Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Две катушки с магнитными моментами p1 и p2 расположены так, что их оси находятся на однойпрямой. Расстояние L между ними велико по сравнению с размерами катушек. Определить силу взаимодействия между катушками.РешениеПоскольку L намного больше размеров катушек, то такую систему можно рассматривать как систему из двух точечных магнитных моментов (см. теоретический материал главы 7), один из которых находится в поле, создаваемом другим.Будем рассматривать вторую катушку в поле первой. Выберемось Х декартовой системы координат совпадающей с прямой, соединяющей центры катушек (см.
рис. 9.6). Ввиду симметрии задачи сила будет иметь только хкомпоненту. Тогда согласно(9.2) на вторую катушку действует сила, величина которойравна∂BF = Fx = p2 x 1x .∂xСогласно соотношению(7.21) теоретического мате- Рис. 9.6. К расчёту силы взаимодействияриала главы 7, магнитное поле двух магнитных диполей (задача 9.3.7)284ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧµ 0 2 pm, следова4π x 3тельно, индукция магнитного поля, создаваемого первой катушкойµ pравна B1 x = 0 13x .2π x3µ p p∂ µ p = − 0 1 x4 2 x .Окончательно получим: Fx = p2 x 0 13x ∂x 2 π x x = L2 πLна оси точечного магнитного момента равно B =3 µ 0 p1 p2.2 πL4Замечание.
Катушки притягиваются (Fx < 0), если p1x и p2химеют одинаковый знак (p1 ↑↑ p2) и отталкиваются (Fx > 0), еслиp1x и p2х имеют разные знаки (p1 ↑↓ p2) – ситуация, приведённая нарис. 9.6.Ответ: F = −Задача 9.3.8 (базовая задача). По длинному однослойному соленоиду с n витками на единицу длины течет ток I. Определитьдавление, действующее на боковую поверхность соленоида.РешениеКаждый из витков соленоида представляет собой кольцо с током, находящееся во внешнем однородном (если пренебречь краевыми эффектами) магнитном поле, перпендикулярном его плоскости, которое создаётсявсеми остальными виткамисоленоида(см.рис.
9.7). Согласно задаче Рис.9.7. Силы, действующие на виток со9.3.6,пондеромоторные леноида со стороны его собственного магсилы F стремятся увели- нитного поля (задача 9.3.8)чить радиус соленоида.Найдем эти силы энергетическим методом.Пусть радиус соленоида увеличился на dR при неизменной силе тока. Тогда согласно (9.8′) работа сил давления на боковую по-285Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатикеверхность соленоида будет равна приращению его энергииδA = pdV = p 2πRldR = δWI = const,где V – объем соленоида, R – его радиус, l –длина.
Энергия соленоида согласно (9.5) равна1 2 1LI = µ 0 n 2 πR 2 lI 2 ,22где использовано, что индуктивность соленоида L = µ0n2V (см. задачу 8.3.10 главы 8).Из этих соотношений находим величину давленияW=p=1 ∂W2 πRl ∂R=I( )µ 0n 2 I 2 ∂ 21 ∂ 1222µnπRlI=R = 02πRl ∂R 24 R ∂RI=µ0n2 I 2B2 ,=22µ 0где B = µ 0 nI – индукция магнитного поля на оси длинногосоленоида (см. задачу 7.3.5 главы 7).Ответ: p = µ0 n 2 I 2 2 .Замечание 1. Длинный соленоид разделяет все пространство надве области: внутри соленоида, в которой существует магнитноеполе с индукцией B = µ 0 nI (см.
задачу 7.3.5 главы 7), и снаружисоленоида – где магнитное поле очень мало.Согласно (9.11) давление, оказываемое на боковую поверхностьсоленоида силами Ампера равноB 2 µ 0n 2 I 2.p = w1 − 0 ==2µ 02Замечание 2. Наличие сил давления, действующих на боковуюповерхность соленоида, приводит к тому, что максимальное значение индукции магнитного поля, которое можно получить с помощью соленоидов, не превышает 50 Тл (для импульсного соленоида). При такой величине B на проволоку из бериллиевой бронзы, изкоторой изготавливаются импульсные соленоиды, оказывается давление равное p = B 2 ( 2µ 0 ) ≈ 2 ⋅ 109 Па , близкое к её пределу прочности.286ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗамечание 3.
Вследствие взаимного притяжения витков соленоида на его торцевую поверхность будут действовать силы, стягивающие его. Величину давления, действующего на торцевую поверхность соленоида можно определить аналогично решению данной задачи (см. задачу 9.4.7 для самостоятельного решения).Задачи типа 9.3Определение вращающего момента и сил, действующих на проводник с током и магнитный диполь в магнитном полеЗадача 9.3.9 (базовая задача).
Квадратная рамка со сторонойа, изготовленная из тонкого проводника, расположена в однойплоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I0.Определить внешнюю силу, которая удерживает рамку в равновесии, если по ней течёт ток I, а расстояние между проводом и ближней к нему стороной рамки равно 2а (рис. 9.8 а).Рис. 9.8 а. Взаимное расположение проводников с токами взадаче 9.3.9Рис.9.8 б. Определение силы, действующей нарамку со стороны магнитного поля прямогопровода (задача 9.3.9)РешениеСпособ 1. Согласно закону Ампера (9.1) на стороны рамки будут действовать разные силы со стороны магнитного поля прямогопровода с током I0.
Направим ось Х перпендикулярно проводу вплоскости рамки. Вектор магнитной индукции поля прямого провода В направлен перпендикулярно плоскости рамки, а его модульµ Iравен B = 0 (см. задачу 7.3.9 главы 7), где I – сила тока в прово2 πxде, а х – расстояние от него до рассматриваемой точки.287Гл.
9. Энергия и силы в магнитостатикеПолная сила, действующая на рамку со стороны магнитногополя, равна векторной сумме силF = FAB + FBC + FCD + FDA(рис. 9.8б). Так как на участках рамки BC и DA токи текут в разныестороны, а направление магнитного поля одинаково, то FBC = – FDAи сумма этих сил равна нулю.Определим силы, действующие на две других стороны рамки.Используя соотношение (9.1), для модуля сил имеем:µ0 I 0 I.4πµ I IFCD = Ia B x =3a = 0 0 .6πВекторы FАВ и FСD направлены противоположно и, следовательно, х-компонента результирующей силы, действующей на рамку со стороны магнитного поля, равнаFAB = Ia B x =2 a =µ0 I 0 I µ0 I 0 Iµ I I+=− 0 04π6π12πи направлена в сторону провода против оси Х.Для того, чтобы рамка находилась в равновесии, к ней должнабыть приложена внешняя сила F′, равная по величине и противопоµ I Iложная по направлению силе F, то есть Fx′ = 0 0 .12πСпособ 2.
При постоянстве токов, текущих в проводниках, согласно соотношению (9.8′)Fx = −δA = Fdx = δWI =const.Так как в рассматриваемой задаче токи, текущие в проводниках, не изменяются, то внешнюю силу, действующую на рамку,можно найти как∂WF =+.∂x I =constЭнергия магнитного поля, созданного двумя контурами с токами, согласно (9.6) складывается из собственных магнитных энергийконтуров и их взаимной энергии. Собственные магнитные энергииконтуров – постоянные величины. От координаты х зависит толькоэнергия взаимодействия, поэтомуW(x) = Wвзаим= L12 ( x ) I 0 I ,288ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде L12 – коэффициент взаимной индукции системы «провод – рамка».Найдем взаимную индуктивность L12 контуров.Магнитный поток через рамку, создаваемый полем провода, равенx+aΦ = ∫ BdS =S∫xµ0 I 0µ I a x+aadx = 0 0 ln= L12 I 0 (см. главу 8).2πx2πxµ a x+aТогда L12 = 0 lnи2πxF=µ I Ia∂ µ 0 I 0 Ia x + a a=− 0 0. ln∂x 2 π x I =const2π x ( x + a )µ 0 I 0 Ia.12πТак как получившаяся величина отрицательна, искомая магнитная сила направлена против направления оси х, что соответствует притяжению рамки к проводу.µ I IОтвет: Fx′ = 0 0 .12πПри х = 2а F = −Задача 9.3.10. Соленоид радиуса R и длины l (l >> R) имеетобмотку, состоящую из N витков. По соленоиду течет ток силы I.
Вцентре соленоида на его оси помещена небольшая катушка, имеющая магнитный момент pm, направленный перпендикулярно оси соленоида. Определить величину момента сил М, действующих накатушку.РешениеВнутри длинного соленоида магнитное поле однородно. Вектормагнитной индукции такого поля направлен вдоль оси соленоида(см. рис. 9.9) и равен по модулюNI.lБудем рассматривать катушку, как точечный магнитный диполь.
Тогда в соответствии с (9.3) момент сил по модулю будет равенB = µ 0 nI = µ 0Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике289Рис. 9.9. К определению вращающего момента сил Ампера, действующего на магнитный диполь, помещённый на оси соленоида(задача 9.3.10)NI,lгде α = 90° – угол между векторами pm и В.µ p NIОтвет: M = 0 m .lЗамечание. Если внутренняя катушка ориентирована соосносоленоиду, то в соответствии с (9.4) момент сил, действующих нанеё со стороны магнитного поля соленоида, равен нулю.M = pm B sin α = pmµ 0Задача 9.3.11. На круглый короткий деревянный цилиндр объёмом V в один слой намотана катушка. По катушке течет ток, поверхностная плотность которого равна i.
Определить величину механического момента, который удерживает цилиндр в равновесии,если он находится во внешнем однородном магнитном поле, векториндукции которого В образует угол α с осью цилиндра.РешениеРассмотрим элемент катушки длиной dl. Согласно определению (7.16) главы 7, этот элемент можно рассматривать, как магнитный диполь с моментом p m = ISn = idl πR 2 n (где R – радиус катушки), направленным вдоль оси цилиндра (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
