МУ по решению задач экзаминационной контрольной работы по курсу Дифференциальные уравнения (1238782), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Исследуем положение равновесия M1 (1; 1) . Замена x  u  1, y  v  1 . При вычислениичастных производных от f сразу будем учитывать, что в положении равновесия аргументffgg 2, 1, 2  2 x  0, 1.xyxyЛинеаризованная системаu  2u  v, 2 1 A  матрица системы.v  v,0 1Собственными значениями матрицы A являются 1  2 и 2  1арктангенса равен нулю. седло. Найдем собственные векторы. 0 111  2 , A  2 E   , h1    ; 0 30 3 112  1 , A  E   , h2    .0 0 3 2.

Исследуем положение равновесия M 2 (1;3) . Замена x  u  1, y  v  3 . При вычислениичастных производных от f вновь будем учитывать, что в положении равновесия аргументffgg 2, 1, 2  2 x  4, 1.xyxyЛинеаризованная системаu  2u  v, 2 1 A  матрица системы.v  4u  v, 4 1Найдем собственные значения матрицы A из уравненияарктангенса равен нулю.det( A   E ) 2    14 1   2    2  0, 1,2 1  i 7 устойчивый фокус.2В точке u  1, v  0 находим из линеаризованной системы вектор скорости23u  2 p     против часовой стрелки. v u 1,v 0  4 Задача 42-3. Найти положения равновесия системы, определить их характер и нарисоватьфазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положений равновесия x   x  2 y  xy  f ( x, y ), y  ln 1  4 x  3 y  xy   g ( x, y ). f ( x, y )  0, g ( x, y )  0Решение. Положения равновесия находим из системы уравнений или x  2 y  xy  0, x  y, x(1  x)  0.

Положения равновесия: M1 (0;0) , M 2 (1;1) .1  4 x  3 y  xy  1,1. Исследуем положение равновесия M1 (0;0) . Замена x  u, y  v . При вычислении частныхпроизводных от g сразу будем учитывать, что в положении равновесия аргумент логарифмаffgg 1  y  1, 2  x  2, 4  y  4, 3  x  3.xyxyЛинеаризованная системаu  u  2v, 1 2  A  матрица системы.v  4u  3v, 4 3 равен единице.Найдем собственные значения матрицы A из уравнения1   2det( A   E )   2  4  5  (  1)(  5)  0 ,4 31  1 , 2  5  седло. Найдем собственные векторы. 2 2  1 4 212  5 , A  5E   , h1    ; , h2    . 4 4  1 4 2 2 2.

Исследуем положение равновесия M 2 (1;1) . Замена x  u  1, y  v  1 . При вычислении1  1 , A  E  частных производных от g вновь будем учитывать, что в положении равновесия аргументлогарифма равен единице.ffgg 1  y  2, 2  x  1, 4  y  3, 3  x  4.xyxyЛинеаризованная системаu  2u  v, 2 1  A  матрица системы.v  3u  4v, 3 4 Найдем собственные значения матрицы A из уравнения2   1det( A   E )   2  6  5  (  1)(  5)  0 ,3 41  1, 2  5  устойчивый узел, касание к h1 .Найдем собственные векторы. 1 1 11  1, A  E   , h1    ; 3 3  1 3 11 , h2    . 3 1 3 2  5 , A  5E  244.

Линейные уравнения с переменными коэффициентамиПусть требуется найти все решения уравненияa0 ( x) y  a1 ( x) y  a2 ( x) y  f  x  ,(1)где a0 ( x)  0 , a1 ( x) , a2 ( x) , f  x  – заданные непрерывные на рассматриваемом промежуткеIфункции.1. Вначале решим соответствующее однородное уравнениеa0 ( x) y  a1 ( x) y  a2 ( x) y  0 .(2)1) Одно (нетривиальное) частное решение этого уравнения y1  x  подбирается в виде e x ,либо x , либо многочлена:а) Подставляем y  e x в уравнение (2), сокращаем его на e x и приравниваем нулюкоэффициенты при различных степенях x.

Если полученная система имеет решение, то изнеё находим значение .б) Подставляем y  x в уравнение (2), приравниваем нулю коэффициент при самой старшейстепени x. Получаем значение , затем проверяем, является ли y  x решением (2). Если  n – натуральное число, но y  x не подходит, то можно попытаться найти частноерешение (2) в виде действительного многочлена y  xn  d1x n1  ...

 dn . Числа d1, ..., dnнаходятся подстановкой в (2), если решение такого вида существует.Замечание 1. Описанный метод применим в случае, если уравнение (2) можно привести квиду, когда его коэффициенты являются многочленами. При произвольных коэффициентахa0 ( x) , a1 ( x) , a2 ( x) не существует универсального алгоритма для отыскания частногорешения (2).2) Пусть y1 ( x) найденное частное решение (2) и y ( x) произвольное решение того жеуравнения, раскроем для них определитель Вронскогоy ( x) y ( x)W  x  1 y' ( x) y1 ( x)  y ( x) y1' ( x)y1' ( x) y ( x)и запишем формулу Лиувилля-Остроградского в виде a ( x) y' ( x) y1 ( x)  y( x) y1' ( x)  C exp    1dx  , a0 ( x) где C - произвольная постоянная, а под интегралом в показателе экспоненты понимаетсякакая-либо одна из первообразных.

Разделив обе части этого равенства на y12 ( x), получимслева полную производную от дроби y y1 : a ( x)  yCexp    1dx  .   2 y1  y1 ( x) a0 ( x) Проинтегрировав (3), находим общее решение однородного уравнения (2)yo ( x)  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) ,(3)(4)где C1, C2 - произвольные постоянные.25Замечание 2. Если подбором удается найти два линейно независимых решения y1 ( x) , y2 ( x)уравнения (2), то формулу (3) применять не нужно, общее решение (2) сразу записывается ввиде (4).Замечание 3. Найти общее решение (2) без применения формулы Лиувилля –Остроградскогоможно следующим методом: подставим y  y1z в уравнение (2), а затем сделаем заменуz  u .

Порядок будет понижен при сохранении линейности уравнения.2. Общее решение исходного неоднородного уравнения строится на основе (4) по методувариации постоянных, то есть общее решение (1) разыскивается в видеy( x)  C1 ( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x) ,где неизвестные функции C1 ( x), C2 ( x) находятся из системыC1' ( x) y1 ( x)  C2' ( x) y2 ( x)  0,f ( x)C1' ( x) y1' ( x)  C2' ( x) y2' ( x)  a ( x) .0Отметим, что общее решение (1) есть общее решение (2) плюс какое-либо частное решение(1). Общее решение (1) всегда представляется в видеy( x)  yo ( x)  yч ( x)  C1 y1( x)  C2 y2 ( x)  yч ( x).Собственно, для отыскания частного решения yч ( x) и служит метод вариации постоянных.Общее решение (1) всегда зависит от двух произвольных постоянных.Примеры решения задач, предлагавшихся на письменном экзаменеЗадача 41-4. Найти все решения уравненияx2 ( x  2)2 y''  x( x2  4) y'  x( x  2) y  5( x  2)3 ln3 x.Решение.

1. Однородное уравнение. Ищем частное решение в виде y  x , тогда y'   x 1 ,y''   (  1) x 2 . Подставив эти значения в однородное уравнениеx2 ( x  2)2 y''  x( x2  4) y'  x( x  2) y  0 , имеемx2 ( x  2)2 (  1) x 2  x( x2  4) x 1  x( x  2) x  0 .Наибольшаястепеньx,содержащаяся в этом соотношении, равна   2 .

Приравняем нулю коэффициент при x  2 : (  1)    1  (  1)2  0    1. Подставив в однородное уравнение y  x , получаемневерное равенство  x( x2  4)  x2 ( x  2)  4 x  2 x2  0 , т.е. y  x не подходит. Попытаемсянайти частное решение в виде y  x  a . После подстановки в однородное уравнениеполучаем  x( x2  4)  x( x  2)( x  a)  0 , т.е. x  2 x  a   x2  4 ,x  a  x  2 . Такимобразом, y1 ( x)  x  2 - частное решение.В нашем случае  2a1 ( x)x( x 2  4)x22 x  ( x  2)21 2 ,2a0 ( x) x ( x  2)x( x  2)x( x  2)x2 x1  x  2  x  dx  2ln( x  2)  ln x  c(из условия задачи видно, что x  0 ),( x  2)2.xПо формуле Лиувилля-Остроградского находим, что1exp  2ln( x  2)  ln x   eln( x2) eln x  ( x  2)2 x 1 226' y  x2C ( x  2)2x ( x  2)2Cxydx C   C ln x  C1.x2xУмножив последнее равенство на x  2 и переобозначив C  C2 , получаем общее решениеоднородного уравненияyo ( x)  C1 ( x  2)  C2 ( x  2) ln x.2.

Неоднородное уравнение. Ищем общее решение в видеy( x)  C1 ( x) ( x  2)  C2 ( x) ( x  2) ln x.Функции C1 ( x), C2 ( x) находятся из системыC1' ( x  2)  C2' ( x  2) ln x  0,x  2  5( x  2)3 ln 3 xC'C'lnx.2  1x x 2 ( x  2)2Разделим первое уравнение системы на ( x  2) и вычтем его из второго уравнения системы.В результате приходим к равенству3ln 3 x55ln 3 x x  2  5( x  2) ln xdx  5 ln 3 x d (ln x)  ln 4 x  C2 .C2'  C2' , C2 ( x)  52x4xx x Из первого уравнения системы находим5ln 4 xln 4 x, C1 ( x)  5dx  5 ln 4 x d (ln x)   ln 5 x  C1 .xxПодставляя найденные C1 ( x), C2 ( x) в формулу для общего решения y ( x) и снимая «волну»C1'  C2' ln x  над произвольными постоянными, имеем5y( x)   ln 5 x  C1 ( x  2)   ln 4 x  C2  ( x  2) ln x.4После приведения подобных получаем окончательный ответ1y  C1 ( x  2)  C2 ( x  2) ln x  ( x  2) ln 5 x .4Задача 42-4. Найти все решения уравненияx2 y''  x(8x  1) y'  4 x(4 x  1) y  (4  x)e4 x , x  0 .Решение.

1. Однородное уравнение. Ищем частное решение в виде y  e x , тогда y'   e x ,y''   2e x . Подставив эти значения в однородное уравнениеx2 y''  x(8x  1) y'  4 x(4 x  1) y  0 и сократив его на e x , имеемx2 2  x(8x  1)  4 x(4 x  1)  0 . Приравняем нулю коэффициенты при различных степенях x 2 :  2  8  16  0,x , входящих в последнее соотношение.    4. Таким образом, x :   4  0,y1 ( x)  e4 x - частное решение однородного уравнения.В нашем случае 1a1 ( x) x(8 x  1)1 8 ,2a0 ( x)xxe8 xln x  e8 x eln x  e8 x x 1 1  8  x  dx  8x  ln x  c ,e8 x.

Согласно формуле Лиувилля-Остроградского находим, чтоx27' y  4x e Ce8 xx e8 xCxye4x Cdx C ln x  C1.xУмножив последнее равенство на e4x и переобозначив C  C2 , получаем общее решениеоднородного уравненияyo ( x)  C1e4 x  C2e4 x ln x.2. Неоднородное уравнение. Ищем общее решение в видеy( x)  C1 ( x) e4 x  C2 ( x) e4 x ln x.Функции C1 ( x), C2 ( x) определяются из системыC1' e4 x  C2' e4 x ln x  0, 4xe4 x  (4  x)e4 x4x4C'eC'4elnx.  12 2xxУмножим первое уравнение системы на 4 и вычтем его из второго уравнения системы.Сократив результат на e4x , приходим к равенству4 1  (4  x)4 C2'    C2'   1, C2 ( x)     1 dx  4ln x  x  C2 .2xx xx 4ln xИз первого уравнения системы находим C1'  C2' ln x  ln x ,xln xC1 ( x)   ln x dx  4dx  x ln x   dx  4 ln x d (ln x)  x ln x  x  2ln 2 x  C1 .xУдобно сразу подсчитать частное решение неоднородного уравнения.

Характеристики

Список файлов книги