Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Разрывность производных ат непрерывных функций Первые производные от непрерывной фуннции могут быть и разрывными. Пусть значения переменных, для которых происходит разрыв производных, связаны уравнением 1р=ф(х, у, г...)=0, а Р, и Р, выражены через ф и через (и — 1) остальных переменных, скажем, через (у, г...). Тогда при ф отрицательных следует брать Р„а при ф положительных Р„и так как при ф=0 функция,Р сама по себе непрерывна, то Р,=Р,. Следовательно, при значении ф, равном нулю, производные йР,/йф и йР,/йф могут быть различными, но производные по любой другой переменной, такие, как йР>/йу и йР,/йу, должны быть одинаковыми.

Разрывность, таним образом, ограничена только производными по ф, все же другие производные остаются непрерывными. Периодические и кратные функции 9. Если функция и от х такова, что ее значения при х, х+а, х+па одинаковы, как и при всех других значениях х, отличающихся на а, то и называется периодической функцией х, а а — ее периодом. Если же рассматривать х как функцию и, то для некоторого заданного значения и должен существовать бесконечный ряд значений х, отличающихся друг Пвалааригелаиаи глава. Об измерении величии от друга на величину, кратную а. В этом случае х называется кратной функцией и, а величина а — ее циклической постоянной.

Производная дк/ди имеет только конечное число значений, отвечающих данному значению и. 0 соотношении между физическими величинами и направлениями в пространстве 1О. Характеризуя разновидности физических величин, очень важно знать, как они зависят от направлений тех координатных осей, которые обычно используются для установления местоположения предметов. Введение Декартом координатных осей в геометрию было одним из величайших шагов в развитии математики, ибо это свело методы геометрии к расчетам, совершаемым над численными величинами. Положение точки сделалось зависящим от длин трех линий, проводимых всякий раз в определенных направлениях, а линия, соединяющая две точки, подобным же образом стала рассматриваться как результирующая трех линий.

Однако, в отличие от вычислений, для многих целей физического обоснования желательно избегать явного введения декартовых координат, сосредоточивая внимание сразу же на точке в пространстве, а не на трех ее координатах, или на величине и направлении силы, а не на трех ее составляющих. Такой подход к рассмотрению геометрических и физических величин является более простым и естественным, чем другой, координатный, хотя связанные с ним представления не получили полного развития до тех пор, пока Гамильтон не сделал следующего великого шага в обращении с пространством и не изобрел свое Кватернионное Исчисление.

Поскольку декартовы методы все еще остаются наиболее привычными для исследователей, занимающихся наукой, и онидействительно являются наиболее удобными при вычислениях, мы тоже будем выражать все наши результаты в декартовой форме. Я убежден, однако, что введение идей, извлеченных из кватернионных операций и методов, принесет нам огромную пользу при изучении всех разделов нашего курса, особенно электродинамики, где приходится иметь дело с рядом физических величин, соотношения между которыми можно существенно проще представить при помощи нескольких выражений по Гамильтону, чем через обычные уравнения. !1. Одной из наиболее важных особенностей метода Гамильтона является разделение величин на Скаляры и Векторы.

Скалярная величина допускает полное определение при помощи одной-единственной численной характеристики. Ее численное значение никоим образом не зависит от принятого нами направления координатных осей. Вектор, или Направленная величина, для своего определения требует трех численных характеристик, и проще всего они могут быть поняты как величины, отсчитываемые в направлениях координатных осей. Скалярные величины не включают в себя никаких направлений. Объем геометрической фигуры, масса и энергия материального тела, гидростатнческое давление в какой-либо точке жидкости, потенциал в какой-либо точке пространства— все это примеры скалярных величин. 2» Электричество и мвгиетилм Векторная величина имеет направление, а также модуль, причем обращение ее направления на противоположное изменяет ее знак.

Смещение точки, представляемое прямой линией, проведенной из ее начального положения в конечное, может быть взято в качестве типичной векторной величины, из которой в самом деле и было образовано название Вектор. Скорость тела, его импульс, сила, действующая на тело, электрический ток, намагниченность частицы железа — все зто примеры векторных величин.

Существуют и другого рода физические величины, которые хотя и связаны с направлениями в пространстве, но не являются векторами. Натяжения и деформация в твердых телах служат этому примерами, сюда же относятся некоторые свойства тел, изучаемые в теории упругости и теории двойного лучепреломления. Для определения величин этого класса требуется девять численных характеристик. На языке кватернионов они выражаются как линейные и векторные функции от вектора. Сложение одной векторной величины с другой, однотипной с ней, производится в ссютветствии с правилом сложения сил в статике. Действительно, доказательство, которое дает Пуассон для «параллелограмма сил», применимо к составлению любых величин, перевертывание (перестановка концов) которых равносильно обращению их знака.

В тех случаях, когда у нас появится желание обозначить векторную величину одним символом и привлечь внимание к тому факту, что она является вектором и что у нее необходимо рассматривать как направление, так и модуль, мы будем прибегать к заглавным готическим буквам, например Й, йт,...

В кватернионном исчислении положение точки в пространстве определяется вектором, проведенным в эту точку из некоторой фиксированной точки, называемой начальной точкой или началом координат. Если нам нужно изучать какую- либо физическую величину, значение которой зависит от положения точки, то оиа рассматривается как функция вектора, проведенного из начала координат. Сама эта функция может быть и скаляром, и вектором. Плотность тела, его температура, его гидростатическое давление, потенциал в точке — все это примеры скалярных функций.

Результирующая сила в точке, скорость жидкости в точке, скорость вращения элемента жидкости, а также момент пары сил, производящий вращение,— все это примеры векторных функций. !2. Физические векторные величины можно разделить на два класса: в одном из них величина определена относительно линии, в другом — относительно площади.

Так, например, результирующую силу притяжения можно измерить, отыскав работу, которую она произвела бы над телом при его перемещении на малое расстояние в направлении силы, и поделив ее на величину этого малого расстояния. Здесь сила притяжения определена относительно линии. С другой стороны, поток тепла в каком-либо направлении в какой-либо точке твердого тела может быть определен как количество тепла, которое проходит через маленькую площадку, проведенную перпендикулярно к данному направлению, деленное на величину этой площадки и на время.

Здесь поток определен относительно площадки. Существуют некоторые случаи, в которых одна и та же величина может быть измерена и относительно линии, и относительно площадки. Предварительная глава. Об измерении величин 37 Так, при рассмотрении смещений в упругих телах мы можем обратить внимание либо на начальное и фактическое положения частицы, и в этом случае ее смещение измеряется линией, проведенной из первого положения во второе; либо мы можем рассматривать маленькую фиксированную в пространстве площадку и определить, какое количество вещества проходит через эту площадку за время смещения. Точно так же можно исследовать и скорость жидкости, принимая во внимание либо действительную скорость отдельных ее частей, либо количество жидкости, протекающей через какую-либо фиксированную площадку.

Однако для применения первого метода в обоих этих случаях наряду со смещением или скоростью требуется независимо знать плотность тела; второй же метод должен применяться всякий раз при попытках построения молекулярной теории. В случае потока электричества в проводнике мы не знаем ничего ни о его плотности, ни о скорости, нам известна лишь та величина, которая в теории жидкости соответствовала бы произведению плотности на скорость. И поэтому во всех таких случаях следует применять более общий метод измерения потока через площадку. В науке об электричестве электродвижущая и магнитная напряженности принадлежат к величинам первого класса — они определены относительно линий. При желании отметить это обстоятельство мы можем, ссылаясь на них, именовать их Напряженностями (интенсивностями).

Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи принадлежат к величинам второго класса — они определены относительно площади. При желании отметить это обстоятельство мы будем, ссылаясь на них, именовать их Потоками. Можно считать, что каждая из этих напряженностей производит (или стремится произвести) соответствующий ей поток. Так, электродвижущая напряженность создает электрические токи в проводниках и стремится создать их в диэлектриках.

Она создает электрическую индукцию в диэлектриках, а возможно, и в проводниках тоже. В этом же смысле магнитная напряженность производит магнитную индукцию. 13. В одних случаях поток оказывается просто пропорциональным напряженности и совпадающим с ней по направлению, в других — мы можем только утверждать, что и его направление, и его величина являются функциями направления и величины напряженности. Случай, в котором составляющие потока представляют собой линейные функции составляющих напряженности, обсуждается в п. 297 главы «Уравнения Проводимости». Связь между напряженностью и потоком определяется, вообще говоря, девятью коэффициентами. Но иногда у нас есть основания полагать, что шесть из них образуют три пары равных между собой величин.

Тогда связь между линией, вдоль которой направлена напряженность, и плоскостью, нормальной к потоку, подобна связи между полудиаметром эллипсонда и сопряженной ему диаметральной плоскостью. На кватернионном языке в этом случае говорят, что один из векторов является линейной векторной функцией другого, а когда существует тРи попарно одинаковых коэффициента, то эту функцию называют само- сопряженной. Элевтрячество я магнетизм В случае магнитной индукции в железе поток (намагниченность железа) не является линейной функцией интенсивности намагничивания. Однако во всех случаях произведение напряженности (интенсивности) на поток, спроектированный на направление напряженности, приводит к важному научному результату. И это произведение всегда является скалярной величиной.

Характеристики

Список файлов книги