Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 43
Текст из файла (страница 43)
9.1. К определениюстоянииот нее. Используя результат ба- силы, действующей на ли2нейный проводник с токомзовой задачи 7.3.1в магнитном поле (задачаµ0 Iµ0 I9.3.1),B = B1 + B2 = 2 B1 = 2=4 π( l 2 ) π lоткуда получимµ I2Fl = 0 .πlµ0 I 2;πlсила перпендикулярна короткой стороне проводника (см. рис. 9.1) иеё направление не зависит от направления тока.Ответ:Fl =Задача 9.3.2 (базовая задача). Две параллельные плоскости,по которым течет ток, создают в пространстве между собой однородное магнитное поле с индукцией B. Вне этой области поле отсутствует. Найти силу магнитного взаимодействия FS, действующую на единицу площади каждой плоскости.РешениеВ задаче 7.3.8 главы 7 было показано, что токи по плоскостямтекут параллельно друг другу в противоположных направлениях –иначе согласно принципу суперпозиции будет существовать магнитное поле в пространстве вне плоскостей.При противоположной ориентации параллельных токов в про-Гл.
9. Энергия и силы в магнитостатике277странстве между плоскостями индукция магнитного поля вдвоебольше поля уединенной плоскости В1 и равнаB = µ 0i = 2B1 ,где i – величина поверхностнойплотности тока, текущего в каждой плоскости.Силу взаимодействия плоскоРис. 9.2. Определение силы магнитного взаимодействия двух паралстей можно найти как результатлельных плоскостей с поверхностдействия магнитного поля, создаными токами (задача 9.3.2)ваемого одной плоскостью, на токи в другой. Пусть на участокпластины с площадью ∆S в соответствии с законом Ампера (9.1),действует сила равная ∆F. Тогда сила, действующая на единицу поверхности одной из плоскостей со стороны магнитного поля, создаваемого другой плоскостью равна по модулю∆F iB1∆S B 2.==∆S∆S2µ 0Эта сила направлена перпендикулярно плоскостям в сторону отплоскости, создающей магнитное поле (см.
рис. 9.2). Таким образом, плоскости с противоположно направленными токами отталкиB2. Отметим,ваются друг от друга, испытывая давление p = FS =2µ 0что взаимодействие токов, текущих в пределах одной пластины,приводит к силам, параллельным ее поверхности, т.е. к касательным напряжениям.Ответ: Сила (отталкивания) направлена перпендикулярноB2плоскостям и равна FS =.2µ 0Замечание. Такой же результат можно получить, используяформулу (9.11). Так как в пространстве вне плоскостей магнитноеполе отсутствует, а объёмная плотность энергии магнитного поля вB2пространстве между плоскостями согласно (9.9) равна w1 =,2µ 0FS =278ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧB2.2µ 0При таком решении направление сил давления можно легкоопределить из (9.8′). Раздвинем плоскости на малое расстояние. Таккак плотность энергии не зависит от расстояния между плоскостями, то энергия возрастет. Согласно (9.8′) при постоянстве силы токазнак работы магнитных сил совпадает со знаком изменения энергии. Таким образом, при раздвижении плоскостей работа будет положительной, что и соответствует силе отталкивания.получим FS = p = w1 − 0 =Задача 9.3.3 (базовая задача).
Два параллельных тонких провода длиной l каждый находятся на расстоянии d друг от друга(l >> d). В них поддерживаются постоянные токи I1 = I2 = I, направленные в противоположные стороны. Какую работу совершают силы магнитного поля (силы Ампера) при удалении проводов на расстояние 2d друг от друга? Краевыми эффектами пренебречь.РешениеКак известно, два параллельных проводника, по которым токитекут в противоположных направлениях, отталкиваются. Поэтомупри удалении проводников друг от друга работа сил магнитногополя будет положительной.Рассмотрим один провод в поле другого.
Не ограничивая общности задачи, можно считать, что провод, создающий магнитноеполе, неподвижен. Если другой провод находится на расстоянии хот первого, на него в соответствии с (9.1) действует сила Ампера,равнаяµ I2F = IBl = 0 l .2 πxЗдесь использовано выражениедля величины индукции В бесконечного прямолинейного тока, полученное вбазовой задаче 7.3.1, Сила Ампера направлена перпендикулярно проводу(см. рис. 9.3), поэтому под её действиРис.
9.3. К расчету работыем провод будет перемещаться в плоссил Ампера при перемещениипроводов с токами друг отнокости рисунка параллельно самому сесительно друга (задача 9.3.3)бе. При перемещении одного из про-Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике279водов на dx силы магнитного поля другого провода совершат работуµ0 I 2l dx ,2 πxи полная работа по удалению проводов на заданное расстояние 2dбудет равнаδA = Fdx =2dA=Ответ: A =µ0 I 2µ0 I 2ldx=l ln 2 .∫ 2πx2πdµ0 2I l ln 2 .2πДополнение.
Проверим выполнение закона сохранения энергиив данной задаче (соотношение (9.7) теоретического материала).Так как конфигурация и, соответственно, индуктивность системы изменяется, а сила тока, текущего в проводниках, остаетсяпостоянной, то в соответствии с (9.5) изменение энергии можно записать как∆W =L2 I 2 L1 I 2 I 2−= ( L2 − L1 ) ,222где L2 и L1 –индуктивности двухпроводной линии в конечном и наµl xчальном состоянии, определяемые формулой L( x ) ≅ 0 ln , где хπa– расстояние между проводами, а – радиус провода (см.
задачу8.4.15 главы 8). Для данного случая получим∆W =µ 0 I 2 l 2dd µ I2− ln = 0 l ln 2 = A > 0 , lna2π a2πто есть энергия системы увеличилась на величину, численно равную работе сил Ампера, что соответствует формуле (9.8) теоретического материала.Согласно закону сохранения энергии (9.7) работа сил Ампера иизменение энергии системы произошло за счет работы источникаЭДС, который поддерживал постоянным ток в проводниках (т.е. совершал работу против ЭДС индукции, возникшей в системе при перемещении проводов). Действительно,280ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧAЭДС = − Aинд = I∆Φ = I ( L2 I − L1 I ) =µ0 2I l ln 2 = A + ∆W .πЗадача 9.3.4. По длинному сплошному прямому цилиндрическому проводу радиуса R из немагнитного материала течет ток I.Считая, что плотность тока одинакова во всём объёме проводника,найти энергию магнитного поля внутри провода в расчете на единицу его длины.РешениеТак как плотность тока одинакова во всём объёме проводника,то на расстоянии r от его оси индукция магнитного поля равнаµ IB = 0 2 r (см.
задачу 7.3.10 главы 7). По определению (9.9) объ2πRB2ёмная плотность энергии магнитного поля равна w =, то есть2µ 0она зависит от расстояния до оси проводника как21 µ0 I w( r ) =r.2µ 0 2 πR 2 Для энергии системы в расчете на единицу длины получимR2µ0 I 2W 1 1 µ0 I Wl == ∫r2πrldr=.ll 0 2µ 0 2πR 2 16πОтвет: Wl =µ0 I 2.16πЗадача 9.3.5. Вдоль прямого медного проводника радиуса R течет ток I. Найти разность потенциалов между осью проводника иего поверхностью. Концентрация электронов проводимости в медиn.РешениеТок, текущий в проводнике, создает вокруг себя магнитное поле.
Это поле действует на электроны проводимости, которые упорядоченно движутся с дрейфовой скоростьюV=II=.neS neπR 2Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике281Действие магнитной составляющей силы Лоренца F приводит к тому, что привключении тока электроны начинают смещаться к оси проводника (рис. 9.4). В результате на поверхности появляется избыточный положительный заряд, а в остальномFобъеме – отрицательный. Таким образом,возникает электрическое поле, со стороныBкоторого на электроны также действует сила.
Равновесие в проводнике будет достигнуто тогда, когда действующая на электронысила Лоренца (9.12) станет равной нулю, и вUкаждой точке проводника будет выполняться равенствоРис. 9.4.ОпределениеeE = − eVB .разности потенциалов UИндукция магнитного поля на расстоя- между осью и поверхнонии r от оси сплошного цилиндрического стью сплошного цилиндрического проводника спроводника равнатоком (задача 9.3.5)µ0 IB=r2πR 2(см. задачу 7.3.10 главы 7). Напряженность электрического поля впроизвольной точке проводника направлена по радиусу проводникаи для ее проекции на радиальное направление получаем:µ0 IIr.2neπR 2πR 2Отсюда находим разность потенциалов между осью проводника и его поверхностьюE = −VB = −00µ0 I 2µ0 I 2rdr=−.2neπ 2 R 44neπ 2 R 2RU = − ∫ Edr = ∫Rµ0 I 2.4neπ 2 R 2Замечание.
Чтобы найти распределение заряда внутри провода,можно воспользоваться результатами задачи 1.3.13 главы 1. В нейбыло показано, что такая напряженность электрического поля, пропорциональная радиус-вектору r точки, получается внутри равно-Ответ: U = −282ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧρr , где ρ – плотность2ε 0заряда. Приравнивая это выражение полученной выше напряженI2ности Е, получаем ρ = − ε 0µ 0.neπ 2 R 4мерно заряженного цилиндра и равна E =Задачи типа 9.2Нахождение энергии магнитного поля и магнитных сил,действующих на проводники с током, ограниченныев пространствеЗадача 9.3.6. По тонкой проволоке диаметром D, согнутой ввиде окружности радиуса R, течет постоянный ток I.
Проволокаразрывается, если величина механического напряжения в ней достигает величины σ0. При каком значении индукции Bк однородногомагнитного поля, перпендикулярного плоскости кольца, произойдет разрыв проволоки?РешениеЗамкнутое кольцо с токомАможно рассматривать как магнитный момент pm = ISn (см.(7.16) в главе 7).
Так как векториндукции магнитного поля паT′раллелен pm, то согласно (9.3)отсутствует вращающий моРис. 9.5. Силы, действующие на элементмент, действующий на провод- кольца с током во внешнем магнитномник со стороны внешнего маг- поле В (задача 9.3.6)нитного поля.Поскольку магнитное поле однородно, то согласно (9.2), полнаясила, действующая на кольцо со стороны магнитного поля, такжеравна нулю, т.е. проводник находится в положении равновесия.На элемент проводника dl (рис. 9.5) действует сила Ампера(9.1)dFA = I [dl B ] .Эта сила должна быть скомпенсирована равнодействую-Гл.
9. Энергия и силы в магнитостатике283щей dFT сил натяжения Т и Т′, приложенных к концам данногоdlэлемента dFT = Td α = T . Приравнивая модули этих сил, получаRемT = IBR .Проволока разорвётся, если механическое напряжение в нейTπD 2достигнет предельного, то есть= σ0 (где S =– площадьS4поперечного сечения проводника).Окончательно получим: B =Ответ: B =σ 0 πD 2.4 IRσ 0 πD 2.4 IRЗадача 9.3.7 (базовая задача).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
