Семинары 3 семестр Часть 1 (1238797), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Семендяев. Семинары осеннего семестра37Пример.zΩMвRyωυxРисунок 40Тело совершает винтовой движение, а другое тело вращается относительно оси z .Найти простейший вид относительного движения первого тела относительновторого.Rx = ω , Ry = 0 , Rz = Ω ,M x = υ , M y = 0 , M z = −ω aR = ω 2 + Ω2M1 = M в =(MO⋅RR) = ωυ − Ωω aω 2 + Ω2Если ω = Ωa - чистое вращение.Если ω ≠ Ωa - винтовое движение.Уравнение оси минимальных моментов:υ − yΩ − zω + xΩ −ω a + yω==0ωΩОтсюда, z =ΩωxυΩ − yΩ 2 = −ω 2 a + yω 2 ,С.В. Семендяев.
Семинары осеннего семестра38y=υΩ + ω 2 aω 2 + Ω2СЕМИНАР №6.ДИНАМИКАДо сих пор мы рассматривали геометрию движения, не вникая в причины. Теперьдвижение будет рассмотрено в причинно-следственной связи. Существует двезадачи динамики:1) По движению определить силы;2) По силам определить движение.В основном делается акцент на второй задаче.В качестве постулатов динамики выступают:Три закона Ньютона,Принцип независимости действия сил,Принцип освобождаемости от связей.С первыми двумя вы уже знакомы, о последнем – подробней.Движущиеся объекты испытывают ограничения. Тела и поверхности,ограничивающие это движение, называются связями, а силы – реакциями связей.Принцип освобождаемости от связей гласит:Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить ихсвязи и заменить их реакциями.Примеры.На гладкой и шероховатой поверхности находится тело.С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра39NFРисунок 41Можно выделить следующие реакции:Реакцию по нормали к поверхности и реакцию шероховатой поверхности приналичии активных сил в касательном направлении.Экспериментальный закон Кулона относительно предельной силы трения гласит:Fпред = fN .До начала движения при Fтр < fN округлое тело либо находится в покое, либокатится без проскальзывания. Считается, что при скольжении Fтр = Fпред сохраняется,хотя в начальный момент она больше fN .f - коэффициент трения не зависит от величины поверхности соприкосновения тели определяется материалом и качеством обработки.
Есть таблицы коэффициентовтрения f . В задачах f задан или подлежит определению.Еще один пример связи – шарнир. Шарнир состоит из втулки и пальца шарнира.Рисунок 42Шарнир в виде цилиндра имеет две неизвестных компоненты силы реакции, в видешара – три.Блок – еще один тип связи. Желоб блока делают гладким.С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра40Рисунок 43Поскольку трения в блоке нет силы, действующие на трос по разные стороны блока,равны по величине, хотя имеют разные направления.Еще один пример – балка в стене.Реакция в этом случае не определена. Шесть неизвестных: 2 × 3 = 6 .Рисунок 44Известно, что реакцию связи можно свести к двум силам, одна из которых связана сточкой.Реакция – пассивная сила, она является следствием воздействия активных сил.ОСНОВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИИмпульс P , момент импульса KO и кинетическая энергия T .Импульс по определению: P = ∑ miυi .Центр масс (инерции) определяется радиус-вектором:rC =∑m r ,∑mi iiгде ri - радиусы-векторы, проведенные из одного и того же полюса.Тогда, если rC продифференцировать, то:P = mυCКинетический момент по определению:С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра41KO = ∑ [ ri × miυi ]Сделаем подсчет KO с рассмотрением сложного движения, при этом вводитсяподвижная система отсчета.ri′rirCOРисунок 45ri = rC + ri′υi = υ e + υ riiυie = υC + [ωe × ri′]Пусть система отсчета будет поступательной, т.е. ωe = 0 .K O = ∑ [ ri × miυi ] = ∑ ⎡⎣( rC + ri′) × mi (υC + υir ) ⎤⎦ =⎡⎤ ⎡⎤⎢r ⎥= [ rC × mυC ] + ⎢ rC × ( ∑ miυi ) ⎥ + ⎢( ∑ mi ri′) ×υC ⎥ + ∑ ⎡⎣ ri′× miυir ⎤⎦ =⎢⎥⎢⎣⎥⎦ ⎣⎢ mrC′ =0mυCr = 0⎦⎥= ⎡⎣ rC × P ⎤⎦ + ∑ ⎡⎣ ri′× miυir ⎤⎦Т.е. для системы точек K O = ⎣⎡ rC × P ⎦⎤ + ∑ ⎡⎣ ri′× miυir ⎤⎦ при выборе поступательной системыотсчета.В аналогичном случае для твердого тела:υi = υie + υir = υC + [ωa × ri′]Если подставим υir = [ωa × ri′] , то:K O = ⎡⎣ rC × P ⎤⎦ + ∑ ⎡⎣ ri′× mi [ωa × ri′]⎤⎦ = ⎡⎣ rC × P ⎤⎦ + J Cωгде J C - матрица тензора инерции.В случае, когда ωa ⊥ ri′ : (плоско-параллельное движение, например)∑ m ⎡⎣ r ′× [ωii× ri′]⎤⎦ = ωa ∑ mi ( ri′) − ∑ mi ri′(ωa ⋅ ri′) = J Cωωa2a=0С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра42где J Cω - момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции C ипараллельной вектору ωa , т.е. в этом случаеK O = ⎡⎣ rC × P ⎤⎦ + J CωωaПример.ωdzРисунок 46p = mω dK z = mω d 2 + J Cω ω = ( J Cω + md 2 ) ω = J zωJ z = J Cω + md 2 - момент инерции относительно оси z .Последнее равенство ни что иное как использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.ωzdРисунок 47Теорему Гюйгенса-Штейнера можно применять только когда есть чистоевращение, а в последнем случае – нельзя, и надо применять общую формулу:K O = ⎡⎣ rC × P ⎤⎦ + J CωωaКинетическая энергия по определению:T=1miυi2∑2υi = υC + υir при ωe = 0 ⇒T=211mυC2 + ∑ mi (υir )22С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра43Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы точек (твердого тела) равнакинетической энергии движения центра масс системы с мысленно сосредоточеннойв нем массой всех точек (твердого тела), плюс кинетическая энергия относительногодвижения относительно системы отсчета с началом в центре масс и движущейся12поступательно. T = mυC2 + TотнТакую систему еще называют кениговой. (начало в точке C , ωe = 0 )Если ωa ⊥ ri′ , тоT=11mυC2 + J Cωωa2221212В общем случае T = mυC2 + ωaT J CωaЗадача.
(см. рис. 48)P1 = 0 , P2 = 3m2ω R , P3 = 7m3ω R , Pст =7mω R2- импульсы дисков и стержня.Метод Виллиса:−4ω 2 R = − (ω2 − ω ) R = (ω3 − ω ) 3Rm33Rm2−3ωm1ROω2RРисунок 4853ω1 = −3ω , ω2 = 9ω , ω3 = − ωK O = ⎡⎣ rC × P ⎤⎦ + J CωωaС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра4412K1O = 0 + m1 ( 2 R ) ( −3ω )21K 2O = 3R ⋅ 3m2ω R + m2 R 2 9ω215 ⎞2⎛K 3O = 7 R ⋅ 7 m3ω R + m3 ( 3R ) ⎜ − ω ⎟2⎝ 3 ⎠12K стO = m ( 7 R ) ω3K O = K1O + K 2O + K 3O + K стOT=11mυC2 + J Cωωa222T1 =1122m1 ( 2 R ) ( −3ω )22T2 =11122m2 ( 3ω R ) +m2 R 2 ( 9ω )2221115 ⎞22⎛T3 = m3 ( 7ω R ) +m3 ( 3R ) ⎜ − ω ⎟222⎝ 3 ⎠Tст =2112m (7R ) ω 223T = T1 + T2 + T3 + TстС.В. Семендяев.
Семинары осеннего семестра45СЕМИНАР №7ИЗМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК P, KO , TТеорема об изменении импульса:dP= RвнешdtНаиболее широко используется запись в проекциях.Например, на оси естественного трехгранника.mdυC= RτвнешdtυC2m= RnвнешρCТеорема об изменении момента импульса KO :dK O= M Oвнеш − m [υO × υC ]dtесли полюс O подвижен.Точку O лучше выбирать так, чтобы уравнение имело простой вид. Например,выбирать точку O на неподвижной оси или в центре масс C .Теорема об изменении кинетической энергии T :dT = δ Aвсех _ силЭлементарная работа: δ A = ∑ Fk drkЕсли сила зависит от положения, вводится понятие поля.Если поле описывается одной функцией, то это поле будет потенциальным, приусловии, что для F ( Fx , Fy , Fz ) :∂Π∂Π∂Π⎧⎪ Fx = − ∂x , Fy = − ∂y , Fz = − ∂z⎪∃Π ( x, y, z ) : ⎨⎪ ∂Fx = ∂Fy , ∂Fx = ∂Fz , ∂Fz = ∂Fy⎪⎩ ∂y∂x ∂z∂x ∂y∂z- дифференциальный критерий потенциальности поля.Для потенциального поля:С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра46δ A = −d Π ⇒ T + Π = constЗадача С.6.28.QNFPРисунок 49f =18WC , ε − ?11) Q = P32) Q = PРисуем силы. Силу трения можно направить вправо, и знак в ответе скажет,правильно ли мы сделали.(1) mWC = Q + FЕсли качение без проскальзывания, то за точку отсчета можно взять точку касания.Если с проскальзыванием, то за точку отсчета лучше взять центр масс.Нам неизвестно будет ли колесо проскальзывать, поэтому берем за точку отсчетацентр масс C .
Тогда:dK C= M CвнешdtТ.к. KC = J Cωωa ⇒( 2)dK C= J Cω ε a .dt1 2mr ε = Qr − Fr2Если нет проскальзывания, то F ≤ fN и WC = ε r , также учитывается, что N = P .Если есть проскальзывание, то F = fN и WC ≠ ε r .С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра47Надо найти диапазон Q , при котором движение без проскальзывания.(1) − ( 2 ) 2 : {WC = ε r} :10 = −Q + 3 F ⇒ F = Q311F ≤ fN ⇒ Q ≤ P383N =P⇒Q≤ P811) Q = P3mWC =ε=1144P + P = mg ⇒ WC = g39994g9r2) Q = P199mWC = P + P = mg ⇒ WC = g888117gmrε = P − P ⇒ ε =284rКолесо буксует.Либо колесо буксует ( ε r > WC ) , либо идет юзом ( ε r < WC ) , либо идет безпроскальзывания ( ε r = WC ) .Задача.hРисунок 50С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра48Гладкий желоб в цилиндре1M , R, m, MR 22ω (h) = ?Nυe = ω RαυrmgРисунок 51Используем теорему о сохранении момента относительно оси вращения:MR 2ω − m (υr cos α − ω R ) R = 02Закон сохранения энергии:12 2mυa2 2 MR ωmgh =+22Потенциальная энергия определяется с точностью до константы.υ a2 = (υr cos α − ω R ) + υ r2 sin 2 α2υ r cos α − ω R =MRω2m⎛ MRω⎞ 1+ ωR ⎟υr = ⎜⎝ 2m⎠ cos α2⎛ M 2 R 2 ⎛ MR⎞ 2 ⎞ 2υ =⎜++ R ⎟ tg α ⎟ ω⎜ 4m 2 ⎜⎝ 2m⎟⎠⎝⎠2a1⎛⎞2mgh = mω 2 ⎜ A + MR 2 ⎟2⎝⎠2A=M 2 R 2 ⎛ MR⎞+⎜+ R ⎟ tg 2α24m⎝ 2m⎠С.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
