Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если мы поместим себя на положительную сторону некоторой поверхности, то положительное направление вдоль ограничивающей эту поверхность кривой окажется противоположным движению стрелок часов, циферблат которых обращен к нам. Это и есть та самая правая (правосторонняя) система отсчета, которая принята Томсоном и Татом в их книге «Натуральная философия» (гг1аГига1 РЫоязр)гу), а также в книге Тэта «Кватернионыз Яиа1егп(опэ).
Противоположная ей левая (левосторонняя) система отсчета принята в гамильтоновых «Кватернионах» (Ьесгигт, р. 76, апг( Е(етеп1з, р. 108, апг) р. 117 по1е). Операция перехода от одной системы к другой названа Листингом Перверсией — обращением, зеркальным отражением. Отражение какого-либо предмета в зеркале является его обращенным изображением. Используя Декартовы оси координат х, у, г, мы будем изображать их так, чтобы общепринятая договоренность о циклическом порядке расположения символов приводила к правой системе отсчета направлений в пространстве.
Так, если ось х проведена смотрящей на восток, а ось у — на север, то ось г должна быть проведена вертикально вверх. ге Совместное действие мышц руки, когда мы, поворачивая тыльной стороной правую ладонь наружу, одновременно проталкиваем руку вперед, оставляет в памяти более прочный отпечаток характера правовнитового движения, чем какое-либо словесное определение. Обычно употребляемый пробочиый штопор тоже может служить материальным образом этих же самых соотношений. Профессор У. Х. Миллер (йГ. Н. М!11ег) подсказал мие, что усики у виноградной лозы закручиваются по правому винту, а у хмеля — по левому; таким образом, системы соотношений в пространстве могли бы быть названы соответственно системой виноградных соотио. шений и хмелевых соотношений.
Принимаемая нами виноградная система — это система Линнея (1.1ппаеиз); ею польауются изготовители винтов во всех цивилизованных странах, кроме Японии. Де Каидолле был первым, назвавшим хмелевую лозу правосторонней, в этом ему последовали Листинг и большинство авторов, писавших о круговой поляризации света. Винты, подобные усикам хмелевой лозы, применяются для сцепления железнодорожных вагонов, а также для прикрепления колес с левой стороны обычных экипажей, н онн всегда называются левымн винтами всеми, кто ими пользуется.
бо Згевтричество я магнетизм ж' вх ах ву Тогда поверхностный интеграл от х), взятый по поверхности 3, равен линейному интегралу от е(, взятому вдоль кривой з. Очевидно, что сами составляющие $, Ч, ь удовлетворяют условию соленоидальности. Пусть (, т, и будут направляющими косинусами нормали к элементу поверхности йЯ, отсчитываемой в положительном направлении. Тогда величина поверхностного интеграла от В может быть записана так: 11(Н+ Ч+пРЫ (2) Для того чтобы придать элементу Н определенный смысл, предположим, что в каждой точке поверхности значения координат х, у, г заданы как функции двух независимых переменных а и р.
Если р постоянна, а а изменяется, точка (х, у, г) будет описывать некоторую кривую на поверхности, и если перебрать целый ряд значений (), то будет прочерчена серия таких кривых, полностью лежащих на поверхности Б. Подобным же образом, перебирая последовательность постоянных а, можно нанести вторую серию кривых, пересекающихся с кривыми первой серии и разделяющих всю поверхность на элементарные участки, любой из которых может быть взят за элемент йЯ.
Площади поверхностей будут браться с положительным знаком в том случае, когда порядок интегрирования совпадает с циклическим порядком расстановки символов. Так, площадь на плоскости ху, расположенная внутри некоторой замкнутой кривой, может быть записана либо )хйу, либо — )у с(х; в первом выражении порядок интегрирования есть х, у, во втором — у, х. Это соотношение между двумя произведениями йх йу и йу ах можно сравнить с правилом умножения двух перпендикулярных векторов в теории кватернионов, где знак произведения определяется порядком умножения; его можно сравнить также с изменением знака детерминанта, происходящим при перестановке местами соседних строчек или столбцов.
По таким же причинам объемный интеграл должен считаться положительным, когда порядок интегрирования совпадает с циклической расстановкой переменных х, у, г, и отрицательным при обращенном порядке цикличности. Перейдем теперь к доказательству теоремы, полезной для установления связи между поверхностным интегралом, взятым по некоторой конечной поверхности, и линейным интегралом, взятым вдоль ее границы. 24. Т е о р е м а (Ч. Линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой, может быть выражен через поверхностный инп|еграл, взятый по поверхности, ограниченной этой кривой. Пусть Х, У, г будут составляющие той векторной величины Й, линейный интеграл от которой должен быть взят по замкнутой кривой з. Пусть произвольная непрерывная поверхность Я целиком ограничена замкнутой кривой з, а составляющие $, т), ь другой векторной величины В связаны с составляющими Х, У', Я уравнениями Вд В'г ВХ Вд — — — э) = — — —, ее а2 аг вх ()) Преаварительиая глава.
Об ивмереиии величии (4) ()О) Проекция этого элемента на плоскость уг, согласно обычным формулам, равна 1гБ= ( — — — — — ) ф~а. т лу лг лу аг ~ (, лгг лр ай лег,) (3) Выражения для тгБ и лгЮ получаются отсюда путем перестановки х, у, и в циклическом порядке. Поверхностный интеграл, который мы должны найти, есть И(1в+тг1+Юж, или, выражая $, г), ь через Х, У, У, ') (т — и — +л — — 1 — +1 — — т — )Ю.
(5) ах ах л л ад ы т лг лу лх лг лу лх Часть этого интеграла, зависящая от Х, может быть записана так: дХ Их Ых Последобавления и вычитания величины — — — это выражение становится йх лгг ф таким: Д ( лх ( ИХ лх + лХ лу + лХ Иг ) Их ( йХ лх + йХ Иу + лл лг ') ~ (р 1 Предположим теперь, что кривые постоянных а образуют семейство замкну- тых кривых, окружающих некоторую точку на поверхности, в которой а прини- мает свое минимальное значение, равное а„ пусть последняя кривая этого семей- ства, для которой се=а„ совпадает с замкнутой кривой з.
Предположим также, что кривые постоянных р образуют семейство линий, проведенных от точки, где а=а,„до замкнутой кривой з, причем первая линия, соответствующая значению р„совпадает с последней линией р,. При интегрировании (8) по частям (первый член интегрируется по а, а вто- рой — по р) двойные интегралы взаимно уничтожаются и выражение принимает вид в р а, а, ') (Х вЂ” „) г(р — ~ '(Х вЂ” ) ф — ') (Х ~ ) Ыа+ ') (Х вЂ” ") ~а. (9) Рь йь а, аь Так как точка (а, р,) совпадает с точкой (а, ~),), то третий и четвертый члены уничтожают друг друга, и поскольку в точке, где а=аг, существует только одно значение х, то второй член обращается в нуль и выражение сводится к первому члену.
Так как кривая а=а, совпадает с замкнутой кривой з, мы можем написать это выражение в виде 53 Предварительиав глава. Об измерении величии ксторого суть Х, У, У. А сами эти теоремы могут быть записаны так: ) ) ~ о ьпйп= )) оаУ,йз ~ Яа йр =- — ~ ~ 5 7 оУч йз, (П1) (1Ч! где йп есть элемент объема, йз — элемент поверхности, йр — элемент кривой, Уч — единичный вектор в направлении нормали.
Для того чтобы понять смысл этих функций вектора, предположим, что и, есть значение о в точке Р, и будем изучать величину о — о, в окрестности Р. Если построить вокруг Р некоторую замкнутую поверхность, то при направленном Рис. 2 Рис 1 Рис. 3 внутрь поверхностном интеграле от о, взятом по этой поверхности, величина ЯЧо будет положительной и вектор а — о, около точки Р в целом будет направлен в сторону Р, как это показано на рис. 1. В связи с этим я предлагаю скалярную часть от до называть конвергенцией о в точке Р. Для интерпретации векторной части Ча предположим, что вектор, имеющий компоненты $, г), ь, направлен под прямым углом к плоскости листа вверх, и будем изучать вектор о — и, вблизи точки Р. При этом окажется (см.
рис. 2), что этот вектор в целом расположен тангенциально и направлен противоположно движению часовых стрелок. Я предлагаю (с большой неуверенностью, однако) называть векторную часть Ча ротацией (ротором) о в точке Р. На рис. 3 проиллюстрировано сочетание ротации и конвергенции. Рассмотрим теперь смысл уравнения ЧЧа=О. Это уравнение означает, что либо величина Чп является скаляром, либо вектор и есть пространственная вариация от некоторой скалярной функции Чг.
26. Одно из наиболее замечательных свойств оператора Ч состоит в том, что при повторном применении он превращается в оператор 54 Электричество и магнетизм который встречается во всех разделах Физики и который мы можем называть Оператором Лапласа. Сам по себе этот оператор существенно скалярный. Когда он действует на скалярную функцию, получается скаляр, а когда он действует на векторную функцию, получается вектор. Если провести небольшую сферу радиуса г с центром в то гке Р и считать, что д, есть значение величины д в ее центре, а д есть значение д среднее по всем точкам внутри сферы, то е е Чо — д = 1О г'р*ч, так что значение в центре либо превышает, либо слегка не достигает этого среднего значения в зависимости от того, является ли величина и'д положительной или отрицательной. я предлагаю поэтому называть величину тлд концентрацией (сгущением) д в точке Р, потому что она характеризует превышение величины д в этой точке над ее средним значением в окрестности данной точки.
Если д — скалярная функция, то метод отыскания ее среднего значения хорошо известен. Если же это векторная функция, то нам следует отыскивать ее среднее значение, руководствуясь правилами интегрирования векторных функций. В результате, конечно, получится вектор. ЧАСТЬ 1 ЭЛЕКТРОСТАТИКА ГЛАВА 1 ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ Электризация трением 27. Опыт ! '. Возьмем кусок стекла и кусок смолы, не обладающие каждый никакими электрическими свойствами, потрем их друг адруга и оставим натертые поверхности в контакте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
