Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум (1238758), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Подставляя эти неравества в соотношение(2.27), находим, что при |h| < hεПоложим h2 =∫b|f (x + h) − f (x)| dx <ε ε ε+ + = ε.4 2 4aСправедливость соотношения (2.23) для произвольной интегрируемой функции доказана.2205. Пусть функция f (x) интегрируема на сегменте [a; b].Доказать, что равенство∫bf 2 (x) dx = 0a65имеет место тогда и только тогда, когда f (x) = 0 во всех точкахнепрерывности функции f (x), принадлежащих сегменту [a; b].1. Пусть функция f (x) интегрируема на сегменте [a; b],∫bf 2 (x) dx = 0aи x0 – точка непрерывности функции f .Допустим противное: f (x0 ) ̸= 0. Тогда f 2 (x0 ) > 0 и в силунепрерывности функции f 2 (x) в точке x = x0 существуют такиеположительные числа δ и m, что при всех x∈2∈ (x0 − δ; x0 + δ) ∩ [a; b] выполняется неравенство f (x) > m.Отсюда следует, что неравенство f 2 (x) > m выполнено на некотором отрезке [α; β] положительной длины и поэтому∫b∫βf (x) dx >a∫βf (x) dx > m2dx = m(β − α) > 0.2ααЭто противоречит условию задачи.
Поэтому наше допущениеневерно, т. е. f (x0 ) = 0.2. Обратное утверждение сложнее и для его доказательствапотребуются две леммы.Лемма 1. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b],то для каждого положительного числа σ найдется такой отрезок[α; β], лежащий строго внутри отрезка [a; b], что колебание функции f на этом отрезкеω(f, [α; β]) < σ.Лемма 2. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b],то она непрерывна хотя бы в одной точке x0 ∈ [a; b].Докажем лемму 1.
С этой целью воспользуемся критериеминтегрируемости, сформулированным в задаче 7: функция f (x)интегируема на [a; b], если при каждом σ > 0lim µ(f, σ; T ) = 0,λ(T )→066(2.30)где µ(f, σ; T ) – суммарная длина всех тех отрезков ∆i = [xi ; xi+1 ]разбиения T , на которых колебание функции ω(f, ∆i ) > σ.Так как функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b], то согласно этому критерию, для любого положительного числа σсправедливо равенство (2.30). Из определения предела следует,что найдется такое разбиение T = {x0 , x1 , . .
. , xn } отрезка [a; b],для которого сумма длин тех отрезков разбиения, на которыхколебание функции f не меньше σ, будет меньше, чем (b − a)/2.Отсюда следует, что отрезки, на которых колебание функции fне меньше σ, не исчерпывают весь отрезок [a; b]. Следовательно,найдется такой отрезок [α; β] разбиения T , на котором колебаниефункции f меньше σ. Так как при уменьшении множества колебание функции на этом множестве может только уменьшиться,то отрезок [α; β] можно считать лежащим строго внутри отрезка[a; b].Докажем лемму 2.
Применяя лемму 1 к отрезку [a; b] и числуσ = 1, найдем отрезок [a1 ; b1 ], который лежит строго внутриотрезка [a; b] и для которогоω(f, [a1 ; b1 ]) < 1.На следующем шаге применим лемму 1 к отрезку [a1 ; b1 ] и числуσ = 1/2 и найдем отрезок [a2 ; b2 ], который лежит строго внутриотрезка [a1 ; b1 ] и для которого1ω(f, [a2 ; b2 ]) < .2Предположим, что мы нашли отрезок [an ; bn ], который лежитстрого внутри отрезка [an−1 ; bn−1 ] и для которого1.nПрименяя лемму 1 к отреку [an ; bn ] и числу σ = 1/(n + 1), найдем отрезок [an+1 ; bn+1 ], который лежит строго внутри отрезка[an ; bn ] и для которогоω(f, [an ; bn ]) <ω(f, [an+1 ; bn+1 ]) <671.n+1На основании метода индукции можно считать определенной последовательность строго вложенных отрезков [an ; bn ], для которых при всех n1ω(f, [an ; bn ]) < .nПо теореме о последовательности вложенных отрезков существует точка x0 , принадлежащая всем отрезкам.
Покажем, чтофункция f (x) непрерывна в этой точке. В самом деле, пустьε > 0, подберем натуральное число n так, чтобы n > 1/ε. Так какпоследовательность отрезков является строго вложенной, то x0 –внутренняя точка для всех отрезков. Следовательно, существует такое положительное число δ, что интервал (x0 − δ; x0 + δ) ⊂[an ; bn ]. Тогда при всех x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) величина1< ε,nчто доказывает непрерывность функции f (x) в точке x = x0 .Перейдем к доказательству утверждения задачи.
Пусть функция f равна нулю во всех точках непрерывности. Рассмотримпроизвольное разбиение T = {x0 , x1 , . . . , xn } отрезка [a; b]. Полемме 2 на каждом из отрезков разбиения ∆i = [xi ; xi+1 ] найдется точка непрерывности функции f , т. е. точка, в которой функция f равна нулю. Так как функция f 2 (x) > 0, то отсюда следует,что при любом i (0 6 i 6 n − 1) величина|f (x) − f (x0 )| 6 ω(f, [an ; bn ]) <mi = inf f 2 (x) = 0.∆iПоэтому для любого разбиения нижняя сумма Дарбу функцииf 2 (x)n−1∑S(T ) =mi ∆xi = 0i=0(∆xi = xi+1 − xi ). В силу интегрируемости функции f 2 (x)∫bf 2 (x) dx = lim S(T ) = 0.λ(T )→0a68Замечание.
Утверждение задачи можно сформулировать вдругом, более естественном виде: если функция F (x) интегрируема и неотрицательна на сегменте [a; b], то∫bF (x) dx = 0aтогда и только тогда, когда F (x) = 0 во всех точках непрерывности функции F (x), принадлежащих сегменту [a; b].Доказательство этого утверждения можно получить, заменивв тесте решения задачи выражения f (x) и f 2 (x) на F (x).Впрочем, этот результат можно вывести и из√ утверждениязадачи. Его нужно применить к функции f (x) = F (x) и учестьследующие обстоятельства.√1.
F (x) и F (x) интегрируемыили нет одновременно. Если√интегрируема функция F (x), то интегрируемость F (x) следуетиз арифметических свойств интегрируемых функций.Если ин√тегрируема функция F (x), то интегрируемость F (x) следует√из непрерывности функции φ(x) = x и утверждения задачи2202.√2. Множество нулей функций F (x) и F (x) совпадают.√3. В силу непрерывности функций φ(x) = x, ψ(x) = x2 итеоремы о непрерывности сложной√ функции множества точекнепрерывности функций F (x) и F (x) совпадают.69Глава 3Формула Ньютона – ЛейбницаОсновной способ вычисления определенных интегралов состоит в применении формулы Ньютона – Лейбница. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], то у нее существует первообразная F и∫bf (x) dx = F (b) − F (a).(3.1)aФормула (3.1) и называется формулой Ньютона – Лейбница. Часто правую часть записывают следующим образом:bF (b) − F (a) = F (x) .aФормула (3.1) принципиально решает вопрос вычисления определенного интеграла, сводя его нахождение к вычислению неопределенного интеграла, и в этой связи ее часто называют основной формулой интегрального исчисления.На практике эту формулу часто приходится применять, когда известно, что функция f (x) непрерывна на [a; b], но формула,дающая явный первообразной F (x), справедлива только в интервале (a; b).
Можно установить, что первообразной f на всемотрезке [a; b] является продолжение F по непрерывности в точки x = a и x = b. Таким образом, формула (3.1) заменяется на70следующую:∫bf (x) dx = F (b − 0) − F (a + 0).(3.2)aЗадача 12. Пусть функция f ∈ C[a; b] и F ′ (x) = f (x) в интервале (a; b). Доказать, что функция F имеет конечные пределыпри x → a и x → b и справедлива формула (3.2).Формула (3.2) применяется в решениях задач 2213(б), 2216(б,в), 2217, 2264, 2275, 2276.
Отметим также задачу 2301, где этаформула распространяется на более общий случай.Техника вычисления неопределенного интеграла достаточноразработана в курсах математического анализа. Многие формулы этой техники можно перенести непосредственно и на определенный интеграл. К ним, в первую очередь, относятся формулыинтегрирования по частям∫b b ∫bf (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f ′ (x)g(x) dx′aa(3.3)aи формула замены переменной∫bφ(b)∫f (φ(x))φ′ (x) dx =f (t) dt.a(3.4)φ(a)Формула (3.3) применима для любых f, g ∈ C 1 [a; b]. Для применимости формулы (3.4) достаточно, чтобы функция f быланепрерывна на области значений функции φ, а функция φ ∈∈ C 1 [a; b].На первый взгляд, формула замены переменной (в применении к определенному интегралу) кажется ущербной, так какпо первоначальному определению интеграла нужно предполагать, что a < b и φ(a) < φ(b), что резко сужает класс замен71по сравнению с неопределенным интегралом.
Простой выход изсоздавшегося положения дает расширение понятия интеграла:принимается, что для любой функции f∫af (x) dx = 0,aа при a > b∫b∫af (x) dx = −af (x) dx.bПри таком расширении понятия интеграла оказывается, чтодля справедливости формулы (3.4) достаточно, чтобы функция fбыла непрерывна на области значений функции φ, а φ ∈ C 1 [a; b]либо φ ∈ C 1 [b; a].Формулу (3.4) часто называют также формулой подстановки.В некоторых учебниках понятия замены и подстановки различают. Переход от интеграла в левой части равенства (3.4) к интегралу в правой части этого равенства назывют заменой φ(x) = t,если же мы делаем переход от интеграла в правой части к интегралу, находящемуся в левой части равенства, то эту процедуруназывают подстановкой t = φ(x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
