Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Замкнем теперь контур 1 на источник тока с ЭДС оь В контуре начнет устанавливаться ток 4ь Рели бы ток 12 оставался постоянным, то в контуре 1 ь2 возникла бы дополнительно только ЭДС самоиндукции. Работа источника 62 против этой ЭДС и есть яычисленная нами в э 96 собственная энергия тока 1, равная 5212/2. Однако вследствие магнитной связи в контуре 2 возникнет еще ЭДС взаимной инлукпни— 1 учз <62/в1.
Чтобы сделать ток 42 постоянным, мы должны были бы включить в контур 2 компен- 1 сируюшую переменную ЭДС й~ е'2 = +5 М Рис. 445. К вычислению взаимной энергии двух токов Она совершила бы за время установления тока 12 определенную работу, которая возникает только потому, что между обоими контурами имеется магнитная связь. Работа ЭДС (хг и равна взаимной энергии обоих контуров. Отсюда получается, что увеличение взаимной энергии за время Ж дй . ЫИг22 = де~2 (Й = упз — гэйтс = 522гз Й~ Ф б(И 7 ТЕОРЕМА ЛАРМОРА (где тг = салаг), а полная взаимная энергия Ю~тг = Ьтгтг ~ т(тт = Ьтгтгтт. Мы получили формулу (99.2) дли случая произвольных контуров. Если бы мы предпштожили, что сначала имеется установившийся ток й и в присутствии этого тока создается ток тг, то в нашем мысленном опыте потребовалось бы включение в контур 1 компенсирующей переменной ЭДС йтг е'т т +бгт — г, т(т ' и мы получили бы Иттг = Ьгтгттг.
Но совершенная работа в обоих случаях должна быть одинакова, так как в результате мы получаем одно и то же магнитное поле, Отсюда следует, что У,тг = Т,гт. В учении о магнетизме часто пользуются представлением о постоянных магнитах. Примером постоянного магнита может служить намагниченный кусок стали. Абсолютно жестким постоянным магнитом называют такое намагниченное тело, которое создает неизменное магнитное поле, не зависящее от воздействия других окружающих магнитов или токов. Легко видеть, что взаимная энергия абсолютно жесткого магнита и контура с током равна нулю. Действительно, если в контуре в присутствии магнита устанавливается ток, то никакого ицпукционного воздействия контура на магнит не будет. Поэтому магнитное поле, создаваемое магнитом, будет оставаться неизменным и не потребуется включения компенсирующей переменной ЭДС, работа которой и представляет взаимную энергию.
7. Теорема Лармора (к 8 115) Рассмотрим доказательство теоремы Лармора. Пусть в отсутствие магнитного поля на заряженную частицу действует центральная сила Р(г). Тогда уравнение движения частицы есть т г У(г)' Н г (1) Предположим теперь, что мы включили внешнее ма~нитное поле с инлукцией В и ввели новую систему координат, которая равномерно вращается с угловой скоростью й, параллельной направлению В. Уравнение движения частицы изменится. На нее, во-первых, будет действовать бвагодаря магнитному полю сила (з 88) Р = 9[чВ).
Во-вторых, во вращающейся системе координат мы должны ввести еще дополнительные силы инерции, а именно силу Кориолиса Ек = 2тп[ъ й[ и центробежную силу Для достаточно малого Й центробежной силой (пропорциональной Й') можно пренебречь по сравнению с силой Корнолиса (пропорциональной й).
Так как по условию В и й параллельны, то при должном выборе величины й можно сумму Е+ Гк сделать равной нулю. Это будет, если доВзш(ч,В) + 2тлейшп(ът, В) = О, й = — дВ/2тл. 604 ГЛ. ХХ1У ДОБАВЛЕНИЯ Таким образом, в рассматриваемой вращающейся системе координат уравнение движения частицы будет иметь прежний вид (1), а следовательно, действие магнитного поля в первом приближении (пока можно пренебречь центробежной силой) сводится к наложению дополнительного равномерного вращения с угловой скоростью й.
Если движущаяся частица есть электров, то д = — е, и мы получаем формулу (115.2). 8. Закон Богуславского — Лэнгмюри (к й 157) Рассмотрим вывод закона Богуславского — Лэнгмюра для случая плоского диода. Распределение потенциала между катодом и анодом при наличии пространственного заряда можно найти из уравнения Пуассона (Э 26) а~У р пе (1) Нх2 со ео Здесь У вЂ” значение потенциала в произвольной точке на расстоянии х от катода, р — объемная плотность пространственного заряда в той же точке, и — концентрация электронов, е — абсолютное значение заряда электрона, ео — электрическая постоянная. Далее, плотность тока 1 через диод равна (2) где о — скорость электрона.
Наконец, скорость электронов о в любой точке определяется значением потенциала У в этой точке. Действительно, так как в диоде имеется высокий вакуум, то электроны движутся без соударений, и поэтому их кинетическая энергия равна работе сил поля. Если начальная скорость электронов мала по сравнению со скоростью, приобретаемой под действием поля, то ею можно пренебречь, и тогда 2 — =еГ 2 (3) Исключая из этих трех уравнений концентрацию и и скорость х, мы приходим к следующему уравнению, определяющему распределение потенциала: (4) — =аУ Их~ где введено обозначение у' а= ео А/2е/тп Так как мы отсчитываем потенциалы от потенциала катода, то И=О прн х=О.
(5) Это условие представляет собой первое граничное условие задачи. Чтобы сформулировать второе граничное условие, будем считать, что во всем интервале изменения потенциала ток ограничивается только пространственным зарядом, т.е. что эмиссионная способность катода бесконечно велика.
Чтобы при этом условии плотность тока через диод была конечной, нужно, чтобы напряженность поля — НУ/4х у катода была бесконечно малой. Это дает второе граничное условие в виде — = О ири х = О. (6) Ых 19 Э. УСТОВЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРИЧВСКИХ РАЗРЯДОВ 605 Решение уравнения (4), удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид У = ох, (7) где а и ~3 — постоянные, Значения а и Зу можно определить, подставляя выражение (7) в уравнение (4).
Это дает а,у()з — 1)х = аа ~ х Приравнивая между собой показатели степени и коэффициенты в обеих частях равенства, находим ,6 = 4/3, о = (9а/4)ззз. Таким образом, распределение потенциала выражается формулой У = (9а/4) 1 х 7 . (8) При значении х = и потенциал равен потенциалу анода Уь. Поэтому У вЂ” (9а/4)з(з4'~з (9) 4 зо /2е згз / = — — з/ — У„ 94з (/т (10) что совпадает с формулами (157.1) и (157.2), приведенными в тексте. 9. Устойчивость электрических разрядов (к 9 176, 213) Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис.
446 а, содержащую источник постоянной ЭДС Ф, нагрузочное сопротивление г (включающее и внутреннее сопротивление источника), емкость С, индуктивность Е -о Рис. 446. К вопросу устойчивости электрических зарядов и проводник й с нелинейной вольт-амперной характеристикой У = /(з). Выберем положительные направления токов так, как показано на рисунке, и применим к нашей цепи правила Кирхгофа. Тогда для контура ВСг1!: получаем г1= — и+К, Подставляя и это выражение вместо а его значение и разрешая полученное уравнение относительно плотности тока у,находим окончательно 606 гл.
ххгп ДОБАВЛЕНИЯ где к — напряжение на коцденсаторе, а лля контура С.йЬС й /(4) = и — Ь вЂ”. Ж Кроме того, имеем 1+1с = 1, и = д/С, (с = — г)ц/г)1, где д — мгновенное значение заряда конденсатора. Исключая из написанных уравнений / и (с, получаем два дифференциальных уравнения первого порядка относительно г и в: п1 . пи Ь вЂ” = и — /(1), гС вЂ” = Й вЂ” г( — и. 41 ' ~Ы (1) Эти уравнения нелинейны, так как для проводников, не подчиняющихся закону Ома, функция /(4) нелинейна. В стационарном состоянии разряда 41/Ж = 4и/М = О, и поэтому стационарные значения тока (о и напряжения ио определяются соотношениями ио =- /(зо), ио — Ж вЂ” гзо, (2) которые мы уже получили и обсудили в 3 176.
Чтобы выяснить, является ли данное состояние разряда устойчивым, поступим в соответствии с общим методом исследования устойчивости движений, разработанным Ляпуновым, а именно, предположим, что стацио. парные значения тока и напряжения изменились на малые величины х и у так, что 1 =1о+х, и = па+ у Далее, для малых изменений тока и напряжения малый участок вольтамперной характеристики можно заменить отрезком прямой линии и положить /(1) = /((о) + 17,х, где Я, — дифференциальное сопротивление проводника в рассматриваемой точке характеристики.
Подставляя это в уравнения (1) и принимая во внимание условия стационарности (2), мы получаем для х и у два линейных уравнения: 4х В„ 1 йу 1 1 — = — — х+ — у, — = — — х — — у, (3) 41 Ь й ' й С гС которые допускают уже простое исследование. Исключая из уравнений (3) переменную у, получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка о~х Ых — + 2а — +ыох = О, Иэ 41 (4) где Л, 1, 1 / Л1 2а = — + — ыо = — (1+ — (. 7, С' ЬС(, г/ Такое же точно уравнение получается и для у.
С уравнением (4) мы уже встречались в 3 210 при исследовании собственных электрических колебаний. Мы видели, что при мои > аз оно описывает затухающие колебания с коэффициентом затухания а. При ыо ( а получается апериодический 3 2 процесс х = А~с Ы +Аэе (6) 19 9. УОТОЙЧИВООТЬ ВЛВКТРИЧВОКИХ РАЗРЯДОВ 607 где г > Щ, Ь > (В,(гС, (9) которые и есть условия устойчивости разряда. Если и схему рис. 446 а включена электрическая луга (или другой проводник с характеристикой В-типа), то первое из условий (9), как мы знаем (9 176), означает, что при любом значении ЭДС Ю имеется только одно стационарное состояние разряда, а следовательно,не будет скачков тока. Если цепь содержит еще достаточно большую индуктивность, так что выполняется и второе условие (9), то все состояния разряда будут устойчивы, и мы сумеем получить на опыте всю вольт-амперную характеристику.
Напротив, для получения незатухающих колебаний (9 213) необходимо, чтобы при данных ЭДС с. и параметрах схемы существовало тоже только одно ствлионарвое состояние, однако это состояние должно быть неустойчивым. Поэтому при выполнении первого из условий (9) и нарушения второго условия (9) цепь рис. 446 о, содержащая электрическую дугу, будет само- возбуждаться и в ней установятся незатухающие колебания. Условия устойчивости разряда зависят, конечно, от типа схемы, в которую входит проводник с отрицательным дифференциальным сопротивлением.
Поэтому в качестве второго практически интересного примера мы рассмотрим еще схему, показанную на рис. 446 б, в которой В есть нелинейный проводник с характеристикой )У-типа, например туннельный диод (9 203). Применяя к этой схеме правила Кирхгофа, мы получим два дифференциальных уравнения первого порядка 61 1,— =й — г1 — и, й 6и С вЂ” =1 — г, 01 (10) где ток г через диод связан с наяряжснием и и на диоде заданным уравнением вольт-амперной характеристики г = у(и). Поступая дальше в точности так же, как и в первом примере, легко найти, что условия устойчивости разряда для схемы рис.
446 б имеют вид г с )В,), Ь с )В,) гС. йг = а+ /аг — ггг йг = а — ~/агыг (7) Чтобы случайные отклонения х и 9 затухали с течением времени, т.е. чтобы состояние разряда было устойчивым, очевидно, необходимо, чтобы либо было а > 0 (если ыо > аг), либо йг и йг были оба положительны (если шэ < аг). Если же хотя бы одна из величин, йг или йг, будет отрицательна, то случайные изменения тока и навряжения будут нарастать с течением времени и состояние разряда будет неустойчивым. Если В; > О, то все величины в (5) положительны и а > О, гге > О. При этом а > ~/а~ — ыог и, следовательно, й1 и йг всегда положительны. Отсюда видно, что в проводниках с положительным дифференциальным сопротивлением стационарные состояния разряда всегда устойчивы. Положим теперь, что дифференциальное сопротивление В, < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
