Учебник - Оптика - Алешкевич В.А. (1238765), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ïîãëîùåíèå ìîæíî íå ó÷èòûâàòü,ïîñêîëüêó áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîëÿ òðåõ âîëí íåïîñðåäñòâåííî âáëèçè ãðàíèöû ðàçäåëà.Ïóñòü ãðàíèöà ðàçäåëà ñðåä 1 è 2 íàõîäèòñÿ â ïëîñêîñòè z = 0 (ðèñ. 17.1).Ïàäàþùèé ëó÷, ëåæàùèé â ïëîñêîñòè Oxz (ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ), ñîñòàâëÿåò óãîë Ji ñ íîðìàëüþ ê ãðàíèÐèñ. 17.1öå ðàçäåëà. Åãî íàïðàâëåíèå çàäàåòñÿ åäèíè÷íûì âåê203òîðîì ei. Îòðàæåííûé ëó÷ îðèåíòèðîâàí â íàïðàâëåíèè åäèíè÷íîãî âåêòîðà er,ñîñòàâëÿþùåãî óãîë Jr ñ íîðìàëüþ, à ïðåëîìëåííûé â íàïðàâëåíèè et ïîäóãëîì Jt ê íîðìàëè.Áóäåì ñ÷èòàòü ïàäàþùóþ âîëíó ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííîé.
Íàïðÿæåííîñòüåå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èìååò âèäé ær × ei ö ùE i = A i exp êi w ç t .L1 ÷ø úûë è(17.1)Âåêòîð Ai ñîñòàâëÿåò íåêîòîðûé óãîë ai ñ ïëîñêîñòüþ ïàäåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí ìîæåì çàïèñàòüé ær × er ö ùE r = A r exp êi w ç t ,L1 ÷ø úûë èé ær × et ö ùE t = A t exp êi w ç t .L 2 ÷ø úûë è(17.2) âûðàæåíèÿõ (17.1) è (17.2) L1 = c/n1, L2 = c/n2 ôàçîâûå ñêîðîñòè âîëíûâ ïåðâîé è âòîðîé ñðåäàõ.
Ïîëå â ïåðâîé ñðåäå åñòü ñóììà ïîëåé ïàäàþùåéè îòðàæåííîé âîëí, à âî âòîðîé ñðåäå îïðåäåëÿåòñÿ ïîëåì ëèøü îäíîé ïðåëîìëåííîé âîëíû:E1 = E i + E r ;E 2 = Et ;(17.3)H1 = Hi + H r ; H 2 = Ht .Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ òðåáóþò íåïðåðûâíîñòè òàíãåíöèàëüíûõ (ëåæàùèõâ ïëîñêîñòè Oxy) êîìïîíåíò:E1t = E 2 t ;H 1t = H 2 t .(17.4)Çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó óãëàìè Jr , Jt è çàäàííûì óãëîì ïàäåíèÿ Ji. Ñîîòíîøåíèÿ (17.4) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè àðãóìåíòû ôóíêöèé (17.1) è (17.2) îäèíàêîâû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè:t-r × eiL1=t-r × erL1=t-r × etL2,(17.5)ãäå r ëåæèò â ïëîñêîñòè Oxy.
Òîãäà e × r = et è (17.5) çàïèøåòñÿ â âèäåei tL1=er tL1=et tL2.(17.6)Î÷åâèäíî, ÷òî âñå òðè åäèíè÷íûõ âåêòîðà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè ïàäåíèÿOxz. Ïîñêîëüêó e i t = sin J i ; e r t = sin J r ; e t t = sin J t , ìîæíî çàïèñàòü äâà ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óãëàìè, îïðåäåëÿþùèå ñîäåðæàíèå äâóõ çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè: çàêîíà îòðàæåíèÿJi = Jr(17.7)Lsin J in= 1 = 2,sin J t L 2n1(17.8)è çàêîíà ïðåëîìëåíèÿïîëó÷èâøåãî íàçâàíèå çàêîíà Ñíåëëèóñà â ÷åñòü ãîëëàíäñêîãî ó÷åíîãî Â. Ñíåëëèóñà, îòêðûâøåãî ýòîò çàêîí ýêñïåðèìåíòàëüíî â 1621 ã. Çàêîí îòðàæåíèÿ ñâåòàáûë èçâåñòåí åùå äðåâíèì ãðåêàì, êîòîðûå óñïåøíî åãî ïðèìåíÿëè íà ïðàêòèêå.204ßðêèì ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîäòâåðæäåíèåì çàêîíà Ñíåëëèóñà ÿâëÿåòñÿâûïîëíåííûé È.
Íüþòîíîì ýêñïåðèìåíò ïî ðàçëîæåíèþ áåëîãî ñâåòà íà öâåòàñ ïîìîùüþ ñòåêëÿííîé ïðèçìû. Ðàçëîæåíèå áåëîãî ñâåòà â ñïåêòð ïîêàçàíîíà ðèñ. 17.1 öâ. âêë.Åñëè ñâåò ïàäàåò èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû â ìåíåå ïëîòíóþ (n1 > n2),òî óãîë Ji < Jt. Ïðè Jt = p/2 ïðåëîìëåííûé ëó÷ ñêîëüçèò âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà.Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè óãëå ïàäåíèÿ Ji = Jîòð, ïðè ýòîìsin J îòð =n2< 1.n1(17.9)Óãîë Jîòð íàçûâàåòñÿ óãëîì ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ. Ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ Ji ³ Jîòð, êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, èíòåíñèâíîñòü îòðàæåííîé âîëíûðàâíà èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåé.
Ïðåëîìëåííàÿ âîëíà ïðîíèêàåò â ìåíååïëîòíóþ ñðåäó íà íåáîëüøóþ ãëóáèíó ïîðÿäêà äëèíû ñâåòîâîé âîëíû.Ñ ïðåëîìëåíèåì è ïîëíûì âíóòðåííèì îòðàæåíèåì ñâÿçàíî ïîÿâëåíèåíà íåáîñêëîíå öâåòíîé ðàäóãè ïîñëå äîæäÿ. Ëó÷ áåëîãî ñîëíå÷íîãî ñâåòà, ïîïàäàÿâíóòðü äîæäåâîé êàïëè, âåäåò ñåáÿ äâîÿêî, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 17.2 öâ.âêë. Åñëè îí èñïûòûâàåò äâà ïðåëîìëåíèÿ è îäíî îòðàæåíèå âíóòðè êàïëè,òî ÷åëîâåê, íàõîäÿñü ñïèíîé ê ñîëíöó, óâèäèò ðàäóãó, êðàñíóþ ñâåðõó è ñèíþþ ñíèçó. Ýòà ðàäóãà íàçûâàåòñÿ ïåðâè÷íîé.
Åñëè ñâåò îòðàæàåòñÿ âíóòðèêàïëè äâà ðàçà, òî íàä ïåðâè÷íîé ïîÿâèòñÿ ìåíåå ÿðêàÿ âòîðè÷íàÿ ðàäóãà. Îíàíåñêîëüêî áîëüøå ïåðâè÷íîé è îòëè÷àåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ïîðÿäêîì ñëåäîâàíèÿ öâåòîâ.Ïðè ïàäåíèè ñâåòà â ñðåäó ñ n2 < 0 óãîë Jt < 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåëîìëåííûé ëó÷ áóäåò íàõîäèòüñÿ ïî îäíó ñòîðîíó îò íîðìàëè ñ ïàäàþùèì. Íà ðèñ.17.3öâ.
âêë. ñõåìàòè÷íî ïîêàçàí õîä ëó÷åé îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ÷åðåç ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïëàñòèíêó (ðèñ. 17.3, à öâ. âêë.) è ñëîé ìåòàìàòåðèàëà (ðèñ.17.3,á öâ.âêë.) ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñëîéôîðìèðóåò èçîáðàæåíèå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà. Ïðîñòåéøèé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû n = -1. Ðàññòîÿíèå ìåæäó èñòî÷íèêîì èåãî èçîáðàæåíèåì ðàâíî óäâîåííîé òîëùèíå ñëîÿ.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òîâ ýòîì ñëó÷àå âñå ïðîøåäøèå ëó÷è, êàêîé áû óãîë íå îáðàçîâûâàëè ïàäàþùèåëó÷è ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ìåòàìàòåðèàëà, ïåðåñåêóòñÿ â îäíîé òî÷êå.Ïîýòîìó òàêîé ñëîé íàçûâàþò ñóïåðëèíçîé. Îäíàêî â îòëè÷èå îò îáû÷íîéëèíçû îí íå ôîêóñèðóåò êîëëèìèðîâàííûé ïó÷îê ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.Ôîðìóëû Ôðåíåëÿ. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó àìïëèòóäàìè Ai, Ar è At ïîëó÷àþòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (17.4).
Êàæäîå èç ïîëåé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåâåêòîðíîé ñóììû ïàðàëëåëüíîé (ëåæàùåé â ïëîñêîñòèïàäåíèÿ Oxz) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé êîìïîíåíò:E = EP + E^; H = HP + H^.Âíà÷àëå ïîëîæèì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E = EP(ðèñ. 17.2).Î÷åâèäíî H = H^, ïîñêîëüêó âåêòîðû E, H è e îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ (ñì. (1.25) è (1.26)). Êðîìå òîãî, îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (1.27), êîòîðîåâ äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåe 0 eE =m 0 H èëè H = c e 0 nE .(17.10)Ðèñ.
17.2205Òîãäà óñëîâèå E1t = E2t ïðèìåò âèäE iP cos J i + E rP cos J r = E tP cos J t .(17.11)Âòîðîå óñëîâèå H1t = H2t îçíà÷àåò, ÷òî H i ^ + H r^ = H t ^ . Ñ ó÷åòîì (17.10) îíîïåðåïèøåòñÿ â âèäån1E iP - n1E rP = n2 E tP .(17.12)Ñîâìåñòíîå ðåøåíèå (17.11) è (17.12) ïðè ó÷åòå çàêîíà Ñíåëëèóñà (17.8)ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå äâå ôîðìóëû:rP =tP =E tPE iP=E rPE iPAtPAiP==ArPAiP=-tg(J i - J t );tg(J i + J t )2 sin J t cos J i.sin(J i + J t ) cos(J i - J t )(17.13)(17.14)Çäåñü rP è tP àìïëèòóäíûå êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ äëÿïàðàëëåëüíîé êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.Åñëè òåïåðü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èìååò äðóãóþ ïîëÿðèçàöèþ (E = E^; H = HP),òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò (17.11) è (17.12):E i ^ + E r^ = E t ^ ,(17.15)- n1E i ^ cos J i + n1E r^ cos J r = - n2 E t ^ cos J t .(17.16)Èç ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àþòñÿ äâå ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ r^ è t^:r^ =t^ =E r^E i^E t^E i^==Ar^Ai^At ^Ai^sin(J i - J t );sin(J i + J t )(17.17)2 sin J t cos J i.sin(J i + J t )(17.18)=-=Ôîðìóëû (17.13) (17.14) è (17.17) (17.18) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ôðåíåëÿ.Ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà âîçìîæíîñòü ñìåíû çíàêàó êîýôôèöèåíòà rP ïðè èçìåíåíèè óãëà ïàäåíèÿ. Åñëè rP > 0, òî îòðàæåííàÿâîëíà íàõîäèòñÿ â ôàçå ñ ïàäàþùåé (ñì. ðèñ. 17.2). Åñëè rP < 0, òî âåêòîð E rPäîëæåí áûòü íàïðàâëåí â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ñëåäîâàòåëüíî, îòðàæåííàÿâîëíà ïðèîáðåòàåò ïî îòíîøåíèþ ê ïàäàþùåé âîëíå ñêà÷îê ôàçû, ðàâíûé p.Ïðîàíàëèçèðóåì ïîäðîáíåå ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïóñòü âíà÷àëå ñâåò ïàäàåò èç îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé ñðåäû â îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíóþ: n1 < n2.Òîãäà Ji > Jt. Ïðè ìàëûõ óãëàõ ïàäåíèÿ, êîãäà Ji + Jt £ p/2, rP < 0 è r^ < 0.Ïîýòîìó îáå îòðàæåííûå âîëíû íàõîäÿòñÿ â ïðîòèâîôàçå ñ ïàäàþùåé. Ýòîòñêà÷îê ôàçû ó÷èòûâàëñÿ ðàíåå ïðè âû÷èñëåíèè îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäàâ èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìå ñ êîëüöàìè Íüþòîíà, êîãäà ïðîèñõîäèëî îòðàæåíèå îò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè.Ïðè Ji + Jt = p/2 rP = 0, è îäíà èç êîìïîíåíò íå îòðàæàåòñÿ.
Ñîîòâåòñòâóþùèé óãîë ïàäåíèÿ Ji = JÁ íàçûâàåòñÿ óãëîì Áðþñòåðà â ÷åñòü øîòëàíäñêîãîôèçèêà Ä. Áðþñòåðà, îòêðûâøåãî (1915) ñâÿçü ìåæäó ýòèì óãëîì è ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2. Îíà ïîëó÷àåòñÿ èç çàêîíà Ñíåëëèóñà:206sin J Ásin J Án== tg J Á = 2 < 1.n1sin J tsin(p/2 - J Á )(17.19)Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïàäåíèè ïîä óãëîì Áðþñòåðà ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãîâ ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, åãî îòðàæåíèÿ íå ïðîèñõîäèò.
Íà ýòî ðàíåå óæå îáðàùàëîñüâíèìàíèå ïðè îïèñàíèè óñòðîéñòâà ãàçîâûõ ëàçåðîâ. Âûõîäíûå òîðöû ãàçîðàçðÿäíûõ òðóáîê äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîòåðü ïðè îòðàæåíèè áûëè íàêëîíåíû ïîäóãëîì Áðþñòåðà. Ãåíåðèðóåìàÿ ëàçåðîì âîëíà ïîëó÷àëàñü ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîé.Ïðè Ji > JÁ óæå rP > 0, à r^ < 0.Åñëè ñâåò ïàäàåò èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé â ìåíåå ïëîòíóþ ñðåäó (n1 > n2),òî êàæäàÿ èç êîìïîíåíò îòðàæåííîé âîëíû âñåãäà áóäåò â ôàçå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòîé ïàäàþùåé âîëíû.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êîýôôèöèåíòûrP è r^ ïîëîæèòåëüíû ïðè âñåõ óãëàõ ïàäåíèÿ.Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó r è t ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè âåëè÷èíàìè,òî ïðè ïàäåíèè ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîé âîëíû îòðàæåííàÿ è ïðåëîìëåííàÿâîëíû áóäóò òàêæå ïëîñêîïîëÿðèçîâàíû. Ðàçóìååòñÿ, ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, åñëè íå ïðîèñõîäèò ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ.Àìïëèòóäíûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü àìïëèòóäíûå ñîîòíîøåíèÿ.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé èñïîëüçóþòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèå êîýôôèöèåíòûîòðàæåíèÿ R è ïðîïóñêàíèÿ T, êîòîðûå áûëè èñïîëüçîâàíû â ôîðìóëå Ýéðèïðè àíàëèçå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â èíòåðôåðîìåòðå Ôàáðè Ïåðî. ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n èíòåíñèâíîñòü âîëíû ñ ó÷åòîì (2.5),(2.7), (17.10):1(17.20)c e 0 nA 2 .2Êîýôôèöèåíò R îïðåäåëèì êàê îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ ýíåðãèè÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó íà ãðàíèöå ðàçäåëà:I = áEH ñ =R =I r cos J rA2= r2 = r 2 .I i cos J iAi(17.21)Êîýôôèöèåíò T îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñìûñëó àíàëîãè÷íî:T =I t cos J tA 2 n cos J tn cos J t= t2 2= t2 2.I i cos J iAi n1 cos J in1 cos J i(17.22)Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Ôðåíåëÿ íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òîR + T = 1.(17.23)Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè (Ji = 0) rP = r^ = r, tP = t^ = t èn - n1é sin(J i - J t ) ùr = lim ê ;=- 2úJ i ®0n2 + n1ë sin(J i + J t ) û(17.24à)2n1é 2 sin J t cos J i ùt = lim ê.=úJ i ®0ë sin(J i + J t ) û n2 + n1(17.24á)Ïîýòîìó2æ n - n1 öR =ç 2;è n2 + n1 ø÷T =n2 24n1n2t =.n1(n1 + n2 ) 2(17.25)207Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
