МУ по решению задач экзаминационной контрольной работы по курсу Дифференциальные уравнения (1238782)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский физико-технический институт(государственный университет)Ипатова В.М.Методические указания по решению задачэкзаменационной контрольной работы по курсуДифференциальные уравнения 2013-2014 уч. г.Долгопрудный20141СодержаниеПредисловие…………………………………………………………..…………………3Условия задач…………………………………………………………………………...4Методические указания и решения задач………………………………………81. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами……………………………..82. Линейные системы с постоянными коэффициентами………………………………143. Положения равновесия автономных систем………………………………………...204.

Линейные уравнения с переменными коэффициентами……………………………255. Экстремум функционала……………………………………………………………...296. Задача Коши для уравнений, допускающих понижение порядка………………….347. Уравнения, не разрешенные относительно производной…………………………..388. Уравнения в частных производных первого порядка………………………………429. Задачи повышенного уровня………………………………………………………….47Ответы…………………………………………………………………………………....502ПредисловиеВ данном методическом пособии представлена письменная экзаменационная работапо годовому курсу «Дифференциальные уравнения», которая давалась в Московскомфизико-техническом институте в весеннем семестре 2014 года. Контрольная работасоставлена в четырёх вариантах.

В пособии содержатся условия всехэкзаменационных задач и ответы к ним. По каждой теме письменного экзаменаразъясняются основные методы, необходимые для решения задач, даютсярекомендации по выбору способов решения. В качестве примера детальноразбираются задачи двух вариантов (41 и 42) контрольной работы. Маркировка вида:задача 42-5 означает задачу № 5 из варианта 42.

Порядок следования тем согласован срасположением задач в экзаменационной работе:1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.2. Линейные однородные системы третьего порядка с постоянными коэффициентами.3. Положения равновесия нормальных автономных систем второго порядка.4. Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.5. Исследование функционала экстремум (простейшая задача вариационногоисчисления).6. Задача Коши для уравнений, допускающих понижение порядка.7.

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особыерешения.8. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка.9. Задачи повышенного уровня.На выполнение экзаменационной работы отводилось 4 часа.Авторами задач, включенных в письменную экзаменационную работу, являютсясотрудники кафедры высшей математики МФТИ: С.С. Самарова (№ 1), И.Ю.Ждановский (№ 2), А.Е. Умнов (№ 3), В.М. Ипатова (№ 4,8,9), А.Ю.

Петрович (№ 5),С.В. Иванова (№ 6), А.Ю. Семенов (№ 7), А.М. Бишаев (№ 10). Автор данногопособия была составителем письменной экзаменационной работы и выражает своюискреннюю благодарность коллегам, написавшим для контрольной новыеоригинальные задачи.Кроме того, автор считает своим приятным долгом поблагодарить О.А. Пыркову,которая внимательно прочла пособие и высказала ряд полезных замечаний.3Условия задачВариант 41 (2013-2014 уч.г.)1.(5) Найти все действительные решения уравненияxx 2y  8 y''  9 y  5  sin  cos   4e x .222.(4) Найти все действительные решения системы уравнений x  x  4 y  3z,(1,2  2, 3  3) y  2 x  4 y  2 z, z  2 x  3 y  4 z.IV3.(4) Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия x  arctg (1  2 x  y ),2 y  2 x  x  y.4.(5) Найти все решения уравненияx2 ( x  2)2 y''  x( x 2  4) y'  x( x  2) y  5( x  2)3 ln3 x.5.(5) Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращенияJ ( y) 11 /62  y'  tg x dx,7 /47y     ln 2, 4 11 y   2ln 2. 6 6.(5) Решить задачу Кошиx2 2 x yy"   3x  4  yy'  x x 2  3x  2  y'   0 , y (3) 21, y' (3) 31.3 37.(5) Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривые43  y'   4 ( y' )3  y  x   0 .8.(5) Найти общее решение уравнения и решить задачу Кошиuu z ux   x( y  5 z )2  z   0 , u  xz 5 при y  5z  1, x  0 .xy 5 zПовышенный уровень9.(7) Доказать, что при всех A, B, C единственно( x  1) y'''  y' sin x  0, 0  x  1,решение краевой задачи существует иy(0)  3 y' (0)  A,y(1)  B,y' (1)  C.10.(5) Найти два независимых первых интеграла системыw( w  1)v( w  1)x  u , r  v , u  v  2 x , v  u  1 , w.2r  3wr  3w24Вариант 42 (2013-2014 уч.г.)1.(5) Найти все действительные решения уравнения2y IV  2 y'''  2 y''  6 x  e x .2.(4) Найти все действительные решения системы уравнений x  6 x  4 y  10 z,(1  2, 2,3  2i) y  14 x  12 y  27 z, z  4 x  4 y  8 z.3.(4) Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия x   x  2 y  xy, y  ln 1  4 x  3 y  xy  .4.(5) Найти все решения уравненияx2 y''  x(8x  1) y'  4 x(4 x  1) y  (4  x)e4 x , x  0 .5.(5) Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращенияJ ( y) 3 /22  y'  sin x dx,4 /34y    ln 3, 3 3y    0. 2 6.(5) Решить задачу Коши2  y  2  y''   2 y  1 y'    y'  ,42y  5  7, y'  5 12.7.(5) Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривые2 y'  2ln y'  y  x  0 .8.(5) Найти общее решение уравнения и решить задачу Кошиuuu2 xy 2  7 xz 3 yz 3 2 y2z 0 , u  xy 6 при z  1, y  0 .xyzПовышенный уровень9.(7) Доказать, что при всех A, B, C решение краевой задачи существует иединственноxy'''  y' cos2 x  0, 2  x  3,y(2)  A,y' (2)  B,y(3)  y' (3)  C.10.(5) Найти два независимых первых интеграла системы w 1 w 1x  u , r  v , u  r , v   x  w  2  , w  v  2 . r r5Вариант 43 (2013-2014 уч.г.)1.(5) Найти все действительные решения уравненияy IV  3 y''  4 y   sin x  cos x   8 e2 x .22.(4) Найти все действительные решения системы уравнений x  10 x  y  8 z,(1  2, 2,3  3) y  9 x  4 y  10 z, z  8 x  y  6 z.3.(4) Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия x  8 x  2 y  7  1,2 y  x  4 x  y.4.(5) Найти все решения уравнения( x  1)3, x  1.x ln 2 x5.(5) Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращенияx( x  1)2 y''  ( x 2  1) y'  ( x  1) y J ( y) 5 /62  y'  ctg x dx,2 /36.(5) Решить задачу Кошиx32y    0, 3 5y    ln 3. 6  3x yy"  3 x 2  1 yy'  x3  x  y'   0 , y(1)  e , y' (1)  4 e .27.(5) Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривые65  y'   6 ( y' )5  y  x  .8.(5) Найти общее решение уравнения и решить задачу Кошиu  2uux2  x  2( x  y ) z   z 2  1 0 , u  x  y при z  0 .xyzПовышенный уровень9.(7) Доказать, что при всех A, B, C решение краевой задачи существует иединственноx y'''  e x y'  0, 1  x  5,y(1)  y' (1)  A,y(5)  B,y' (5)  C.10.(5) Найти два независимых первых интеграла системыw(1  2rw)v(1  2rw)x  u , r  v , u  v  1, v  2r  u , w.2rr26Вариант 44 (2013-2014 уч.г.)1.(5) Найти все действительные решения уравненияy IV  2 y'''  5 y''  3 5 x  2e x.22.(4) Найти все действительные решения системы уравнений x   x  2 y  2 z,(1  3, 2,3  i) y  7 x  9 y  6 z, z  6 x  8 y  5 z.3.(4) Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия2 x  sh 3 y  3 y , y  3xy  2 x  4 y  4.4.(5) Найти все решения уравнения2 x 4 ln( x  1)x ( x  1) y''  x(3x  4) y'  2(2 x  3) y , x  0.x 15.(5) Найти экстремали функционала и исследовать его на экстремум, определив знакприращения22J ( y) 11  1y   ln 3, 6  22  y'  cos x dx,11 /6y  2   0.6.(5) Решить задачу Коши2 y 2  y y''   y'   y 2  8  y'   0, y 10   1, y' 10   .24137.(5) Решить уравнение, найти особые решения и нарисовать интегральные кривыеy'  y  x  ln y'   1 .8.(5) Найти общее решение уравнения и решить задачу Кошиuuu2 y2 ye x z e x  4 y 2 0 , u  yz при y 2e x  1, y  0 .xyzПовышенный уровень9.(7) Доказать, что при всех A, B, C решение краевой задачи существует иединственно( x  2) y'''  y' ch x  0,  1  x  0,y(1)  A, y' (1)  B, y(0)  2 y' (0)  C.10.(5) Найти два независимых первых интеграла системыx  u , r  v , u  2rx , v   x 2 3w2 r 23vwr 2,.wr3  1r3  17Методические указания и решения задач1.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиПусть требуется найти все действительные решения линейного уравнения порядка nnn1a0 y   a1 y   ...  an1 y  an y  f  x  ,где x (1)– независимая переменная; y  x  – искомая функция; a0 , a1,, an – заданныедействительные числа, причем a0  0 ; f  x  – заданная функция.Соответствующее линейное однородное уравнениеnn1a0 y   a1 y   ...  an1 y  an y  0 .(2)Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) есть сумма общего решения (2) илюбого частного решения (1): y  x   yo  x   yч  x  .Общее решение уравнения (1) всегда зависит ровно от n произвольных постоянных.Построение общего решения однородного уравненияНайдём корни характеристического уравнения (2), то есть алгебраического уравненияa0 n  a1 n1  ...

 an1  an  0 .(3)Обозначим через 1, 2 , ... , s различные корни (3), вообще говоря, комплексные. Пустьлевая часть (3) представляется в видеa0 n  a1 n1  ...  an1  an  a0    1  1    2 kтогда k j k2   s ks ,называется кратностью корня  j . В случае k j  1 корень называется простым.I. Действительный корень.1) Если  простой действительный корень характеристического уравнения (3), то в общеерешение (2) входитC1e x .(4)2) Если  действительный корень (3) кратности kвыражениеC  C x 1где C1, C2 ,2 k  2  , то в общее решение (2) входит Ck x k 1 e x ,(5), Ck – произвольные действительные постоянные.II.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги