Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Это значит, что мгновенное значение силы тока э' одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять законы Кирхгофа. Условимся считать заряд конден- сатора д положительным, если знаРнс. 359 к нынолу уровне. ки зарядов на обкладках совпадают с ннн электрических холеба- показанными на рис. 359, а силу тоний н контуре с сосрелото- ка -- положительной, если ток направченныын востонннымн лен против часовой стрелки.
Согласно угАвнвнив оовотввнных элв«тгичвских колввАний 491 (209.1) г2' — 11с = -Ь Й/пг. Далее, напряжение на конденсаторе равно Ус = д/С, (209.2) а сила тока связана с зарядом конденсатора соотношением 1 = — с19/сй. (209.3) Знак минус в последнем соотношении стоит потому, что выбранное положительное направление 1 соответствует уменьшению (положнтельного) заряда конденсатора.
Из этих трех уравнений можно исключить две из трех величин д, 1, У и получить дифференциальное уравнение, связывающее лишь одну из них и время 1. Подставляя, например, выражения (209.2) и (209.3) в (209.1), находим уравнение для заряда конденсатора в виде Ь вЂ” +г — + — =О.
4ч 4Д Ч И2 И С Разделим обе части этого уравнения на 1. и введем следующие обозначения: 1 2 ь~о ЬС вЂ” =а, (209.4) Тогда окончательно имеем — + 2а — +иод = О. ИЧ 47 2 сИ2 сИ (209.5) Мы получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Такое же точно уравнение мы получили бы для напряжения У и для силы тока г. Отметим, что колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются лииебвымп колебаниями, а соответствующие колебательные системы — лпиейнььии сисп2емамв. Для того чтобы задача была определенной, необходимо еще задать начальные условия, которых, как известно, для уравнения второго порядка должно быть два.
Положим, что мы начинаем отсчет времени с момента замыкания контура и обозначим начальную величину заряда конденсатора через до. Так как в начальный момент сила тока равна нулю, то начальные условия задачи таковы: (209.6) второму закону Кирхгофа сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС. В нашем случае имеются два падения напряжения: на сопротивлении г, равное гг', и на конденсаторе Ус, которое противоположно по знаку падению г1.
Кроме того, имеется ЭДС самоиндукции, равная — Лй/Ж. Поэтому 492 сОвственные электрические кОлеБАния Гл хх Положим сначала, что сопротивление контура т = О. Тогда уравнение колебаний (209.5) принимает более простой вид (209.7) Общее решение этого уравнения есть гармоническое колебание д = А соз (ыо4 + <р), (209.8) где постоянные А и со (амплитуда и начальная фаза) могут иметь произвольные значения. В справедливости этого можно убедиться, подставляя написанное решение в (209.7). Следовательно, мы имеем гармоническое колебание с частотой ыо = = /Т/ЬС. Этот результат мы уже получили в 8 207 при помощи менее строгих рассуждений.
Постоянные А и ~р определяются начальными условиями (209.6). Подставляя решение (209.8) в (209.6), имеем А соз со = до, Асио зш со = О. Это дает <р=О, А=до после чего решение (209.8) принимает следующий окончательный внд: о = до соз ыо4. (209.9) Графическое изображение этого решения есть косинусоида, показанная на рис. 358 а. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону: Ус = д/С = Уо соз ыо4, где Уо = до/С есть амплитуда напряжения, равная начальному напряжению на конденсаторе. Сила тока в контуре равна з = -Й3(с(4 = боыо з1п ыот = 4о зшсоос, где бо = обозе — амплитуда тока. Сила тока, также как и заряд, изменяется по гармоническому закону; однако если заряд изменяется по закону косинуса, то сила то- Ч ка — по закону сину! са. Так как зшыос' соз (озо4 — я/2), то о это значнт, что межт 2т ду колебаниями заряда и силы тока существует разность фаз я/2, причем колебания Рис.
Збб. Крииыеколебанийзарядакоцденса- силы тока отстают по тора и силы тока без затуханий фазе (рис. 360). 493 1 210 КОЛЕВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАТУХАНИЯ 9 210. Колебания при наличии затухания Рассмотрим теперь реальный контур, сопротивление которого не равно нул1о. В этом случае колебания описываются полным дифференциальным уравнением (209.5). Его решение имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэЧ1фнциентами. Положим сначала, что 2 ~ 2 а Тогда решение есть д = Ае в' соэ (юг + <р).
(210.2) Здесь А и у — по-прежнему постоянные, значения которых определяются начальными условиями, величина же 1э равна ,„2 ог (210.3) В том, что (210.2) совместно с (210.3) действительно является решением уравнения (209.5), проще всего убедиться, подставляя (210.2) в (209.5).
Полученное решение есть аналитическое выражение кривых затухающих колебаний б н в рис. 358. Кривая в соответствует большему значению коэффициента о. С теми оговорками, которые были сделаны в 3 208, формулу (210.2) можно истолковать как гармоническое колебание с круговой частотой ы и с ампли- тудой или 28(ю$+ ф) = -О/ю. Пусть 4 = 21 есть какое-либо решение этого его решениями будут также ..., 41 — 2Т, 21-Т, 21+Т, 41 — (3/2)Т, 21 — (1/2)Т, 41 + (1/2)Т) где уравнения. Тогда 11+ 2Т,... 21 + (3/2)Т, (210.4) Т = 2я/ы.
у=Ае а, которая не остается постоянной, а непрерывно уменьп1ается с течением времени. Показатель а называется коэ4фициенпгом заП1 ухания колебаний. Исследуем подробнее решение (210.2) и найдем прежде всего те моменты времени, в которые заряд д достигает максимумов и минимумов. Для этого, согласно правилу нахождения экстремумов, продифференцируем (210.2) и приравняем первую производную нулю: — ~ = -Аое 1соз(ы~+ <р) — Аые 1э1п(ы4+ ~р) = О, 494 СОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. ХХ Легко убедиться, что если при 1 = 41 мы имеем максимум 9, то все значения 4, стоящие в верхней строчке, соответствуют также максимуму (7Рд/дС~ < О), а все значения нижней строч- ки — минимуму д.
Таким образом, хотя затухающие колебания не являются периодическим процессом в строгом смысле слова, этот процесс обладает все же определенной повторяемостью в том смысле, что максимальные и минимальные значения заря- да (а также тока и напряжения) достигаются через одинаковые промежутки времени Т. То же относится и к значениям заря- да (силы тока и напряжения), равным нулю. Этот промежуток времени Т мы и называем периодом затухающих колебаний, Пусть д„и д„+1 — максимальные значения заряда конден- сатора (см.
рис. 358 б) в двух последовательных максимумах с номерами п н (и+ 1). Они достигаются в моменты времени ~„и 4„1.1, причем ~„+1 = 4„+ Т. Согласно (210.2) и (210.4) имеем д„= Аехр ( — аг„) сов(ьл„+ 97), 9„.1.1 = А ехр [ — а(1„+ Т)] сов [ь7(Ф„+ 2я/ь7) + ~р] = = А ехр [ — а(7„+ Т)] сов (ь7г„+ ~р). Деля почленно оба эти равенства, находим ьг я./.+1=в '. Мы видим, что отношение двух последовательных максималь- ных значений заряда не зависит от номера максимумов. Вве- денный нами в 9 208 логарифмический декремент затухания 6, следовательно, имеет значение 5 = 1 (д„/9„+ ) = От; (210.
5) ов равен произведению коэффициента затухания на период ко- лебаний. Логарифмический декремент затухания б можно определить еще иначе. Обозначим через 1~ время, в течение которого ампли- туда колебаний уменьшается в е раз. Тогда е "" =1/е, а, следовательно, ОФ1 = 1. Деля почленно (210.5) на полученное соотношение, имеем Т/11 = 1/У = 6.
Здесь Д1 — число полных колебаний, происходящих за время 41. Таким образом, логарифмический декремент есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики затухания колебательных контуров часто пользуются (особенно в радиотехнике) еще другой величиной, называемой добротностью контура и обозначаемой обычно Я. 495 КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАТУХАНИЯ 1 210 Она связана с логарифмическим декрементом соотнопгением Ц = я/б.
(210.6) Так как б = 1/г'г', то с/ = ягч. (210.6а) Добротность контура есть умноженное на я число полных колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е рэз. Добротность контура, следовательно, тем выше, чем меньше затухание колебаний в нем. Формула (210.3) показывает,что частота электрических колебаний ш зависит от коэффициента затухания а и не равна частоте колебаний ыо того же контура при сопротивлении г = = 0 (О = 0). С увеличением сопротивления контура частота со уменьшается, а период колебаний Т увеличивается. Предположим теперь, что сопротивление контура велико, так что 2 2 о Тогда частота и, выражаемая формулой (210.3), будет мнимой. Это значит, что решение (210.2) уже несправедливо, а, следовательно электрических колебаний в контуре не будет.
В таком случае решение основного уравнения (209,5) имеет вид и = А1 ехр ( — 1с1 1) + Аг ехр ( — 1сгг), (210.7) где ~1 = сг + с" ыо Йг = сг — 1/ с" ого а А1 и Аг — произвольные постоянные. Подставляя (210.7) в (209.5), можно убедиться, что уравнение при этом удовлетворяется тождественно, а, следовательно, (210.7) есть действительно искомое решение.
Так как ыо < сг, то й1 и кг вещественны и по- 2 2 ложительны. Значения постоянных А1 и Аг определяются начальными условиями задачи. Если таковыми являются условия (209.6), то 9!с=о = А1 + Аг = 9о, для/й~с=о = — А1А1 — Агкг = О. Это дает А1 = -9О1Сг/(1с1 — Кг), 4г = 9О1С1/(К1 — Кг), после чего решение (210.7) принимает вид д = ~' (Й1 ехр ( — А21) — Iсг ехр ( — 111)). й1 — Йг Если сопРотивление контУРа очень велико, так что сгг » ыог, то Й1 » Йг, и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе — Йг по сравнению с Й1. Тогда д = до ехр ( — йг8) Этот случай соответствует рис.
358 е. 496 СОБСТВЕННЫВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИВ КОЛЕБАНИЯ гл. хх Из сказанного видно, что для возникновения электрических колебаний необходимо, чтобы выполнялось условие (210.1). Подставляя вместо а и шо их значения (200.4), находим это условие в виде 1 т~ ~Š— > —, г(2у — н кн. ЬС 41 ' ~/С (210.8) 9 211. Поддержание колебаний. Искровой контур Всякий реальный колебательный контур обладает всегда некоторым сопротивлением. Поэтому возникшие в нем электрические колебания затухают и через некоторое время, зависящее от добротности контура, прекращаются совсем. Но для технического использования электрических колебаний необходимо, чтобы они существовали как можно дольше, а для этого необходимо их поддерживать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
