Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Найти их коэффициент взаимной индукции L12 и общую индуктивность L при последовательном соединении катушек. Рассмотреть два случая, когда направления токов в витках обоих катушек 1) одинаковы 2) противоположны.Ответ: L12 = L1 L2 , L = ( L1 ± L2 )2. Знак плюс соответствует одинаковому направлению токов.~Задача 8.4.18. Длинный соленоидокружен витком провода, в которомподдерживается ток I = I0 cosωt подключенным к нему источником переменного тока (рис.
8.23). Найти ЭДСРис. 8.23. К расчету ЭДС виндукции, наводимой в соленоиде.соленоиде (задача 8.4.18)Длина соленоида l, радиус a, числовитков N.N 2Ответ: E=µ0πa I0 ω sin ωt. Результат не зависит от наклоlна и формы витка.Задача 8.4.19. Квадратная рамка со стороной а лежит в одной плоскости с прямолинейным длинным проводом (рис. 8.24).Ближайшая сторона рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние b.
Врамке источником переменной ЭДС создается ток I = I0 sin ωt. Найти ЭДС индукции E(t),наводимой в проводе.baa~Рис. 8.24. Взаимное расположение рамки и прямолинейногопровода(задача 8.4.19)Гл. 8. Электромагнитная индукция271µ0aa ln(1+ )ω I0 cos ωt.2πbЗадача 8.4.20. Точечный магнитный диполь пролетает насквозьчерез соленоид вдоль его оси. Магнитный момент диполя направлен параллельно его скорости. Соленоид через идеальный выпрямляющий элемент подключен к баллистическому гальванометру, измеряющему, таким образом, сумму модулей протекших зарядов.Найти магнитный момент диполя pm, если гальванометр показалзаряд q. Соленоид имеет N витков, длина его l, общее сопротивление соленоида и измерительной цепи R.Ответ: E = −Ответ: pm =qRl.2µ 0 NЗадача 8.4.21. По оси кругового витка радиуса а на расстоянииl от его центра (l >> a) движется со скоростью v точечный магнитный диполь с дипольным моментом pm, ориентированным параллельно вектору скорости.
Оценить силу тока в витке, если его сопротивление равно R, а индуктивностью можно пренебречь.3 µ 0 pm va 2l3 µ 0 pm a 2 vОтвет: I =.≈2 R (a 2 + l 2 )5 / 22 Rl 4Литература к главе 81.2.3.4.5.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. –М.: Оникс 21век, 2005, §§ 44-47.Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.III Электричество. –М.:Физматлит, 2006, §§ 64-71.Калашников С.Г. Электричество. –М.: Физматлит, 2003,§§ 89-99.Тамм И.Е.
Основы теории электричества. М.: Физматлит,2003, §§ 76-81.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошныхсред. М.: Физматлит, 2001.272ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 9ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В МАГНИТОСТАТИКЕ§ 9.1. Теоретический материалЗакон Ампера – сила, действующая на элемент dl проводникас током I, помещенный в магнитное поле индукции В, равнаdF = I [dl B ] .(9.1)Сила, действующая на точечный диполь с магнитным моментом pm во внешнем поле B ([2], §56)∂B ∂B ∂B + pmzF = (p m ∇)B = ∇(p m B) = pmx + pmy.∂x ∂y ∂z (9.2)Момент сил, действующий на магнитный диполь в поле BM = [p m B] .Энергия магнитного диполя во внешнем поле ВW = − ( p m B) .(9.3)(9.4)Энергия магнитного поля, создаваемого линейным контуром с индуктивностью L и током I1 2 1LI = IΦ .(9.5)22где Ф – магнитный поток через контур.Энергия магнитного поля, создаваемого двумя контурами стоками I1 и I2W=11L1 I12 + L2 I 22 + L12 I1 I 2 ,(9.6)22где L1 – индуктивность первого контура, L2 – индуктивность второго контура, L12 – коэффициент их взаимной индукции.
Энергия неявляется аддитивной величиной, так как в выражении для энергииприсутствует слагаемое L12 I1 I 2 – энергия взаимодействия контуров.W12 =Механическая работа при бесконечно малом изменении конфигурации системы проводников с токами в магнитном поле273Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатикеδAстор = ∑ I i dΦi = dW + δA ,(9.7)iгде δAстор = ∑ I i dΦi – приращение работы сторонних сил (ЭДС исiточников тока), совершаемая против ЭДС электромагнитной индукции в i-контуре, dW – изменение магнитной энергии системы иδA – механическая работа пондеромоторных сил при бесконечномалом изменении конфигурации системы.Для двух частных случаев, когда либо 1) не изменяется магнитный поток через проводники системы (Фi = const), либо 2) постоянен ток, текущий в проводниках (Ii = const), выражение (9.7)соответственно, сводится к следующим: ([1], § 47)δA = −δW Φ =const .(9.8)δA = + δW(9.8′)iI i = const.(сравните с аналогичными соотношениями для электростатического поля (5.6) и (5.8)).
В первом случае механическая работа совершается за счет убыли магнитной энергии системы. Во втором случае механическая работа и сопутствующее ей и равное по величиневозрастание энергии магнитного поля происходит за счет работыисточников ЭДС, поддерживающих постоянство силы тока.Соотношения (9.8), (9.8′) удобно использовать для нахожденияпондеромоторных сил. Разумеется, оба варианта описывают работуодной и той же силы, величина которой определяется только величиной и взаимным расположением протекающих токов и не зависитот выбранного варианта расчета.Объёмная плотность энергии магнитного поля в вакуумеw=B2.2µ 0(9.9)Энергия магнитного поля в вакуумеW = ∫ w dV = ∫VVB2dV ,2µ 0где V – область пространства, где существует магнитное поле.(9.10)274ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДавление, оказываемое на границу раздела двух областей,объемные плотности энергии магнитного поля в которых соответственно равны w1 и w2p = w1 − w2 .(9.11)Сила Лоренца – полная сила, действующая со стороны электромагнитного поля на движущийся со скоростью v зарядFл = qE + q[v B] .(9.12)В выражение для силы Лоренца входят два слагаемых, первоеиз которых описывает взаимодействие заряда q с электрическимполем, а второе – с магнитным.§ 9.2. Основные типы задач (классификация)9.1. Определение энергии магнитного поля и магнитных сил всистемах безграничных проводников с линейным, поверхностнымили объёмным током. Взаимодействие движущегося заряда с магнитным полем.9.2.
Определение энергии магнитного поля и магнитных сил,действующих на проводники с током, ограниченные в пространстве.9.3. Определение вращающего момента и сил, действующих напроводник с током и магнитный диполь во внешнем магнитном поле.§ 9.3. Методы решения и примеры решения задачДля решения задач этой главы необходимо хорошо владеть методами определения направления и величины индукции магнитногополя, создаваемого различными распределениями токов. Таким образом, базовыми оказываются задачи, рассмотренные ранее в главе 7 (магнитное поле стационарного тока в вакууме).
Так как силыи моменты сил являются векторными величинами, то особое внимание следует уделить качественному анализу задачи. При этом необходимо, прежде всего, определить симметрию предложеннойсистемы проводников, величину и направление векторов индукциимагнитных полей, которые создают отдельные части системы. Подчастями системы подразумеваются не только изолированные про-Гл. 9. Энергия и силы в магнитостатике275водники с током, но и отдельные части проводников, направлениетока в которых отличается от направления тока в остальных частях(изогнутый проводник).
Удобно одну из частей рассматривать, какобъект, создающий магнитное поле, действующее на остальныечасти системы. Дальнейшее решение основывается на использовании законов Ампера (9.1), силы Лоренца (9.12), а также соотношений (9.2), (9.3), (9.4).Задачи типа 9.1Определение энергии магнитного поля и магнитных сил в системахбезграничных проводников с линейным, поверхностным или объёмным током. Взаимодействие движущегося заряда с магнитнымполемМетоды решения. Базовыми для раздела являются задачи7.3.1, 7.3.7, 7.3.10 (глава 7). Начинать решение задач этого типаследует с анализа распределения магнитных полей системы впространстве (направление и симметрия).
Исходя из результатовтакого анализа, надо выбрать часть системы, которая создаётмагнитное поле. Этот выбор должен определяться простотой иудобством решения.Задача 9.3.1. Бесконечно длинный тонкий проводник с током Iизогнут в форме буквы П. Расстояние между длинными частямипровода равно l. Найти величину и направление силы Fl, действующей на единицу длины проводника в точке О, находящейся вцентре горизонтальной перемычки.РешениеПредположим, что ток течет в контуре по часовой стрелке (см.рис.
9.1). Тогда вектор магнитной индукции поля такой системы вокрестности точки О направлен от нас перпендикулярно плоскостирисунка. В соответствии с законом Ампера (9.1) на элемент токадлиной dl в окрестности точки О действует сила dF = I [dl × B] , направление которой указано на рис. 9.1.
Поэтому величина силы,действующей на единицу проводника в этой области, равнаdFFl == IB .dl276ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОпределим индукцию магнитного поля в точке О, используяметоды главы 7. Согласно принципу суперпозиции, результирующее поле В будет равно сумме полей В1 иВ2, которые создают в этой области пространства участки провода АА1 и СС1 (индукция магнитного поля, создаваемого участком АС на элементе провода dl в окрестности точки О, равна нулю). Из симметриизадачи следует, что величины магнитныхиндукций этих полей одинаковы (В1 = В2) иравны половине индукции поля, котороесоздал бы в точке О бесконечно длинныйпроводник с током, находящийся на расlРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
