Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если этот разрыв происходит, скажем, между х, и х„то значение Х,— Х, окажется равным кф 1 "х,(х+ (Х Х) к, (6) Д ЯсовеНЯ=Я ( — „+ — „+ — „~) йхНубг+ ') ') (Х' — Х)йу~(г+ + Ц (У' — )') пг Ь+ Ц (2' — Я) диду, здесь в подынтегральном выражении следует рассматривать только конечные значения производной от Х. Таким образом, в этом случае полный поверхностный интеграл от Я по замкнутой поверхности будет представляться выражением Электричество и магнетизм или, если через 1', пг', и' обозначить направляющие косинусы нормали к поверх- ности разрыва, а через дЮ' — элемент этой поверхности, Д 1с соз е ЙЯ = Я ( — + — „+ — „) дх с(у йг+ +Ц(1 (Х Х)+т Р- — Ц+ (т — г)) (,9, где интегрирование в последнем члене производится по поверхности разрыва. Если в каждой точке, где Х, У, х, непрерывны, справедливо уравнение ЫХ оУ ох — + — + — =О, ох оу ох (9) а на каждой поверхности, где они разрывны,— 1'Х'+лг'У'+и'У'= 1'Х+и'У+и'Т, (10) то поверхностный интеграл по любой замкнутой поверхности равен нулю и про распределение векторной величины говорят, чтооно является Соленоидальным.
Мы будем ссылаться на уравнение (9) как на Общее условие соленоидальности, а на уравнение (10) — как на условие солеиоидальности на поверхности. 22. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение ах л а — -1- — + — = 0 ох оу ох выполнено в каждой точке внутри поверхности Б. Отсюда следует, что поверхностный интеграл по замкнутой поверхности равен нулю. Пусть теперь замкнутая поверхность Я состоит из трех частей Я„Я, и 5„ причем Я, — это поверхность произвольной формы, ограниченная замкнутой кривой 1.„а Зе — поверхность, образованная линиями, проведенными из каждой точки кривой Ь„всегда совпадающими по направлению с 1с. Если 1, лг, л— направляющие косинусы нормали в произвольной точке поверхности Яе, то мы имеем й соз е=Х1+Ут+Еа=О. (12) но мы знаем, что поэтому (14) (15) Следовательно, эта часть поверхности не дает никакого вклада в значение поверхностного интеграла.
Пусть Я, будет другой поверхностью произвольной формы, ограниченной замкнутой кривой ь„по которой она пересекается с поверхностью 5,. Обозначим через ()„Я„Ят поверхностные интегралы, взятые по поверхностям Ю„Я, и Я„а через 11 — поверхностный интеграл по замкнутой поверхности Я; тогда 1~= Я,+Яе~-1~а=О, (13) Прехварительявв глава. Об измерении величии иными словами, поверхностный интеграл по поверхности Я, равен по величине и противоположен по знаку поверхностному интегралу по Я, независимо от формы и расположения 5, при условии, что промежуточная поверхность бв является поверхностью, к которой направленная величина гг всегда тангенциальна. Если предположить, что Е, есть замкнутая кривая, ограничивающая небольшую площадь, то Юв окажется трубчатой поверхностью, обладающей тем свойством, что поверхностный интеграл по любому полному сечению этой трубки одинаков. Так как все пространство может быть разделено на такого рода трубки, то прв выполнении условия лх лг' ля — + — + — =О вх вр в'г (! б! распределение векторной величины, удовлетворяющей этому уравнению, назы- вается Соленоидальным Распределением.
О трубках и линиях тока Если пространство разделено на трубки таким образом, что поверхностный интеграл для каждой из них равен единице, то такие трубки называются единичными, а поверхностный интеграл по любой конечной поверхности 5, ограниченной некоторой замкнутой кривой Т., равен числу единичных трубок, проходящих сквозь Я в положительном направлении, или, что то же самое, числу единичных трубок, проходящих внутри замкнутой кривой Е. Следовательно, поверхностный интеграл по поверхности В зависит только от формы ее границй Ь, но не от формы самой поверхности в пределах той же ее границы. О нногограничных областях Если во всей области, ограниченной одной замкнутой поверхностью Я, выполнено условие соленоидальности ах, гг лх — -, '— + — =О, ах вр вг то поверхностный интеграл, взятый по любой замкнутой поверхности, проведенной внутри этой области, будет равен нулю„а поверхностный интеграл, взятый по ограниченной поверхности внутри этой области, будет зависеть только от формы той замкнутой кривой, которая образует границу этой поверхности.
В общем случае, однако, неправильно утверждать, что те же результаты сохраняются, если область, внутри которой удовлетворяется условие соленои" дальности, ограничена иначе, нежели одной поверхностью. Действительно, если она ограничена более чем одной непрерывной поверхностью, то одна из ннх является внешней, а остальные — внутренними„и область внутри поверхности 3 оказывается многограничной, содержащей внутри себя другие области, полностью охватываемые Я. Предположим, что условие соленоидальиости не удовлетворяется внутри одной из этих охватываемых областей, скажем, внутри области, ограниченной поверхностью В„и поверхностный интеграл по поверхности, охватывающей эту область,' Электричество н иагиетязм равен Я,=~~Ясозад5о пусть Я„Я„... являются соответствующими величинами для других областей, охватываемых поверхностями 5„5„....
Тогда, если внутри области 5 провести некоторую замкнутую поверхность 5', то значение поверхностного интеграла на ней будет равно нулю только в том случае, когда эта поверхность не содержит внутри себя ни одну из областей, охватываемых поверхностями 5„5„.... Если же она включает какие-то из них, то соответствующий поверхностный интеграл равен сумме поверхностных интегралов по поверхностям различных охватываемых областей, лежащих внутри 5'.
По этой же самой причине поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной замкнутой кривой, будет иметь одинаковое значение только для таких поверхностей (ограниченных той же замкнутой кривой), которые допускают совмещение с данной поверхностью путем непрерывного изменения поверхности в пределах области, охватываемой 5. Если нам предстоит работать с многограничной областью, то первым делом следует свести ее к однограннчной путем проведения линий Ь„Е„..., соединяющих внутренние поверхности 5„5„...
с внешней поверхностью 5. Каждая из этих линий при условии, что она соединяет поверхности, ранее не связанные непрерывным соединением, сокращает порядок перифрактичности на единицу, так что полное число линий, которые необходимо нанести для устранения многограиичностн, равно порядку перифрактичности, или числу внутренних поверхностей. При нанесении этих линий мы обязаны помнить, что любая линия, соединяющая ранее уже соединенные поверхности, не уменьшает перифрактичностн, а вводит цикличность. Когда эти линии проведены, можно утверждать, что при удовлетворении условия соленоидальности внутри 5 поверхностный интеграл, взятый по любой замкнутой поверхности, лежащей внутри 5, но не пересекающей ни одной из этих линий, равен нулю. Если же она пересекает какую-то линию, скажем, Лм один или нечетное число раз, то она охватывает поверхность 5„и соответствующий поверхностный интеграл равен Я,.
Наиболее знакомым примером многограничной области, где удовлетворяются условия соленоидальности, является область, окружающая массу, которая притягивает или отталкивает с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. В этом случае мы имеем Х=т —... где масса и предполагается расположенной в начале координат. В любой точке, где расстояние г конечно, ИХ ЫГ Ы вЂ” + — + — =О, ях йу Ыг но в начале координат эти величины становятся бесконечными. Для любой замкнутой поверхности, не содержащей внутри себя начала координат, поверхностный интеграл равен нулю.
Если же она содержит внутри начало координат, то поверхностный интеграл по ней равен 4 пгп. Если по какой-то причине мы захотим рассматривать область вокруг т не как многограничную, то тогда должны провести линию из т до бесконечности и при Предварительная глава. Об измерении величии взятии поверхностного интеграла помнить, что нужно прибавлять 4пт всякий раз, когда эта линия пересекает поверхность от ее отрицательной стороны к положительной. 0 правовинпшвегх и левовинпювых свогпноигениях в пространстве 23.
В настоящем трактате поступательное движение вдоль какой-либо оси и вращательное движение вокруг этой же оси будут считаться движениями одного и того же знака при условии, что их направления соответствуют направлениям поступательного перемещения и вращения обычного, т. е. правого винта ". Так, например, если принять действительное вращение Земли с запада на восток за положительное, то и направление земной оси с юга на север также будет взято за положительное; и если человек идет вперед в положительном направлении, то положительное вращение происходит в таком порядке: голова, правая рука, ноги, левая рука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
