МУ по решению задач экзаминационной контрольной работы по курсу Дифференциальные уравнения (1238782), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Для этого подставимнайденные C1 ( x), C2 ( x) в формулу для y ( x) , полагая при этом, что C1  C2  0 .yч ( x)  x ln x  x  2ln 2 x e4 x   4ln x  x  e4 x ln x  x ln x  x  2ln 2 x  4ln 2 x  x ln x e4 x  2ln 2 x  x e4 x .По формуле y( x)  yo ( x)  yч ( x) получаем окончательный ответy  C1e4 x  C2e4 x ln x  e4 x (2ln 2 x  x) .285. Экстремум функционалаПусть задана функция F ( x, y, p) , дважды непрерывно дифференцируемая при всех x [a, b],y , pфункционал, и заданы числа A , B  .

Требуется исследовать на экстремумbJ  y    F  x, y ( x), y( x)  dx ,(1)ay a  A ,y b  B .(2)Будем обозначать через C1 ([a, b]) пространство всех непрерывно дифференцируемых наотрезке [a, b] функций. Экстремум функционала (1) разыскивается на множестве функций,принадлежащих C1 ([a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2). Задача (1)-(2)называется задачей с двумя закрепленными концами или простейшей задачей вариационногоисчисления.Необходимым условием экстремума является уравнение ЭйлераF d F(3) 0,x  [a, b].y dx yЭкстремалью называется любое решение уравнения (3). Допустимой экстремальюназывается решение уравнения (3), удовлетворяющее граничным условиям (2).Пусть yˆ ( x) - допустимая экстремаль и функция h( x)  C1 ([a, b]) , h(a)  h(b)  0 . Рассмотримприращение функционала J  J  yˆ  h   J  yˆ  .

Сумма всех линейных по h членов,входящих в  J , образует первую вариацию функционала. На экстремали первая вариацияравна нулю, поэтому при записи  J можно учитывать только нелинейные по h члены.Наличие экстремума функционала при y  yˆ ( x) определяется по знаку  J : J  0  min;  J  0  max;  J меняет знак в зависимости от h  нет экстремума.bЕсли в приращение функционала входит член вида  ( x) hh'dx ,где  ( x) - непрерывноaдифференцируемая на [a, b] функция, то для определения знакаJего нужно проинтегрировать по частям, используя равенство hh'  h2 ' / 2 . То естьbbb b11122(x)hh'dx(x)h'dx(x)h(x)   ' ( x) h 2 dx a2a22aab(4)11  (b)h 2 (b)   (a)h 2 (a)     ' ( x) h 2 dx.22aВ случае простейшей вариационной задачи h (a)  h (b)  0 , поэтомуbb12  ( x) hh'dx   2   ' ( x) h dx.aa29Функционал с одним или двумя свободными концами1) Если граничное условие задано только на одном конце отрезка [a, b] , то этот конецназывается закреплённым, в другой конец – свободным.

Необходимыми условиямиэкстремума являются уравнение Эйлера (3) и дополнительное граничное условиеF 0 на свободном конце,yкоторое называется условием трансверсальности.2) При рассмотрении приращения J  J  yˆ  h   J  yˆ  функция h( x)  C1 ([a, b]) берётсяравной нулю только на закреплённом конце, что учитывается при преобразованиях (4).Если функционал (1) рассматривается без граничных условий, т.е. оба конца свободные, тонеобходимыми условиями экстремума являются уравнение Эйлера (3) и граничные условиятрансверсальности на обоих концах отрезка [a, b] :FFa, y(a), y(a)   0, b, y(b), y(b)   0.yyПри рассмотрении приращения  J  J  yˆ  h   J  yˆ  функция h( x)  C1 ([a, b]) не полагаетсяравной нулю на каком-либо конце отрезка и в равенстве (4) учитываются все члены.Уравнение ЭйлераПри решении задач на экстремум функционала часто возникают уравнения, которые можнопривести к виду0 x2 y''  1xy'   2 y  f ( x),x [a, b],(5)где 0  0, 1,  2 - заданные действительные числа, f ( x) - заданная непрерывная на [a, b]функция.

Уравнение (5) также носит название уравнения Эйлера. Будем считать, что a  0 .Уравнение (5) сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами припомощи замены x  et , где t - новая независимая переменная. Характеристическиймногочлен полученного уравнения имеет вид0    1  1   2  0 2  1  0     2 .По известному характеристическому многочлену записываем преобразованное уравнение 0 y''  1  0  y'   2 y  f et ,в котором штрихи означают дифференцирование по переменной t .Примеры решения задач, предлагавшихся на письменном экзаменеЗадача 41-5. Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определивзнак приращенияJ ( y) 11 /62  y'  tg x dx,7 /47y     ln 2, 4 11 y   2ln 2. 6 Решение.

Составим уравнение Эйлера.FF 0, 2 y' tg x,  y' tg x '  0 - уравнение Эйлера, из него находим y' tg x  C,yyy'  C ctg x, y( x)  C cos xd sin xdx  C  C ln | sin x | C1.sin xsin x30Теперь учтем граничные условия 1  CC ln   C1   ln 2, ln 2  C1   ln 2, 2 C  2, C1  0. 21C lnC ln 2  C1  2 ln 2,   C1  2 ln 2,2 yˆ ( x)  2ln( sin x) - допустимая экстремаль.Пусть функция h( x)  C1 7 / 4,11 / 6 , h(7 / 4)  h(11 / 6)  0 . Рассмотрим приращениефункционала  J  J  yˆ  h   J  yˆ  .

Так как tg x  0 при x  7 / 4,11 / 6 , тоJ 11 /62  h'  tg x dx  0 max.7 /4Ответ: функционал имеет максимум на yˆ ( x)  2ln( sin x) .Задача 42-5. Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определивзнак приращенияJ ( y) 3 /22  y'  sin x dx,4 /34y    ln 3, 3 3y    0. 2 Решение. Составим уравнение Эйлера.FF 0, 2 y' sin x,  y' sin x '  0 - уравнение Эйлера, из него находим y' sin x  C,yyy' t  cos xdxsin x dxd cos x1 C 1CCC, y ( x)  C  dt sin xsin xsin 2 xcos2 x  1 t 1 t  1  1  cos x  C ln   C1. Теперь учтем граничные условия 1  cos x  1  1/ 2 C ln  1  1/ 2   C1  ln 3,C ln  1  0   C  0, 1 1 0 C ln 3  C1  ln 3, C  1, C1  0.C1  0, 1  cos x yˆ ( x)  ln  - допустимая экстремаль. 1  cos x Пусть функция h( x)  C1  4 / 3,3 / 2 , h(4 / 3)  h(3 / 2)  0 .

Рассмотрим приращениефункционала  J  J  yˆ  h   J  yˆ  . Так как sin x  0 при x   4 / 3,3 / 2 , тоJ 3 /22  y'  sin x dx  0 max.4 /3 1  cos x Ответ: функционал имеет максимум на yˆ ( x)  ln . 1  cos x Для более полного изучения темы об экстремумах функционала решим дополнительнуюзадачу.31Задача. Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращения2J ( y )    x 2  y'   2 xyy'  y 2  6 xy  dx,2y  2 1Решение.

Составим уравнение Эйлера.FF 2 xy'  2 y  6 x, 2 x 2 y'  2 xy,yyd F Fdx y y1 2ln 2.122 x2 y''  4 xy'  2 y  2 xy'  2 xy'  2 y  6 x , то естьx2 y''  2 xy'  2 y  3x .Получили уравнение Эйлера. Сделаем замену x  et . Характеристический многочленуравнения после замены    1  2  2   2    2 .В соответствии с ним запишем линейное уравнение с постоянными коэффициентамиy''  y'  2 y  3 et ,(6)в котором штрихи означают дифференцирование по t .Найдём корни характеристического уравнения  2    2     1   2   0, 1  1, 2  2.Общее решение однородного уравнения yo (t )  C1et  C2e2t .Поскольку имеет место резонанс кратности 1, то частное решение (6) ищем в виде y  atet ,тогда y'  a 1  t  et , y''  a  2  t  et .

Подставив эти значения в (6), находимa  2  t  1  t  2t   3, a  1, yч  tet .Таким образом, общее решение (6) естьy(t )  C1et  C2e2t  tet .Вернувшись к переменной x , получаем общее решение исходного уравнения ЭйлераCy( x)  C1x  22  x ln x.(7)xПри x  1 граничное условие не задано, это свободный конец отрезка. Следовательно, на нёмставится дополнительное граничное условиеF 0, y x1 2x y'  2xy 2x 1 0,y' (1)  y(1)  0.2C2 ln x  1, y' (1)  C1  2C2  1.x3Запишем систему из двух граничных условийC1  2C2  1  C1  C2  0,  C2  1/ 3, C1  0.C12C1  2  2ln 2   2ln 2,4121yˆ ( x)  2  x ln x - допустимая экстремаль.3xИз (7) находим y' ( x)  C1 Пусть функция h( x)  C1 1, 2 , h(2)  0 .

Рассмотрим приращение функционала322 J  J  yˆ  h   J  yˆ     x 2  h'   2 xhh'  h 2  dx .2(8)1Используя интегрирование по частям, преобразуем интеграл22  2xhh'  dx =  x  h ' dx =  xh2121222( x)   h ( x) dx  h (1)   h 2 ( x) dx .12211Подставив найденное значение в (8), получаем окончательную формулу для приращенияфункционала2 J    x 2  h'   2h2  dx  h2 (1)  0  min.21Ответ: функционал имеет минимум на yˆ ( x) 1 x ln x .3x 2336. Задача Коши для уравнений, допускающих понижение порядкаПусть требуется решить задачу Коши  x, y, y'  y''  g  x, y, y'   0,(1)y( x0 )  a,(2)y' ( x0 )  b.Здесь  , g – заданные функции, причем   x0 , a, b   0 и функции  , g g,, g,,y y'y y'непрерывны в окрестности точки  x0 , a, b  . Из общей теории следует, что решение задачи(1)-(2) существует и единственно на некотором отрезке  x0   , x0    .Таким образом, решение уравнения (1) всегда зависит от двух произвольных постоянных,которые однозначно определяются по начальным условиям (2).

Первую постоянную C1рекомендуется определять сразу после её появления, поскольку это упрощает дальнейшиевыкладки.Замечание. В ответе должно быть указано только одно решение задачи Коши. К примеру,нельзя давать ответ y 2  3x  1 , нужно точно выбрать y  3x  1 или y   3x  1 .Методы понижения порядкаДля краткости запишем уравнение (1) в виде F  x, y, y' , y''   0 и рассмотрим для него дваосновных метода понижения порядка.1.

Уравнение называется однородным по y и его производным, если оно не изменяется приодновременной замене y на ky , y' на ky' , y'' на ky'' , то естьF  x, ky, ky' , ky''   k s F  x, y, y' , y''  k  0 , где s - степень однородности.В этом случае порядок уравнения понижается заменой y  z ( x) y , где z ( x) - новая искомаяфункция. Вторая производная заменяется по правилу y''  ( zy)'  z'y  zy'  ( z'  z 2 ) y . Послезамены уравнение сокращается на y s .

Характеристики

Список файлов книги