Элементы КАМ теории (1238805)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Амелькин Н. И.Элементы КАМ-теорииДвижение любой механической системы описывается дифференциальными уравнениями. Если для соответствующей системы дифференциальных уравнений удается построить общее решение (такие системы называются интегрируемыми), то по этому решению определяются все свойства движений системы. Однако, примеры интегрируемых систем составляют только незначительную «горстку» из всего множества механическихсистем. В КАМ-теории исследуются свойства движений гамильтоновыхсистем, близких к интегрируемым.1. Интегрируемые гамильтоновы системы. Переменные действие–угол.Большинство методов интегрирования (точного и приближенного)уравнений движения гамильтоновых систем основаны на использованииканонических преобразований.

Для задания канонических преобразованийнаиболее часто применяются два типа производящих функций. К первому~,t ) , задающие свободные катипу относятся производящие функции S (q, q~, p~ по формуламнонические преобразования q, p  q~, t )~, t ) 2S S (q, pS (q, p~(1.1)p, p~ ; det  qq~T   0qq~, t ) , которые задают каноническое преа ко второму типу – функции S (q, pобразование формулами~, t )~, t ) 2SS (q, pS (q, p~p, q~ ; det  qp~Tqp0(1.2)Необходимость использования второго из указанных типов производящих функций обусловлена тем, что не все преобразования являются свободными, например, тождественное преобразование таковым не является.В теории возмущений используются преобразования, близкие к тождественным.

Если их задавать формулами (1), они будут близки к вырожден-2ным, в то время как эти же преобразования, определяемые производящей~, t ) по формулам (2), таких особенностей не имеют.функцией S (q, pСистема дифференциальных уравнений называется интегрируемой вквадратурах, если построение ее общего решения сводится к вычислениюпроизводных и интегралов от известных функций и к обращению функций.Для гамильтоновой системы с n степенями свободы, заданной гамильтонианом H (q, p, t ) , достаточные условия интегрируемости даютсятеоремой Лиувилля [1-3]:Если система имеет n независимых первых интеграловf k (q,p,t )   k ; k 1,...,n(1.3)в инволюции, т.е.( f k , f j )  0; k , j  1,...,n(1.4)то она интегрируется в квадратурах.При выполнении условий этой теоремы процедура построения общего решения состоит в следующем.

В предположении, что первые интегралы(1.3) разрешимы относительно импульсов, т.е. представимы в видеp  F (q, α, t )(1.3*)полный интеграл S (q, α, t ) уравнения Гамильтона-ЯкобиH (q,SS, t) 0qt(1.5)определяется формулой [1]1S (q, α, t )  [qT F( q, α, t )  t H * (q, α, t )]d0(1.6)H * (q, α, t )  H (q, F(q, α, t ), t )После вычисления функции S (q, α, t ) общее решение в исходных переменных q  q(α, β, t ) , p  p(α, β, t ) находится из системы уравненийpS (q, α,t )S (q, α,t ), βqα(1.7)3Здесь α и β – n - мерные векторы произвольных постоянных. ФункциюS (q, α, t ) можно трактовать как производящую функцию унивалентного~, p~ ) , в результате которого гаканонического преобразования (q, p )  (q~~, p~ становится тождемильтониан H  H  S t в новых переменных qственно равным нулю.

Новые переменные можно трактовать двояко:~  α, q~ β~  α, p~  β ;1) q2) p~,t ) по формулам (1), аВ случае 1) преобразование задается функцией S (q, q~,t ) по формулам (2).в случае 2) – функцией S (q, pЕсли гамильтонова система автономна, то гамильтониан системы является ее первым интегралом, т.е. H (q, p)  h  const , и полный интегралуравнения Гамильтона-Якоби представляется в видеS (q, α, t )  h(α )t  V (q, α )(1.8)Функция V (q, α ) в этом случае называется характеристической функцией~) каГамильтона.

Она представляет собой производящую функцию V (q, pнонического преобразования, приводящего гамильтониан в новых пере~ ~~ ~ ~, p )  H (p )  h(α )  const . Общее решение в исходныхменных к виду H (qпеременных находится из системыpV (q, α) ~ V (q, α) h(α), qt βqαα(1.9)При этом сначала из второй группы уравнений находится q(α, β, t ) , а затемпосле подстановки в первую группу определяется p(α, β, t ) .

В новых пере~  α постоянны, а координаты q~ являются линейнымименных импульсы pфункциями времени.При движении автономной интегрируемой по Лиувиллю системыфазовые переменные принадлежат n - мерному многообразию M f , определяемому первыми интегралами f k (q, p)   k ; k 1,...,n . Если это многообразие является компактным (представляет собой ограниченное замкнутоемножество), то каждая связная компонента этого многообразия диф-4феоморфна n - мерному тору [4] (два многообразия M и N называютсядиффеоморфными, если одно в другое переводится непрерывно дифференцируемым взаимно однозначным отображением M  f (N ) ).

Это означает,что многообразие можно записать в параметрической формеq  q(1,... n ,1,..., n ), p  p(1,... n ,1,..., n )(1.10)где зависимость от параметров 1 ,..., n является 2 - периодической покаждому  k , и существует такое гладкое отображение (q, p)  (x, y ) , что впеременных x,y уравнения (1.10) принимают вид уравнений n - мерноготора:xk  xk (1,... n , k ), yk  yk (1 ,... n , k ); k 1,...,n(1.10*)Удобным средством параметризации многообразия M f в виде (1.10)и исследования интегрируемых, а также близких к интегрируемым, системявляются переменные «действие-угол» ( I k ,k ) ( I k – действия,  k – углы).Эти переменные вводятся в предположении, что совместные уровни первых интегралов f k (q, p)   k ; k 1,...,n компактны, и удовлетворяют следующим свойствам:1) ( I k ,k ) – канонические переменные, т.е.

Ik   H   k , k  H  I k .~ ~2) H  H (I ) , т.е. действия I k – первые интегралы системы.3) Исходные переменные q, p – 2 - периодические функции по каждому  k .Процедуру введения переменных «действие-угол» продемонстрируем на примере гамильтоновой системы, допускающей разделение переменных, а именно, для случая, когда гамильтониан имеет видH  H ( f1 (q1,p1 ), f 2 (q2 ,p2 ),..., f n (qn ,pn ))В этом случае система имеет n первых интеграловf k (qk ,pk )   k ; k 1,...,n(1.11)в инволюции, а уравнения движения разделяются на n независимых паруравнений5q k H  k (qk ,pk , α),pkp k  H k (qk ,pk , α)qkЕсли многообразие M f компактно, то линии уровня каждого из первых интегралов f k (qk ,pk )   k представляют собой замкнутые кривые  k , адвижение по каждой паре сопряженных переменных qk ,pk представляетсобой периодические колебания.

Далее предполагается, уравнения (1.11)разрешимы относительно импульсов, т.е. представимы в видеpk  Fk ( k , qk ); k 1,...,n(1.11*)В переменных «действие-угол» каждая из указанных замкнутых кривых характеризуется некоторым постоянным значением «действия» I k иугловой переменной  k , причем так, что зависимостиqk ( I k ,k ) ,pk ( I k ,k ) являются 2 - периодическими по  k . Преобразование к этимпеременным ищем в классе канонических преобразований, определяемыхпроизводящей функцией V (q, I ) по формуламpk V (q, I),qkk V (q, I)I k(1.12)За полный цикл колебаний в плоскости qk ,pk приращение угла  k должносоставлять 2 .

Учитывая, что на каждой кривой  k «действия» I k фиксированы, получим 2V (q, I) V (q, I) dk   q I dqk  I  q dqk  I  pk dqk  2kkk kkk kkkОтсюда следует, что переменные «действия» можно ввести формуламиIk 11pk dqk  Fk (qk , k )dqk2  k2  k(1.13)т.е. I k есть среднее значение pk dqk за один полный цикл колебаний ипредставляет собой поделенную на 2 площадь области, ограниченнойзамкнутой кривой  k .Вычислив интеграл (1.13), найдем зависимость постоянных  k от I k :6I k  I k ( k )   k   k ( I k )(1.14)Определив далее производящую функцию V формулойnV (q, I)    Fk [qk , k ( I k )]dqk(1.15)k 1получим каноническое преобразование (q, p )  ( , I ) с требуемыми свойствами. Действительно, уравнения pk  V qk тождественно совпадают суравнениями (11*), изменение переменной  k за один полный цикл колебаний по каждой паре сопряженных переменных qk , pk равно 2 , а гамильтониан системы приводится к виду~ ~H  H (I)  H [1 ( I1 ),  2 ( I 2 ),...,  n ( I n )](1.16)Из уравнений Гамильтона получаемI k  const , k  k t k 0т.е.

переменные I k постоянны, а угловые переменные  k – линейныефункции времени. Коэффициентыk  H[1 ( I1 ), 2 ( I 2 ),..., n ( I n )] I k ; k 1,...,n(1.17)зависят только от значений переменных «действие» и называются частотами периодического движения на k -ом цикле.В рассмотренном случае многообразие, определяемое первыми интегралами (1.11), описывается уравнениями n -мерного тора следующим образом: xk  I k sin k , yk  I k cosk ; k 1,...,n . Отметим, что переменныеxk , yk каноническими не являются.Таким образом, фазовое пространство автономной интегрируемой поЛиувиллю гамильтоновой системы в случае компактного многообразияуровня первых интегралов расслоено n - мерными инвариантными торами(инвариантным множеством динамической системы называется множество, в котором фазовая траектория, стартующая из любой точки этого множества, остается бесконечно долго).

Каждый такой тор характеризуется своим значением вектора действий I и вектора частот ω(I ) . Каж-7дая траектория в фазовом пространстве, начавшись на некотором торе, вдальнейшем сойти с него не может (в этом случае говорят, что траекторияпредставляет собой обмотку тора). Если существует такой не равный нулюцелочисленный n - мерный вектор k  Z n , чтоk ω  k1ω1  k2ω2  ... knωn  0(1.18)то тор называется резонансным, а движения на этом торе являются периодическими. Если же равенство (1.18) не выполняется ни при каких ненулевых значениях k  Z n , то тор называется нерезонасным, а движение называется условно периодическим (квазипериодическим).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)