Элементы КАМ теории (1238805), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В этом случае каждая траектория всюду плотно обматывает тор.В качестве конкретного примера приведем процедуру введения переменных действие угол для гармонического осциллятора с частотой  .Имеемp 2 2q 2Hh22Используя замену q  p   2h   2 q 22hsin x , получим211 2h 2 2hIpdq cos xdx 2  h2  0 h  IСогласно (15) производящая функция преобразования имеет видV    2I  2 q 2 dqДля угловой переменной получаем выражениеVdqdq   arcsinqI2I2 I   2 q 22I   q 2Отсюда следуют формулы преобразования к переменным действие–угол:q2Isin  ,p  2I cosГамильтониан осциллятора в переменных действие–угол принимает вид~H  I , а из уравнений Гамильтона следует8I  const ,  t 0В исходных переменных q, p многообразие, определяемое первыминтегралом осциллятора, представляет собой эллипс, в переменных действие–угол I ,  – прямую линию, а в переменных x  I sin  , y  I cos –окружность (одномерный тор).Примеры введения переменных действие–угол для других систем(для маятника, для задачи двух тел и др.) приведены в [3].2.

Теория возмущений. Проблема малых знаменателей.Рассматривается гамильтонова система, близкая к точно интегрируемой по Лиувиллю, гамильтониан которой записывается в видеH (I, , )  H 0 (I)   H1 (I, )   2 H 2 (I, )  ...(2.1)Здесь  - малый параметр, I, – переменные действие–угол для невозмущенной системы с гамильтонианом H 0 (I) . Возмущениями называютсяслагаемые в (2.1), исчезающие вместе с  . Предполагается, что эти слагаемые 2 - периодические по всем угловым переменным  j .Ставится задача найти такую каноническую замену переменных(I, )  (J, ψ ) , чтобы в новых переменных гамильтониан не зависел от ψ ,т.е.

имел вид~ ~~~~H  H (J, )  H 0 (J)   H1 (J)   2 H 2 (J)  ...(2.2)Тогда в новых переменных система будет интегрируемой, а закон движения в исходных переменных можно получить, обратив найденное каноническое преобразование.Производящую функцию искомого преобразования V ( , J, ) ищем ввиде рядаV ( , J, )   T J   V1 (, J)   2 V2 (, J)  ...(2.3)9Первое слагаемое в этом выражении V0   T J есть производящая функциятождественного преобразования, так что преобразование, определяемоефункцией (2.3), будет близким к тождественному.Искомое преобразование неявно определяется формуламиIV ( , J )V J  1 ...

,ψV ( , J )V  1 ...JJ(2.4)а функция V ( , J, ) удовлетворяет уравнению V ~H , ,   H (J , ) (2.5)Раскладывая в ряды и приравнивая в левой и правой частях (2.5)члены одинакового порядка по  , получим~H 0 (J )  H 0 (J )H 0 V1~ H1 (J , )  H1 (J )TJ (2.6)H 0 V2 1 V1  2 H 0 V1 H1 V1~ T H 2 (J, )  H 2 (J )TTTJ  2  JJ  J …Из системы (2.6) можно последовательно найти все слагаемые Vkпроизводящей функции V . Опишем процедуру определения функции V1 .Учитывая периодичность H1 по угловым переменным  k с периодом 2 ,разложим эту функция в ряд ФурьеH1 (J, )  H1k exp( i k  )kZ nЗдесь k – целочисленный вектор размерности n , точкой обозначено скалярное произведение.

Решение для V1 тоже будем искать в виде рядаФурьеV1 (J, ) V1k exp( i k  )kZ nПодставляя эти выражения в (2.6), получим10~ (i ω kV1k  H1k ) exp( i k  )  H1 (J)kZ nОтсюда находим~H10  H1 (J);V1k(k  0)H1k; k 0i (ω  k )(2.7)(2.8)~Из (2.7) следует, что H1 (J ) представляет собой среднее значениеH1 (J, ) по всем угловым переменным 1 ,...,n . В свою очередь, из (2.8)следует, что функция V1 не определена на резонансных поверхностях(1.18). Это же касается и всех других слагаемых V j , j  2,...

функции V ,поскольку они удовлетворяют аналогичным уравнениямω0 V j~ F j (J, )  H j (J )Оказывается, что в типичной ситуации резонансы (1.8) образуют впространстве R n ( n -мерном пространстве частот ω ) всюду плотное множество, откуда следует, что производящая функция V (J , ) не определенанигде в R n . В этом и состоит проблема малых знаменателей. Наличие этойпроблемы свидетельствует о том, что при типичном возмущении не существует канонического преобразования, приводящего гамильтониан систе~ ~мы к виду H  H (J , ) , т.е. об отсутствии глобальной интегрируемостивозмущенной системы.Однако, отсутствие глобальной интегрируемости (интегрируемостипри любых начальных условиях) не означает отсутствия локальной интегрируемости (частных случаев интегрируемости, соответствующих специальным начальным условиям).

Резонансы (1.18) хотя и образуют в пространстве R n всюду плотное множество, мера этого множества равна нулю[4]. Поэтому представляет интерес изучение вопроса о наличии интегрируемых движений возмущенной системы. Эти и другие смежные задачи о11свойствах движений гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, составляют предмет теории Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ-теории).3. КАМ-теорема.В формулировке основной теоремы КАМ-теории используются следующие определения диофантовости (сильной нерезонансности) и невырожденности:Определение 3.1.

Вектор частот ω(I ) невозмущенной системыH 0 (I) называется диофантовым, если существуют постоянные c,  0 ,такие, чтоω k ckдля всех ненулевых k  Z n(3.1)Определение 3.2. Невозмущенная система H 0 (I) невырождена наторе T n (I) , если  2 H 0 (I )  ω 0det  T   det T II I (3.2)Условие (3.2) означает, что для невозмущенной системы в окрестности инвариантного тора с вектором частот ω0 (I 0 ) существует инвариантный тор с любым, близким к ω 0 , вектором частот ω0  dω .Теорема. Пусть I 0 - вектор переменных действия, такой что1) вектор частот ω0 (I 0 ) невозмущенной системы диофантов,2) невозмущенная система H 0 (I) невырождена на торе T n (I 0 ) ,3) функция Гамильтона возмущенной системы H  H 0 (I)   H1 (I, , )аналитична.Тогда при достаточно малом значении  для возмущенной системысуществует инвариантный тор, несущий квазипериодические движения стеми же частотами ω 0 , что и тор T n (I 0 ) невозмущенной системы.12Иногда утверждение теоремы дается в такой формулировке: инвариантный тор T n (I 0 ) невозмущенной системы с диофантовыми частототами ω 0 (3.1) не исчезает при достаточно малом возмущении, а лишьслегка деформируется.Инвариантные торы возмущенной системы, несущие нерезонансныедвижения, обычно называют КАМ-торами.Неавтономный вариант КАМ-теоремы.

Здесь рассматриваетсявозмущенная система с функцией ГамильтонаH  H 0 (I)   H1 (I, ,t , )где I,(3.3)– канонические переменные действие–угол для невозмущеннойсистемы, а зависимость H1 от времени t , как и от  , является 2 - периодической. Неавтономные гамильтоновы системы, в которых зависимостьгамильтониана от времени является периодической, называются системами с n 1 2 степенями свободы. Добавляя к уравнениям Гамильтона такойсистемы уравнение t 1, получаем автономную систему из ( 2n  1) -гоуравнения, в которой время t трактуется как дополнительная координата.Теорема. Пусть I 0 - вектор переменных действия, такой что ω 0 (I 0 )  диофантов,1) вектор частот ω   1 02) невозмущенная система H 0 (I) невырождена на торе T n (I 0 ) ,3) функция Гамильтона возмущенной системы (3.3) аналитична.Тогда при достаточно малом значении  для возмущенной системысуществует инвариантный тор, несущий квазипериодические движения стеми же частотами ω 0 , что и тор T n (I 0 ) невозмущенной системы.Изоэнергетический вариант КАМ-теоремы.

В этой теореме доказывается наличие инвариантных торов для возмущенной автономной системы на многообразиях с фиксированным уровнем энергии.13Теорема. Пусть инвариантный тор T n (I 0 ) невозмущенной системылежит на уровне энергии H 0  h и выполнены следующие условия:(1) Частоты ω0 (I 0 ) - диофантовы,(2) невозмущенная система изоэнергетически невырождена на этомторе, т.е.  2 H 0 (I )ω T ω IITdet  Idet H (I) ωT 0  0T IH 0 (I) I   0 ,0  I0(3.4)(3) функция H  H 0 (I)   H1 (I, , ) аналитична.Тогда на уровне энергии H  h в возмущенной системе имеется инвариантный тор, близкий к исходному.

Частоты на этом торе задаютсявектором ω  ω0 (I 0 ) , где   1 O( ) .Условие (3.4) означает, что для близких друг к другу инвариантныхторов невозмущенной системы, соответствующих одному и тому же уровню энергии, векторы частот разные, а именно, если векторы действий наторах отличаются на dI , то разность между частотами определяется выражением dω  DdI  O(dI) 2 , где D – невырожденная матрица (здесь dI –( n 1) - мерный вектор, удовлетворяющий уравнению dH 0 H 0dI  0 , аITD – матрица размера (n 1)  (n 1) .При малых значениях параметра  КАМ-теорема гарантирует существование большого числа квазипериодических (интегрируемых) движений. Какие из инвариантных торов невозмущенной системы с диофантовыми частотами заведомо сохраняются и для возмущенной системы, зависит от величины возмущения.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)