Семинары 3 семестр Часть 1 (1238797), страница 2
Текст из файла (страница 2)
рис. 11).MζkrMzrOO′jOiηξyxРисунок 11С твердым телом, в свою очередь, жестко связана другая система координатξ ,η , ζ , с началом в точке O твердого тела и движущаяся относительнонеподвижного пространства.Нас интересует скорость и ускорение точки M , принадлежащей твердому телу.С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра12Радиус-вектор точки M определяется выражением:rM = rO + OM .Следует отметить, что OM постоянен по модулю: OM = const .В греческой системе координат ξ ,η , ζ :OM = ξ i + η j + ζ k ,причем ξ ,η , ζ - постоянные, а i , j , k - движутся относительно x, y , z .Введем вектор ω таким образом, чтоdidjdk= ⎡⎣ω × i ⎤⎦ , = ⎡⎣ω × j ⎤⎦ ,= ⎡ω × k ⎤⎦ .dtdtdt ⎣Здесь и далее [•×•] означает векторное произведение.Введенный таким образом вектор ω называют угловой скоростью твердого тела.Тогда скорость точки M равна (эту формулу называют законом распределенияскоростей в твердом теле):υM =drM drO dOM=+= υO + ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ,dtdtdtпоскольку()dOM d ξ i + η j + ζ kdidjdk==ξ+η + ζ=dtdtdtdtdt= ξ ⎡⎣ω × i ⎤⎦ + η ⎡⎣ω × j ⎤⎦ + ζ ⎡⎣ω × k ⎤⎦ == ⎡ω × ξ i + η j + ζ k ⎤ = ⎡⎣ω × OM ⎤⎦⎣⎦()Аналогично можно получить ускорение точки M (закон распределения ускоренийв твердом теле):WM = WO + ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ + ⎡ω × ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ⎤⎣⎦где ε =dω- угловое ускорение.dtВ случае, когда точка O неподвижна,WM = ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ + ⎡ω × ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ⎤⎣⎦и для определенности вводят термины:С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра13WВР = ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ - вращательное ускорение,WОС = ⎡ω × ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ⎤ - осестремительное ускорение.⎣⎦Осестремительное ускорение всегда направлено к мгновенной оси вращения, т.е. коси проходящей через вектор ω (геометрическое место точек с нулевымимгновенными скоростями).Если рассматривается движение с неподвижной осью, то точку O целесообразнобрать на оси (см. рис. 12).ωευMMOhMРисунок 12ТогдаυM = ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ направлено по касательной к окружности радиуса hM .WM = ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ + ⎡ω × ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ⎤⎣⎦Но ⎡⎣ω × ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ⎤⎦ = ⎡⎣ω × ⎡⎣ω × hM ⎤⎦ ⎤⎦ = ω (ω ihM ) − ω 2 hM = −ω 2 hM ,где hM - вектор, задающий расстояние от оси до точки M ,(ω ih ) = 0 , поскольку ω ⊥ hMM.С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра14В итоге получаем WM = ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ − ω 2 hM .⎡ε × OM ⎤ - совпадает по направлению с υ M ,⎣⎦−ω 2 hM - направлено в противоположную hM сторону.При раскрытии векторного произведения использовалось правило:() ()⎡ A × ⎡ B × C ⎤ ⎤ = B AiC − C Ai B .⎦⎦⎣ ⎣Когда мгновенная ось неподвижна ( ε ω ), тогда вращательное ускорение WВРсовпадает с касательным Wτ и осестремительное ускорение WОС совпадает снормальным Wn . В общем случае ( ε ω ), данное соотношение не выполняется, икроме того, WВР и WОС не ортогональны.На рис.
13 указаны направления ускорений для случая ε ω .WMВРWMОСεMωObMПрω MРисунок 13Прω M - проекция точки M на ось ω ,bM - вектор от оси ε к точке M ,WMВР направлено по касательной к окружности радиуса bM ,WMОС направлено к мгновенной оси ω .Запишем ω = ωω0 , где ω0 - единичный орт вдоль ω .Тогда ε =dωd ω d (ωω0 ) dωω0 + ω 0 .==dtdtdtdtВведем вектор Ω таким образом, чтоС.В. Семендяев. Семинары осеннего семестраd ω0= ⎡⎣Ω × ω0 ⎤⎦ .dt15Т.к. ω0 задает направление мгновенной оси, то Ω является угловой скоростьюповорота вектора угловой скорости ω .В итоге,ε=dωω0 + ⎡⎣Ω × ω ⎤⎦dtПервая компонента ε1 =dωω0 соответствует изменению угловой скорости поdtмодулю, вторая компонента ε 2 = ⎡⎣Ω× ω ⎤⎦ соответствует изменению угловойскорости по направлению.Рассмотрим подробнее плоскопараллельное движение.Это движение твердого тела, при котором движения всех его точек лежат вплоскостях параллельных некоторой плоскости.Формулу WM = WO + ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ + ⎡⎣ω × ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ⎤⎦ можно преобразовать в более простую.Т.к.
при плоскопараллельном движении ε , ω ⊥ OM , Ω = 0 , тоWM = WO + ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ − ω 2 OMЗнание скоростей любых двух точек при плоскопараллельном движении позволяетнайти мгновенный центр скоростей или, другими словами, мгновенную осьвращения (см. рис. 14).υOMυMOPРисунок 14С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра16Мгновенная ось восстанавливается как пересечение перпендикуляров к υO и υ M , аυ P = 0 . Распределение скоростей такое, как если бы было чистое вращение:υM = ⎡⎣ω × PM ⎤⎦ .Пример.
Качение без проскальзывания.В задачах данное выражение значит, что в точке касания твердого тела споверхностью скорость тела равна скорости поверхности.Если поверхность неподвижна, то скорость точки касания равна нулю (см. рис. 15).WP ≠ 0P υ =0PРисунок 15Есть еще одно важное замечание, которое является свойством твердого тела(неразрывность и несжимаемость):Проекции скоростей любых двух точек твердого тела на прямую соединяющуюих равны (см. рис. 16), т.е.ПрOM υO = ПрOM υ MυMυOOПрOM υOMПрOM υ MРисунок 16Исходя из этого оценим возможные варианты распределения скоростей приплоскопараллельном движении (рис.
17).С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра17ВращениеПоступательноеВращениеРисунок 17Задача М-595 (24.17)xυLω εRLOω3R2KυKNRAυAO32ε1υNMРисунок 18Найти υ M ,WM в тот момент, когда OA ⊥ AMOA = 3RυM = υ A + ⎡⎣ω3 × AM ⎤⎦32υ A = ω ⋅ 3R,υ K = ω ⋅ RПосчитаем угловые скорости шестеренок.Для первой шестеренки МЦС1 в точке O ⇒ υ L = ω R .Для второй шестеренки МЦС2 на расстоянии x от точки K .3K : Rω = ω2 x (т.к. нет проскальзывания между шестеренками).2⎛R⎞L : ω R = ω2 ⎜ − x ⎟⎝2⎠Отсюда:3x3=⇒ x = R ⇒ ω2 = 5ω2 R 2− x104⎛R 3 ⎞+ R ⎟ ω2 = ω R ⋅ 5 = 4ω R5⎝ 2 10 ⎠υN = ⎜С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра18υ A = 3ω R , следовательно, т.к.υ N 4 ω3O3 N, то O3 A = 3R, O3 N = 4 R= =υ A 3 ω3O3 AПоэтому ω3 = ω , ε 3 = ε .υM = ω3O3 M = ω O3 A2 + AM 2 = ω R 10WM = WA + ⎡⎣ε 3 × AM ⎤⎦ − ω32 AMWA : WAτ = ε 3R,WAn =υ A2= ω 2 3R (вращение полюса A относительно точки O )ρAOAWAτWAnWMОСWMВРMРисунок 19WMВР = ε R, WMОС = ω 2 R(W − W ) + (W10 ( ε + ω ) − 12ω εWM ==RОС 2MAτ24ВРM− WAn ) =( ε 3 R − ω R ) + ( ε R − ω 3R )22222=2Задача М.569 (18.12)υBWBВРBWBPWBОСυA5RωWA5RAαβOРисунок 20OA = R, AB = 5 RωС.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра19ω AB , ε AB ,WB = ? в тот момент, когда AB ⊥ OAα = β = 45υA = ωRПр ABυ B = Пр ABυ AυB2= ω R ⇒ υ B = 2ω Rω AB =υAAP=ω5, P - МЦС2WB = WA + ⎡⎣ε AB × AB ⎤⎦ − ω ABABWA = ω 2 RWBОС = −ω2255R = −ω2R5Проекции на два направления: на AB и ⊥ AB :WBω2R2 2=−⇒ WB = −ω R ( WB направлено вниз)552WB4= ω 2 R + ε AB 5 R ⇒ ε AB = ω 2252С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра20СЕМИНАР №3.ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ. СЛОЖЕНИЕДВИЖЕНИЙ.ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ.υM = υO + ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ = ⎡⎣ω × OM ⎤⎦WM = WO + ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ + ⎡ω × ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ⎤ = ⎡⎣ε × OM ⎤⎦ + ⎡ω × ⎡⎣ω × OM ⎤⎦ ⎤ = WMВР + WMОС⎣⎦⎣⎦ω - инвариант относительно выбора полюса (доказать самостоятельно).ω = ωω0 , ε =dωω0 + ⎡⎣Ω × ω ⎤⎦ = ε1 + ε 2dtЗадача С.4.33.(+неравномерное вращение)WBВР1 BВР 2BWWBnWBОСWCВР 2CWАВР 2центр _ ρ BΩεωконусаε1WCОСε2 OМОВKAРисунок 21Качение без проскальзывания указывает на направление мгновенной оси вращения(МОВ).OC = hПусть будет ε ↑↑ Ω .Найти WBВР ,WBОС ,WBn ,WBτ − ? (ускорения в разных представлениях)Точка C , как одна из точек оси симметрии конуса OC , движется как и осьсимметрии с угловой скоростью Ω вокруг оси OB , поэтому:υC = Ω ⋅ OK = Ω ⋅h( ⊗ направлена от нас)2С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра21С другой стороны, точка C , как одна из точек конуса, движется с угловой скоростьюωконуса вместе с конусом вокруг оси OA (МОВ конуса мы нашли), поэтомуh2υC = ωконуса ⋅ CK = ωконуса ⋅⇒ ωконуса = Ω (равны по величине, но не по направлению)⇒ υ B =⇒ ωконуса ⋅ OB = Ωh 2Ω - угловая скорость оси симметрии конуса. Во время движения OC и OA лежат вплоскости OAB ⇒ Ω - также является угловой скоростью поворота мгновенной осивращения.ε = ε1 + ε 2ε1 =d ωконусаdt=dΩ= ε , (←)dtε 2 = ⎡⎣Ω × ωконуса ⎤⎦ = Ω ⋅ ωконуса = Ω 2 , ()WBВР1 = ⎡⎣ε1 × OB ⎤⎦ = ε h 2,WAВР 2 = WBВР 2 = ⎡⎣ε 2 × OB ⎤⎦ = ⎡⎣ε 2 × OA⎤⎦ = Ω 2 h 22WBОС = ωконуса⋅ hB = Ω 2 h 2( WMОС = −ω 2 hM , hM - расстояние от точки M до МОВ)()WB = WBВР1 + WBВР 2 + WBОС = WBτ + WBnυ B = ⎡⎣ωконуса × OB ⎤⎦WBВР1 перпендикулярно плоскости OAB , как и υ B , значит:WBτ = WBВР1 , WBn = WBВР 2 + WBОСWBτ = WBВР1WBn =(WBВР 2 ) + (WBОС ) = 2Ω2 h =22υ B2 2Ω2 h 2=⇒ ρB = hρBρBДля точек, лежащих на МОВ, независимо от того, равномерно или неравномерновращение, ускорение будет направлено ↑ .С.В.
Семендяев. Семинары осеннего семестра22СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙРанее мы рассматривали движение точки (Т - точка), затем перешли к движениюточки, как части твердого тела (ТТ – твердое тело), теперь рассмотрим движениеточки на твердом теле (ТТТ – точка на твердом теле).(Т → ТТ → ТТТ)Точка движется относительно некоторой среды, которая в свою очередь движетсяотносительно неподвижной среды. Условно движение можно разложить насоставляющие:" Абсолютное движение ( a ) – движение точки относительно неподвижнойсреды," Относительное движение ( r ) – движение точки относительно подвижнойсреды," Переносное движение ( e ) – движение подвижной среды относительнонеподвижной среды (или движение точки за счет подвижной среды, как еслибы точка была «приклеена»)Наглядной иллюстрацией является муравей, бегающий по палочке.Рисунок 22Траектория относительного движения муравья – прямая, траектория переносногодвижения муравья – окружность, траектория абсолютного движения муравья –более сложная, спиралевидная.Скорости и ускорения обозначенных движений можно складывать.υ a = υe + υ rOM = ξ i + η j + ζ k (рис.
23)υr = ξ i + η j + ζ kυe = υO + ⎡⎣ωe × OM ⎤⎦С.В. Семендяев. Семинары осеннего семестра23Wa = We + Wr + WkζzMηOO1ξyxРисунок 23Wk - ускорение КориолисаWe = WO + ⎡⎣ε e × OM ⎤⎦ + ⎡ωe × ⎡⎣ωe × OM ⎤⎦ ⎤⎣⎦Wr = ξ i + η j + ζ kWk = 2 [ωe ×υr ]Если движение подвижной среды поступательное, т.е. ωe = 0 , то Wk = 0,We = WO .dυe1= We + Wk2dtdυ r1= Wr + Wkdt2Задача С.2.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
