Семинары 3 семестр Часть 1 (1238797)
Текст из файла
СЕМИНАРЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ОСЕННЕГО СЕМЕСТРАПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ.Ф.И.О. преподавателя: Семендяев Сергей Вячеславович.Общая информация о семинарах по теоретической механикеСдача заданий будет происходить без отметок в зачетной книжке.Сдача заданий – самый активный процесс обучения после посещения семинаров и лекций идомашней работы.Если кто-то не сдает задания, ему можно в изолированных условиях (без книг) предложить наэкзамене решить три задачи. Задачи не из задачника, без ответов.
Задачи (все и без единойошибки) надо защитить перед комиссией из двух человек. Даже если задачи решены, но сдающийне может объяснить решения, то получит двойку.Когда начинается прием второго задания, у заведующего кафедрой на столе должен лежатьсписок студентов, не приступивших к сдаче первого. Ректорат имеет право таких студентовисключить. Сообщаю об этом заранее.Поощрительная мера нормальному студенту (посещающему занятия, хорошо и во времясдающему задания) – не дают трех задач на экзамене.
Отличившиеся на семинарах и при сдачезаданий могут сдать экзамен досрочно. Это решает преподаватель, ведущий семинарские занятия.Несколько слов о лекциях. Ходите на лекции. Лекции дают общие представления о предмете.Несколько слов об учебниках. Список есть в сборнике программ и заданий. Рекомендую взять всеучебники из списка. Также есть методические пособия на кафедре и на сайте teormech.mipt.ru.ЗАМЕЧАНИЯПовторенье – мать ученья (пословица).• Рекомендую при изучении сперва прочитать текст семинара до конца, особоне вникая в подробности формул, а стараясь уловить суть.• При втором прочтении вникайте в подробности.• При третьем старайтесь запомнить в общих чертах (по смыслу) и затемдословно (формулировки, формулы).С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра1СЕМИНАР №1.КИНЕМАТИКА ТОЧКИ.Способы задания движения материальной точкиДвижение задается радиус-вектором положения r ( t ) , скоростью υ ( t ) =ускорением W ( t ) =drиdtdυ d 2 r= 2 в каждый момент времени.dtdtКоординатный способ предусматривает введение обобщенных координат. Этолюбые три независимые величины, однозначно задающие положение точки впространстве.
Обознаются: q1 ( t ) , q2 ( t ) , q3 ( t ) .Частный случай обобщенных координат – декартовы координаты x, y, z (см. рис. 1).Эта система ортогональных осей неподвижна. С осями x, y, z связываются ортыi , j , k , соответственно.r = xi + yj + zkυ = xi + yj + zkW = xi + yj + zkzkyjixРисунок 1Наряду с обобщенными координатами вводятся координатные линии – линии,которые описывает точка при изменении каждой из координат при фиксированныхдругих. Выделяется произвольный момент времени t0 . Фиксируется q2 , q3 , т.е.С.В. Семендяев.
Семинары осеннего семестра2q1 ( t0 + t ) , q2 ( t0 ) , q3 ( t0 ) . Эта даст координатную линию q1 . Аналогично:q1 ( t0 ) , q2 ( t0 + t ) , q3 ( t0 ) даст координатную линию q2 , и q1 ( t0 ) , q2 ( t0 ) , q3 ( t0 + t ) дасткоординатную линию q3 (см. рис. 2).q3e3e2q2e1q1Рисунок 2Вводятся орты e1 , e2 , e3 (локальный базис) - единичные векторы по касательным ккоординатным линиям q1 ( t ) , q2 ( t ) , q3 ( t ) . Каждому моменту времени, в общем,соответствует своя конфигурация ортов.
Они могут быть неортогональны.Еще одним частным случаем обобщенных координат являются цилиндрическиекоординаты ρ , ϕ , z (см. рис. 3).zzyϕρxРисунок 3На рисунке выделены жирным координатные линии цилиндрических координат.Каким образом можно выразить скорость через обобщенные координаты?С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра3По правилам взятия производной сложной функции:dr ( q1 ( t ) , q2 ( t ) , q3 ( t ) )υ (t ) =dtОрты: ei =1∂r∂qi⋅3=∑i =1∂rqi∂qi∂r∂qi22⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞∂r= ⎜Вводят величины H i =⎟ +⎜⎟ +⎜⎟∂qi⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠2- коэффициенты Ламе.С их помощью выражение для скорости принимает вид:3υ ( t ) = ∑ H i qi ei .i =1Когда криволинейные координаты имеют наглядную геометрическую картину(декартовые, цилиндрические, полярные, сферические координаты и т.д.) длянахождения коэффициентов Ламе можно использовать формулу:dsi = H i dqi ,где dsi - элемент дуги вдоль соответствующей координатной линии qi .В декартовых координатах, например, все коэффициенты Ламе равны единице, иds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 .Когда координатная линия является прямой, коэффициент Ламе для нее равенединице.В цилиндрических координатах:dsρ = H ρ d ρ = d ρ ⇒ H ρ = 1dsϕ = H ϕ dϕ = ρ dϕ ⇒ H ϕ = ρdsz = H z dz = dz ⇒ H z = 1Оси криволинейных координат не всегда ортогональны, поэтому стараютсяиспользовать ортогональные, для которых:3υ 2 = ∑ H i2 qi2 .i =1В случае цилиндрических координат:С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра4υ 2 = ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 .В полярных координатах ρ , ϕ ( z = const ) для компонент скоростей вдолькоординатных линий ρ и ϕ вводятся, соответственно, термины:υ ρ = ρ - радиальная скорость,υϕ = ρϕ - трансверсальная скорость.На рис. 4 показаны направления этих скоростей, в случае ρ > 0, ϕ > 0 .υϕυρρϕРисунок 4Каким образом задается ускорение в обобщенных координатах?Вектор скорости задается векторным разложением по ортам координатных линий.Однако вектор ускорения задается ортогональными проекциями (см. рис 5).υWe2e1Рисунок 5Wqi =1Hi⎛ d ⎛ ∂ ⎛υ2 ⎞⎞ ∂ ⎛υ2 ⎞⎞⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ −⎜ ⎟ ⎟⎟∂∂dtq2q⎝⎠⎝ 2 ⎠⎠ii⎝⎠⎝Нужно помнить, что здесь qi и qi рассматриваются как независимые переменные, ане как конкретная траектория.С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра5Продолжим рассмотрение случая цилиндрических координат.Ранее мы нашли: υ 2 = ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 .ТогдаWρ =1Hρ⎛ d ⎛ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞2⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ −⎜⎟ ⎟⎟ = ρ − ρϕ22⎠ ⎠ ∂ρ ⎝⎠⎠⎝ dt ⎝ ∂ρ ⎝Wϕ =1Hϕ⎛ d ⎛ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞ 1 ⎛ d⎞2⎜⎜ ⎜⎜⎟⎟ −⎜⎟ ⎟⎟ = ⎜ ( ρ ϕ ) − 0 ⎟ = ρϕ + 2 ρϕ22⎠⎠ ⎠ ∂ϕ ⎝⎠ ⎠ ρ ⎝ dt⎝ dt ⎝ ∂ϕ ⎝Wz =1Hz⎛ d ⎛ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞ ∂ ⎛ ρ 2 + ρ 2ϕ 2 + z 2 ⎞ ⎞⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ − ⎜⎟ ⎟⎟ = zdtz2z2∂∂⎝⎠⎝⎠⎠⎠⎝ ⎝В полярных координатах ( z = const ⇒ Wz = z = 0 ) компоненты ускорений называются:Wρ = ρ − ρϕ 2 - радиальное ускорение,Wϕ = ρϕ + 2 ρϕ - трансверсальное ускорение.На рис.
6 показаны направления этих ускорений, в случае ρ − ρϕ 2 > 0, ρϕ + 2 ρϕ > 0 .WϕWρρϕРисунок 6Рассмотрим еще один пример ортогональных координат – сферические r , θ , ϕ (см.рис. 7).Пользуясь формулой dsi = H i dqi , находимHr = 1Hθ = rH ϕ = r sin θС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра6222⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞Если бы мы воспользовались формулой H i = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ для нахождения⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠коэффициентов Ламе, у нас бы ушло полстраницы.ereϕr sin θθreθϕРисунок 7Далее3υ 2 = ∑ H i2 qi2 = r 2 + r 2θ 2 + r 2ϕ 2 sin 2 θi =1и подставив в выражение для ортогональной проекции ускорения на осикриволинейных координат, получим:(Wr = r − r θ 2 + ϕ 2 sin 2 θ)1⎛ d 2⎞Wθ = ⎜r θ − r 2ϕ 2 sin θ cos θ ⎟r ⎝ dt⎠( )Wϕ =1 ⎛d 2⎞2⎜ ( r ϕ sin θ ) − 0 ⎟r sin θ ⎝ dt⎠Рекомендую Wθ и Wϕ довести до окончательного вида самостоятельно.Рассмотрим задачу С.1.19.В полярных координатах r =p, где угол ϕ отсчитывается от перигея (см.1 + e cos ϕрис.8).Закон площадей r 2ϕ = c = const является ни чем иным, как одним из законовКеплера.С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра7Wr ( r ) ,W ( r ) = ?ПеригейrФокусϕРисунок 8Как было найдено ранее радиальное ускорение дается формулойWr = r − rϕ 2 .Постараемся уйти от дифференцирования по t , и перейдем к дифференцированиюпо ϕ .⎛1⎞d⎜ ⎟dr drdr cr== −c ⎝ ⎠ϕ=2dt dϕdϕ rdϕЗдесь мы воспользовались законом площадей r 2ϕ = c = const . Далее2d rd ⎛ dr ⎞=⎜ ⎟ϕ2dtdϕ ⎝ dt ⎠⎛1⎞2⎛1⎞d2 ⎜ ⎟2 d ⎜ ⎟cr c⎝r⎠= −c ⎝ 2 ⎠ 2 = − 2dϕ rr dϕ 2Тогда, с учетом того, что1 1 e= + cos ϕ , найдемr p p⎛ 2⎛1⎞⎞d ⎜ ⎟⎜cc2 ⎛ ec2 ⎛ 1 1 1 ⎞c21⎟1⎞rWr = r − rϕ 2 = − 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ + ⎟ = − 2 ⎜ − cos ϕ + ⎟ = − 2 ⎜ − + + ⎟ = − 2 .r ⎜ dϕr⎟r ⎝ pr⎠r ⎝ r p r⎠pr⎜⎟⎝⎠2В центральном поле трансверсальное ускорение должно быть равно нулю.Проверим:Wϕ = rϕ + 2rϕ = 0 ?Действительно, продифференцируем закон площадей:d 2dr ϕ ) = (c)(dtdtС.В. Семендяев.
Семинары осеннего семестра8, и получим:2 rrϕ + r 2 ϕ = 0 , что и требовалось доказать.Теперь перейдем к следующему способу задания движения точки.Естественный способ задания движения материальной точкиДвижение рассматривается вдоль конкретной заданной траектории, а в качествепараметра выступает длина дуги траектории s .Вводится естественный трехгранник Дарбу, состоящий из ортогональных ортовкасательной, нормали и бинормали к данной точке траектории (см.
рис. 9).WττWnbWnРисунок 9Касательный орт направлен по касательной к траектории в данной точке,нормаль к центру кривизны траектории, а бинормаль строится как векторноепроизведение b = [τ × n ] .Скорость задается выражением:υ=dsτ = υτdtУскорение:dυdυυ22 dττ +υ=τ + n = Wττ + Wn n ,W=ρdtds dtС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра9где ρ - радиус кривизны траектории.Заметим, что ускорение имеет две компоненты, которые для определенностиназывают:Wτ =dυ- тангенциальное ускорение,dtWn =υ2- нормальное ускорение.ρНормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.Поскольку базис ортогонален,222⎛ dυ ⎞ ⎛ υ ⎞W= ⎜⎟ +⎜ ⎟ .⎝ dt ⎠ ⎝ ρ ⎠На данную тему предлагается рассмотреть задачу М.3.74 (или М.12.27 взависимости от издания).Движение точки задано в полярных координатахr = aekt , ϕ = kt .Найти уравнение траектории, скорость, радиус кривизны.Уравнение траектории: r (ϕ ) = aeϕ - логарифмическая спираль.В полярных координатах:радиальная скорость υr ( t ) = r = akekt ,трансверсальная скорость υϕ ( t ) = rϕ = aekt k .Поэтому υ = υr2 + υϕ2 = 2akekt = kr 2Радиальное ускорение Wr = r − rϕ 2 = ak 2 e kt − ae kt k 2 = 0 .Трансверсальное ускорение Wϕ = rϕ + 2rϕ = 0 + 2akekt k = 2k 2 r .Так как Wr = 0 , то W = Wϕ = 2k 2 r .Радиус кривизны траектории:υ4k 4r 4 4== 2r .ρ=24k 4 r 2 − 2k 4 r 2⎛ dυ ⎞2W −⎜⎟⎝ dt ⎠С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра10Совпадают ли по направлению нормальное ускорение с радиальным, атангенциальное с трансверсальным? В общем случае, нет. См. рис. 10, где полноеускорение разложено на компоненты в полярных координатах и в естественных.WτWϕWϕWrWnРисунок 10С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра11СЕМИНАР №2.ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОГОПРОСТРАНСТВА.ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОГОПРОСТРАНСТВА.(ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ)Материальная точка – геометрическая точка, которой поставлено в соответствиеположительное число m - масса.Твердое тело – такая совокупность материальных точек, что расстояние междулюбыми двумя неизменно.Рассмотрим декартову систему координат x, y, z , в которой расположено твердоетело (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
