические решетки. Можно построить бесКонечное множество двухмерных решеток, так как на длины а и Ь векторов трансляций решетки и на угол между ними гр не накладывается никаких ограничений. На рис. 1.7а для произвольных векторов а и Ь изображено несколько двухмерных реШеток. Эти решетки являются косоугольнылни Они инвариантны только относительно поворота на л н йп. 29 относительно какой-нибудь точки реше~ки, в результате которых решетка совмещается сама с собой. Возможные в кристаллических решетках поворотные оси симметрии были перечислены выше.
К симметричным преобразованиям относится также зеркальное отражение относительно плоскости, проходящей !срез выбранную точку решетки. Эта плоскость называется плоскостью зеркального отражения и обозначается буквой вк Операция симметрии, называемая инверсией, состоит из поворота на угол и и последующего отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота. В результате радиус-вектор г заменяется на — г.
На рис. 1.11 показаны совокупности точек, связанные между собой операциями симметрии четырех точечных групп. Эти совокупности точек получаются из одной точки, которая с ползощью операций симметрии данной точечной группы переходгп во все возможные эквивалентные позиции. Сами совокупности точек могут и нс содержать элементов симметрии. Они могут быть, например, разностороннпмн треугольниками пли молекулами, не имеющими элементов симметрии. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
