Семинары 3 семестр Часть 1 (1238797), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(см. рис. 24)ϕ = ϕ0 sin ωt , s = at 2 , s - длина дуги O1 Aυ Aa , WAa − ? при t =πωωe = ϕ = ϕ0ω cos ωtυ A = υ Ae + υ Ar = υO + ⎡⎣ωe × O1 A⎤⎦ + υ Ar1υO = ϕ ⋅ OO1 = 2 Rϕ0ω cos ωt1⎡ωe × O1 A⎤ = ϕ 2 R sin α⎣⎦2α=υ Ar =at 2Rds= 2atdtС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра24WrτOϕ⎡ωe × O1 A⎤⎣⎦υrAWkαα 2WeВРWrnαWeОСWOn1υO1O1WOτ1Рисунок 24Берем проекции на два взаимно перпендикулярных направления, возводим вквадрат, складываем, берем корень, получаем υ A (сделать самостоятельно).Wa = We + Wr + Wkε e = ϕ = −ϕ0ω 2 sin ωtWOn1 = ϕ 2 ⋅ OO1 = ϕ02ω 2 cos 2 ωt ⋅ 2 R ⎫⎪⎬W0!WOτ1 = υ01 = −2 Rϕ0ω 2 sin ωt⎪⎭WeВР = ϕ ⋅ O1 AWeОС = ϕ 2 ⋅ O1 AWrτ = 2aWrn =υ2RWk = 2ϕ ⋅υr . Берем проекции…С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра25СЕМИНАР №4.СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА (продолжение)Если твердое тело движется относительно некоторой подвижной среды и вместе сней движется относительно другой, принятой за неподвижную, то иногдаоказывается удобным при определении скоростей и ускорений точек телапользоваться формулами:ω a = ωe + ω rdωε a = ε e + ε r + [ωe × ωr ] = ε e + ωξ i + ωη j + ωζ k + ⎡ωe × ωξ i + ωη j + ωζ k ⎤ =ω0 + ⎡⎣Ω × ω ⎤⎦⎣()⎦dtгде Ω = ωeМетод Виллиса позволяет определить угловые скорости в плоских механизмах,наподобие, кривошипа.ΩРисунок 25Раньше мы искали мгновенный центр скоростей для каждого колеса.Введем систему отсчета, неизменно связанную с кривошипом.
В этой системеотсчета кривошип неподвижен, а абсолютные угловые скорости всех колесизменятся на величину Ω .Кривошип12…nωaΩω1ω2…ωnωr0ω1 − Ωω2 − Ω…ωn − ΩДля того чтобы скорости точек касания колес были одинаковы в системе, связаннойс кривошипом, пишем цепочку равенств:(ω1 − Ω ) r1 = − (ω2 − Ω ) r2 = ... = ± (ωn − Ω ) rnС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра26Знак + или − зависит от характера зацепления соседних колес (внутреннее ( − ) иливнешнее ( + ) зацепление).Задача.RMυr−2ωAω2RO3RРисунок 26Найти ω2 , ω3По методу Виллиса:−3ω ⋅ 3R = − (ω2 − ω ) ⋅ 2 R = − (ω3 − ω ) ⋅ RОтсюда, ω2 =11ω⇒ угловая скорость второго колеса совпадает с угловой скоростью2кривошипа по направлению (видно также по рисунку).ω3 = 10ω .Найти υ Ma , WMaРешим задачу на плоскопараллельное движение двумя способами.1. Первый способ.
Подвижная система отсчета с началом в точке A ,движущаяся поступательно (оси остаются параллельными самим себе)⇒ ωe = 0, ε e = 0 ⇒ω3r = ω3a = 10ω ,ε 3r = ε 3a = 10ευe = υ A + ⎡⎣ωe × AM ⎤⎦ = υ A ,т.е. переносная скорость одна и та же для всех точек диска 3.υ A = ω ⋅ 6Rυ r = ω3r ⋅ AM = 10ω RС.В. Семендяев.
Семинары осеннего семестра27(υ ) + (υ )υ Ma =eM2rM2= ω R 136We = WA + ⎡⎣ε e × AM ⎤⎦ − ωe2 AM = WAMWrWrОСВРWAτAWAnOРисунок 27dυ A⎫= ε 6R ⎪dt⎬WAn2⎪WA = ω 6 R⎭WAτ =WrВР = ε 3r AM = 10ε RWrОС = (ω3r )2⎫⎪⎬WrAM = 100ω 2 R ⎪⎭Wk = 0В итоге,WMa =(WnA+ WrВР ) + (WAτ − WrОС )222. Второй способ. Подвижная система отсчета с началом в точке Oвращается с угловой скоростью кривошипа.⇒ ωe = ω , ε e = ε ⇒ т.к. ω3a = ω3e + ω3r , тоω3r = 9ω , ε 3r = 9ευ r = ω3r AM = 9ω Rυe = υO + ⎡⎣ω3e × OM ⎤⎦ = ⎡⎣ω3e × OM ⎤⎦OM = 37 Rυe = ω 37 RС.В. Семендяев.
Семинары осеннего семестра28υa =(υr + υe sin α ) + (υe cos α )2υe2= ω R 136MυrAαOРисунок 28MWeВРWrОСWkWrВРAWeОСαOРисунок 29We = WO + ⎡⎣ε e × OM ⎤⎦ − ωe2 OM = ⎡⎣ε e × OM ⎤⎦ − ωe2 OMWeВР = ω 37 R ⎫⎪⎬WeWeОС = ω 2 37 R ⎪⎭WrВР = ε 3r AM = 9ε RWrОС = (ω)r 23⎫⎪⎬WrAM = 81ω 2 R ⎪⎭Wk = 2ω3eυ r = 18ω 2 RБерем проекции… получаем ускорение.С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра29В кинематике любое движение можно свести к сложению движений.
Поэтомунужно уметь выбирать разные системы отсчета.Кроме того, движение твердого тела с одной неподвижной точкой всегда можнорассматривать как сумму вращений. Вращение подвижной оси вокруг неподвижной– переносное движение. Вращение ТТ вокруг подвижной оси – относительноедвижение. Вращение ТТ вокруг МОВ – абсолютное.Задача С.4.10.WAВР 2ωeεeωaAWAОСαBМОВOεrωrРисунок 30l = 3r ⇒ α = 300ε e = ε , ωe = ωω a = ωe + ω rωa - всегда направлена по МОВε a = ε e + ε r + [ωe × ωr ]ε1 = ε e + ε r всегда направлена по МОВε 2 = [ωe × ωr ] направлена на нас (на рисунке)Исходя из того, что ωa = ωe + ωr должна быть направлена по МОВ и из геометрии,находимωe1= tgα =⇒ωr3ωa = 3ωe = 3ω ,ωr = ωe ctgα = 2ωС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра30Аналогично, исходя из того, что ε1 = ε e + ε r должна быть направлена по МОВ,находим:( ← ) ε1 = ε e + ε r = 3ε ,( ) ε 2 = [ωe × ωr ] = ω ⋅ 2ω ⋅ sin1200 = 3ω 2ε a = ε12 + ε 22 = 3 ε 2 + ω 4υ A = υO + ⎡⎣ωa × OA⎤⎦ = ⎡⎣ωa × OA⎤⎦⇒ υ A = 3ω ⋅ 2r ⋅3= 3ω r2WA = WO + ⎡⎣ε a × OA⎤⎦ − ωa2 OA = ⎡⎣ε a × OA⎤⎦ − ωa2 OA3⊗WAВР1 = ⎡⎣ε1 × OA⎤⎦ = 3ε ⋅ 2r ⋅= 3ε r2WAВР 2 = ⎡⎣ε 2 × OA⎤⎦ = 3ω 2 ⋅ 2r = 2 3ω 2 rWAОС = ωa2 hA = 3ω 2 ⋅ 3r = 3 3ω 2 rWAВР1 ⊥ плоскости OABWA2 = (WAВР1 ) + (WAВР 2 − WAОС cos 600 ) + (WAОС sin 600 ) = 3r 3ε 2 + 7ω 422С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра231СЕМИНАР №5ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВВеличина и направление – свободный вектор.Величина и линия действия – скользящий вектор.Величина и точка приложения – приложенный (связанный) вектор.Например, вектор угловой скорости относится к скользящим.Основные характеристики системы векторов – главный вектор и главный момент.FiRРисунок 31nR = ∑ Fi - главный вектор.i =1Момент вектора относительно полюса:( )mO Fi = ⎡⎣OAi × F ⎤⎦FiAiMOOO′Рисунок 32( )M O = ∑ mO Fi = ∑ ⎡⎣OAi × F ⎤⎦ - главный момент.Главный момент является связанным векторомM O′ = M O + ⎡⎣O′O × R ⎤⎦С.В. Семендяев.
Семинары осеннего семестра32Есть компоненты, которые не меняются при переходе к O′ .Домножим M O′ = M O + ⎡⎣O′O × R ⎤⎦ на(MO′⋅ O′OO′O) = (MO⋅ O′OO′O:O′O)O′OТ.е. проекции главных моментов относительно двух полюсов на линию,соединяющую полюса, равны.Домножим M O′ = M O + ⎡⎣O′O × R ⎤⎦ на(MO′R⋅R) = (MO⋅RRR:)RТ.е. проекция главного момента на направление главного вектора не зависит отвыбора полюса.Итого, имеется два инварианта системы векторов относительно выбора полюса:1. Главный вектор2.
Проекция главного момента на главный вектор.Рассмотрим задачу приведения системы скользящих векторов к простому виду.Решаем данную задачу с следующей целью: какими бы сложными ни былидвижения по сути их можно представить одним простым видом движения.Вводится понятие эквивалентности систем скользящих векторов. Мы должныполучить систему, эквивалентную исходной.Две системы скользящих векторов называются эквивалентными, если одна издругой получается с помощью элементарных операций: добавление элементарноговекторного нуля, и сложение и разложение векторов по правилу параллелограмма.Рисунок 33С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра33Критерий эквивалентности – две системы скользящих векторов эквивалентны втом и только в том случае, если равны их главные векторы и главные моментыотносительно произвольно выбранного полюса.Лемма.
Произвольная система векторов может быть приведена к двум векторам,один из которых приложен к произвольной точке.F1OF2Рисунок 34Приведение системы скользящих векторов к выбранному полюсу:MOF1RO'2FF2''F2Рисунок 35Просто перенести скользящий вектор без добавления пары (момента) мы не можем.Рассмотрим все возможные случаи приведенных систем скользящих векторов:1. R ≠ 0, M O ≠ 0, ( M O ⋅ R ) ≠ 0 (винт)Проекция M1 неизменна, т.к. является вторым инвариантом, т.е. проекцией главногомомента на главный вектор.M N = M O + ⎡⎣ NO × R ⎤⎦ON ⊥ плоскости R, M OНайдется такая точка N * , что⎡ N *O × R ⎤ = − M ⇒2⎣⎦M N * = M O − M 2 = M1С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра34MOzM2yORM1xNN*P ( x, y , z )M1RРисунок 36Предположим, есть еще такая точка P :M P = M N * + ⎡ PN * × R ⎤ = M 1⎣⎦Тогда P должна лежать на параллели M1 и проходить через N * . На линии,проходящей через P и N * , главный момент будет иметь минимальное значение.
Приэтом главный момент равен M в = M 1 =(MO⋅RR) , и называется моментом винта.Другими словами, приводя систему векторов к виду, при котором главный вектор иглавный момент параллельны, мы приводим систему векторов к винту.Rвинтпара ( соотв. _ главному _ моменту )Рисунок 37С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра35Также говорят, приводим систему скользящих векторов к простейшему виду.MORРисунок 38Найдем уравнение оси минимальных моментов из условия параллельности главногомомента и главного вектора.M P = M O + ⎡⎣ PO × R ⎤⎦ = η RM O + ⎡⎣ PO × R ⎤⎦ = M O − ⎡⎣OP × R ⎤⎦ = M O − ⎡⎣ r × R ⎤⎦ = η R- векторная запись уравнения оси минимальных моментов.i⎡r × R ⎤ = x⎣⎦RxjyRykz = i ( yRz − zRy ) + j ( zRx − xRz ) + k ( xRy − yRx )RzТогда,M x − yRz + zRyRxM x − yRz + zRyRx=η ,=M y − zRx + xRzRyM y − zRx + xRzRy==η ,M z − xRy − yRxRz=ηM z − xRy − yRxRzКоординатная запись уравнения оси минимальных моментов.2.
R ≠ 0, M O ≠ 0, ( M O ⋅ R ) = 0 (равнодействующая)Систему характеризует только один инвариант, R - равнодействующая, к которойсистема сводится.К данному случаю относится также вариант R ≠ 0, M O = 0R3. R = 0, M O ≠ 0 (равнодействующая пара)Чистое поворачивающее усилие:С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра364. R = 0, M O = 0 (равновесие)Векторный нуль:Пример.ωAOРисунок 39mO (ω ) = ⎡⎣OA × ω ⎤⎦ = ⎡⎣ω × AO ⎤⎦ = υOТ.е. момент угловой скорости является скоростью.В кинематике R соответствует ω , а M O соответствует υ .СлучайТеория скользящихКинематикавекторовВинтКинематический винтРавнодействующаяВращениеРавнодействующая параПоступательное движениеРавновесиеПокойMORRС.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
