Элементы КАМ теории (1238805), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

КАМ-теорема утверждает, что вероятностная мера Лебега инвариантных торов возмущенной системы отлична отнуля, причем эта мера растет с уменьшением  и в пределе при   014стремится к 1. Это означает, что вероятность того, что фазовая траекторияпринадлежит КАМ-тору в пределе малых возмущений близка к 1.Присутствие инвариантных торов в фазовом пространстве слабовозмущенной системы означает, что для большинства начальных условийдвижение остается условно периодическим. Но с ростом возмущения число сохраняющихся инвариантных торов уменьшается, причем прежде всего «разрушаются» резонансные и близкие к резонансным торы.

В фазовомпространстве возмущенной системы между инвариантными торами образуются «щели», в которых траектории системы уже не будут квазипериодическими (регулярными), а могут иметь хаотический характер. Если возмущение достаточно велико, то инвариантных торов может вообще неостаться и это может быть одной из причин возникновения в системе глобального хаоса [7] .В гамильтоновой системе с двумя степенями свободы каждый КАМтор разделяет фазовое пространство на две несвязные части.

Фазовые траектории не могут перейти из области на одной стороне тора в область надругой стороне, поскольку траектория, начавшись на инвариантном КАМторе, никогда его не покинет. Поэтому траектория, начавшаяся в щелимежду двумя инвариантными КАМ-торами возмущенной системы, остается «запертой» между этими торами, т.е. не выходит из этой щели, а переменные действия вечно остаются вблизи своих первоначальных значений.Если же число степеней свободы возмущенной гамильтоновой системы n  2 , то КАМ-торы уже не обладают подобным «изолирующим»свойством.

В этом случае щели, отвечающие различным резонансам, соединяются друг с другом, и траектории могут демонстрировать «слалом»среди КАМ-торов и «диффундировать», в принципе, повсюду, т.е. нельзягарантировать, что переменные действия вдоль таких траекторий будутоставаться близкими к своим начальным значениям с течением времени.Однако, в имеющихся примерах средняя скорость ухода переменных дей-15ствие оценивается величиной порядка exp( 1  ) , т.е. «слалом» в окрестности инвариантных торов возмущенной системы является экспоненциально медленным.

Так что и в системах с более чем двумя степенями свободы КАМ-торы, если они достаточно плотны (при малых  ), могут сохранять свою роль в качестве барьеров для диффузии в фазовом пространстве, т.е. существенное изменение переменных действия в таких случаяхвозможно только по истечении экстремально долгих интервалов времени.Эффективным средством исследованиям динамики гамильтоновыхсистем с двумя степенями свободы является метод сечений Пуанкаре. Сутьэтого метода состоит в следующем.

Пусть система задается гамильтонианом H  H ( p1 , p2 , q1 , q2 ) . Ограничимся исследованием траекторий, соответствующих фиксированному уровню энергии H  C , и выберем двумернуюповерхность  , трансверсальную большинству этих траекторий. Эту поверхность можно задать, например, условием q2  0 . Тогда по значениямp1 ,q1 и C определяются и значения переменной p2 на поверхности q2  0 .Далее, задав на выбранной поверхности начальную точку p10 ,q10 и интегрируя уравнения Гамильтона, находим значения p1k , q1k , соответствующиепоследовательным пересечениям траекторией поверхности  .

Таким образом, исследование динамики системы дифференциальных уравнений четвертого порядка сводится к задаче исследования динамики двумерной дискретнойсистемы,котораяописываетсяотображениемПуанкареp1k , q1k  p1k 1 , q1k 1 ( k  0,1,2,...).Если выбранная траектория лежит на КАМ-торе (который характеризуется иррациональным отношением частот 1 2 ), то эта траекториявсюду плотно покрывает этот тор и на поверхности сечения  это проявляется в том, что последовательность точек p1k , q1k будет ложиться на одномерную гладкую кривую, определяемую пересечением этого тора с поверхностью сечения (если процедуру вычисления сечения Пуанкаре про-16должать достаточно долго, то точки p1k , q1k сливаются в сплошную гладкуюкривую).

Если же траектория возмущенной системы не лежит на КАМторе (фазовые траектории находятся в «щели» между соседними КАМторами), на поверхности сечения  точки p1k , q1k образуют «распыленноеоблако», которое не соединяется гладкой кривой, и которое может свидетельствовать о хаотическом поведении системы.Таким образом, с помощью метода сечений Пуанкаре возможно выявить наличие у системы регулярных (интегрируемых квазипериодическихдвижений) и нерегулярных (хаотических) движений.Следует отметить, что практическая реализация метода сечений Пуанкаре в большинстве случаев требует численного интегрирования уравнений Гамильтона на больших интервалах времени.

Накапливающиеся приэтом неизбежные ошибки численного интегрирования могут приводить кнесохранению инвариантов системы, и в таких случаях правильные выводы о свойствах системы на основе полученной (искаженной) картинки длясечения Пуанкаре сделать затруднительно. Для решения этой проблемыприменяют специализированные методы численного интегрированияуравнений Гамильтона.Отметим также, что до сих пор в литературе нет четкого общепринятого определения понятия «хаос в динамических системах». Чаще всегопод этим понятием подразумевается совокупность признаков, среди которых помимо эргодических свойств системы (фазовая траектория «посещает» любую достаточно малую область многообразия фазового пространства, определяемого первыми интегралами) неотъемлемыми атрибутамихаоса являются экспоненциальная неустойчивость и перемешивание.

Подробнее см. [5-8].С примерами применения КАМ-теории к конкретным задачам можноознакомиться в [4-8].Литература:171. Амелькин Н.И. Лагранжева и гамильтонова механика. – М.: МФТИ,2014. – 112 с.2. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. – М.: Физматлит, 2008.– 304 с.3. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990. – 416 с.4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.:Наука, 1974. – 432 с.5.

Трещев Д.В. Гамильтонова механика. – М.: МИАН, 2006. – 64 с.6. Лоскутов А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики. //Успехи физических наук. 2007. Т. 177. №9. С. 989–1015.7. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 331 с.8. Морбиделли А. Современная небесная механика.

Аспекты динамикисолнечной системы. – М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2014. – 432 с..

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)