Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Он создается только силой Р= — [вВ], с действующей со стороны магнитного поля, Вычисляя этот момент, находим ег е / дА дА1 М„= — (Вгзх — Вхиг) — 1 о„— + ог — (. с с ~ "дх ' дг)" Если под х, г и ф понимать коордннаты движущейся частицы, то А (х, г) станет функцией времени й Производная втой функции равна дА дА г(х дА Дг дА дА + ол +ос ° о) дх яу дг ог' "дх г дг ' Следовательно, евА и' едА М .
— —, — (Мгзф) — — ° ед) юи об)' ф= — А+-цглсгз шгз' В силу (25.2) входящий сюда интеграл не зависит от пути интегрирования, а только от его начальной и конечной точек. Условимся помещать начальную точку на оси системы. На оси системы в силу симметрии Вг = О, Поэтому не имеет значения, в каком месте этбй оси выбрать начальную точку. От этого значение .интеграла (25.4) ие зависит, и он может быть представлен в виде 182 ГеометРическая теОРия Оптических изОБРАжений (гл !т Постоянная С должна обращаться в нуль.
Иначе (так как на оси системы функция А равна нулю) прн г = 0 мы получили бы гф = «о. Д это невозможно, так как гф есть линейная скорость частицы в ее вращении вокруг оси Х. Таким образом, (25.6) Возьмем теперь уравнение движения частицы та = е ( Е+ — (РВ) ), 1 (25.7) с где а — ускорение. При проектировании его на ось Х и направлсвие радиуса г слева получим соответственно та„ =- тд и та,.
радиальное ускорение в цилин. дрической системе координат определяется выражением аг = Р— ы«г (см, т. 1, Б 46). Введем еще электрический потенциал У и учтем соотношения (25.3) и (25.6), Тогда после недлинных преобразований из (25.7) получим д г еА« 1 д г еА« т.й= — е — ~У+ ), ту = — е — ~ У+ ... (25.8) дх ~ 2тс«г' ) ' дг ~ 2тс'гз 7 ' Задача о движении частицы распалась ва две лезаеисимме задачи: определе. ние угловой координаты ф и определение координат х и г, Для решения пер- вой задачи имеется уравнение (25.6), а для второй — уравнения (25.8). Фор- мально вторая задача идентична с задачей определения траектории заряжен.
ной частицы в плоском электростатическом поле с потенциалом (г =(г+, еА' (25.9) Ее формальным аналогом в оптике служит задача о распространении светового луча в неоднородной изотропной среде с показателем преломления е'А' - г е'А« л ~/ 2т(Ф' — ер) — 1Г л'— с«гз ' с'г' (25.10) где л«=У2т ((Р— ер) — «показатель преломления« в отсутствве магнитного поля.
Для получения окончательной формы траектории частицы надо наложить на этот «луча дополнительное ераи!ение, выражаемое формулой (25.6). Учтем теперь условие парансиальности. Для этого разложим В„ (х, г) в ряд по степеням г. Ввиду осевой симметрии, это разложение может содержать только четные степени г. Оборвем разложение на члене нулевой степени — в этом приближении поле В не зависит от г.
Вынося В» из-под знака интеграла (25.5) н выполнив интегрирование, получим А 1 (25.!1) а после подстановки в формулу (25.6) ф = — еВ «72 те. (25.12) Отсюда др дф д( 1 еВ . (25.13) дх «(! «(х с» 2«лс В параксиальном ириближении скорость о„также не зависит от расстояния г до оси Х н равна скорости частицы, движущейся вдоль этой оси, Поэтому производные дф(дх имеют одинаковые значения для всех частиц, независимо оз наклона нх траекторий к оси Х. Если 1 — расстояние от предметной плоскости до плоскости изображения, то на этом расстоянии в параксиальном приближе- 183 9ЛЕКТРНЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЛИНЗЫ нии все частицы поворачивают вокруг оси симметрии системы на один и тот же угол е РВ„ ф — — йх.
(25.!4) 2тс ~ ол Следовательно, в смысле получения цчобраясений система будет вести себя так, как если !йл магнитного поля не было, а влектростатическое определялось потен. Ниалом (25.9). Магнитное поле приводит еще к несущественному повороту всего изображения вокруг оси симметрии система на угол, определяемый йюрмулой (25.!4). В высших приближе- ниях угол поворота зависит от наклона траектории к осн системы. Это ведет к появлению дополнитель- ных аберраций, обусловленных наличием магнитного поля.
шах 4. Отметим еще одно обстоятельство. Если злект. рического поля нет, а магнитное поле однородно, то частица движется по спирали, вращаясь с циклотрон- 4 ной частотой ю = — еВ/тс (см. т. П1, 4 86). Между тем формула (25.!2) для этого случая дает угловую ско- рость, вдвое меньшую вь Недоразумениелегко разъяс- М няется, если заметить, что ы есть угловая скорость вращения частицы вокруг оси спирали, тогда как фор- мула (25.!2) определяет ее вращение вокруг одной из образующих той же спирали. Допустим, например, что магнитное поле церпенди- кулярно к плоскости рисунка (рнс.
106), а частица вращается по окружности в той же плоскости. За ось Л можно, конечно, принять любую прямую, направ- ленную вдоль поля В. Поэтому можно считать, что частица выходит из какой-то точки М этой оси. Описав окружность, она снова возвращается в исходя>ю ~очку.
Ее вращение вокруг точки М описывается формулой (25.12), тогда как Рис. 107, вращение вокруг центра О окружности происходит с цнклотронной частотой ю, оа время й( частица повернется вокруг центра О на угол ы йй а вокруг точки М— на угол йф = тгею йй так что ф = х(зю. 5. Выше фокусировка частиц в электрических линзах была обьяснена с по. мощью аналогии со световой оптикой. Сделаем теперь то же самое, рассматривая силы, действующие на частицу.
На рис. !07 представлена линза, состоящая из трех соосных металлических цилиндров одинакового диаметра. Крайние цилиндры заземлены, нв средний подан положительный или отрицательный потенциал. Линзы такого типа используются в электронно-лучевых трубках и некоторых влектронных микроскопах. На рисунке изображены электрические силовые линии с указанием направлений сил, действующих на частицу, 184 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 1ГЛ.
зт ЗАДАЧИ 1. Вычислить фокусное расстояние тонкой оптической линзы, показатель преломления которой в пространстве мспнется непрерывно. Р е ш е н и е. Сначала не будем вводить предположение о тонности линзы, а рассмотрим среду, обладающую симметрией вращения вокруг оси Х. Уравнение луча в меридионалъной плоскости представится в виде г = г (х). Обозначим через и угол; образуемый касательной к лучу с г осью Х (рис.
108]. В параксиальиом приближении квадратом этого угла пренебрегают. В этом приближении кривизна луча определяется выражением 1!И = — дигг(х, причем радиус кривизны й мы считаем положительным, иогда луч обращен вогнутостью к главной оптической оси Х, н отрицательным в противоположном случае. Воспользуемся формулой (4,1). В пределах точи насти параксиальной оптики дг/дй! = — соз и = Х ~ — 1, дх!дФ = з(п и = и, так что Рис. 108. дл дл дг дл дх дл дл дФ дг дФ дх дЛ/ дг дх' Так нак на луче г = г (х), то л (х, г) можно рассматривать как сложную функцию от х, т. е. л (х) = л (х, г (х)). Ее производная по х определяется выражением дл дл дл дг дл дл + +и и дх дх дг дх дх дг ' г.
е. отличается от частной производной дл!дх на величину первого порядка ма- пости по и. Поэтому замена дл!дх на длгих в предыдущем выражении вносит зшибку второго порядка, которой мы пренебрегаем. Сделав эту замену и восполь- ювавшись формулой (4.1), получим 1 ди 1 дл 1 дл дл — — — — — — — = — и —, Д дх лд)У л дг дх' али дл — (ли) = —. Ах =д» ' (25.15) Допустим, чю частица влетает в линзу, двигаясь параллельно ее осн, В области А действующая иа нее сила имеет составляющую, направленную вверх.
Эта сила будет смещать частицу вверх. В области В направление вертикальной составляющей силы изменится на противоположное. Однако, так как под действием электрического поля скорость частицы непрерывно возрастает, на прохождение области В частица затрачивает меньше времени, чем иа прохождение области А. Поэтому поперечная скорость, приобретенная частицей в области А, не может быть сиомпенсирована скоростью противоположного направления„ которую она получает в области В.
В результате в областях А и В и по выходе из них частица будет двигаться вверх, приближаясь к оси линзы. Аналогично, в области С на частицу действует сила, стремящаяся удалить ее от оси линзы, а в области Тт — приблизить. Ио в этих областях частица замедляется, а потому пранодит в области 11 большее время, чем в С, Поэтому прн прохождении обеих областей С и (1 вертикальная скорость частицы, направленная вверх, возрастет. Эти разъяснения объясняют, почему частицы приближа1отся к осн линзы. Конечно, из них не следует, что все частицы пучка соберутся в одной и той же точке на оси линзы, Для доказательства этого требуется уже количественное рассмотрение, которое и было проведено выше на основе аналопип со световой оптиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
