Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум (1238758), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для любого ε > 0 существует такое δ > 0, чтопри всех x1 , x2 ∈ (a; a + δ) выполнено неравенствоx∫ 2 f (x) dx < ε.x1347Задача 26. Проверим критерий Коши. Пусть ε > 0. По условию задачи существует такое положительное число M , что привсех x ∈ [a; b) выполнено неравенство |f (x)| 6 M . Положимδ = ε/M , тогда для любых x1 , x2 ∈ (b − δ; b):x xx ∫ 2∫ 2 ∫ 2 f (x) dx 6 |f (x)| dx 6 M dx = M |x2 − x1 | < M δ = ε. x1x1x1Задача 27.
Проверим критерий Коши. Пусть ε > 0. По условию задачи существует такое положительное число M , что привсех x ∈ (a; b] выполнено неравенство |f (x)| 6 M . Положимδ = ε/M , тогда для любых x1 , x2 ∈ (a; a + δ):x xx ∫ 2 ∫ 2∫ 2 f (x) dx 6 |f (x)| dx 6 M dx = M |x2 − x1 | < M δ = ε. x1x1x1Задача 28. Пусть ∆ – произвольный отрезок, содержащийсяв [a; b). Так как функция f непрерывна на [a; b), то она непрерывна и на ∆. Отсюда следует, что f интегрируема на ∆. В силурешения задачи 26 несобственный интеграл от функции f попромежутку [a; b) сходится.Задача 29.
Пусть ∆ – произвольный отрезок, содержащийсяв (a; b]. Так как функция f непрерывна на (a; b], то она непрерывна и на ∆. Отсюда следует, что f интегрируема на ∆. В силурешения задачи 27 несобственный интеграл от функции f попромежутку (a; b] сходится.Задача 30. c−ε∫b∫∫bdxdxdx = lim +=v.p.ε→0+0x−cx−cx−caa(= limε→0+0c+ε c−εbln |x − c|+ ln |x − c|a348c+ε)== lim ((ln ε − ln(c − a)) + (ln(b − c) − ln ε)) =ε→0+0= lim (ln(b − c) − ln(c − a)) = lnε→0+0b−c.c−aЗадача 31.∫bv.p.a c−ε∫∫bdxdxdx== lim +(x − c)n ε→0+0(x − c)n(x − c)nac+ε[ c−εb ]111= lim+=ε→0+0 1 − n (x − c)n−1 a(x − c)n−1 c+ε[]1111n 1−+ (−1) n−1 + n−1 == limε→0+0 n − 1 (a − c)n−1(b − c)n−1εε[]11 1, n – нечетное;−n−1n − 1 (a − c)(b − c)n−1=+∞, n – четное.Задача 32. Пустьφ(x) =11− ′.f (x) f (c)(x − c)Согласно решению задачи 30∫bv.p.adx= v.p.f (x)∫b (a)1+ φ(x) dx =f ′ (c)(x − c)1b−c= ′ln+ v.p.f (c)c−a∫bφ(x) dx.aПоэтому достаточно показать, что интеграл в смысле главногозначения существует у функции φ.349Из явной формулы для φ следует, что эта функция определена и непрерывна на [a; c) ∪ (c; b].
Покажем, что существуетконечный предел функции φ в точке x = c.Согласно предположениям можно воспользоваться формулойТэйлора с дополнительным членом в форме Пеано:f (x) = f (c) + f ′ (c)(x − c) +1 ′′f (c)(x − c)2 + α(x)(x − c)2 ,2где α(x) – функция, имеющая нулевой предел при x = c. Учитывая, что f (c) = 0, получаем:φ(x) = −f ′′ (c) + 2α(x).f ′ (c) [2f ′ (c) + f ′′ (c)(x − c) + 2α(x)(x − c)]Отсюда находимlim φ(x) = −x→cf ′′ (c).2f ′ 2 (c)Таким образом, функция φ продолжается по непрерывности дофункции φ,e непрерывной на всем отрезке [a; b]. Согласно решению задачи 20 функция φ интегрируема в несобственном смыле,а, следовательно, обладает интегралом и в смыле главного значения.350Список литературы1.
Орловский Д. Г. Неопределенный интеграл. Практикум. –СПб.: Лань, 2006.2. Зорич В. А. Математический анализ, Т.1. – М.: Наука, 1981.3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.2. – М.: Наука, 1969.4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, Т.1. – М.:Высшая школа, 1981.5. Никольский С. М. Курс математического анализа, Т.1. –М.: Наука, 1983.6. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В.
А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Кн.1, Кн.2. – М.:Высшая школа, 2000.7. Демидович Б.П̇. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1990.8. Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Справочное пособие по высшей математике. Т.1. – М.: Едиториал,УРСС, 2001.9. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И.
Интегралы и ряды, Элементарные функции. – Москва.: Наука, 1981.351Предметный указательАбсолютная сходимость, 229Аддитивность интеграла, 74Формула Эйлера, 157, 160Формула Ньютона-Лейбница, 70Формулы Бонне, 196Функция Дирихле, 49Функция Римана, 46Главное значение, 232Характеристика разбиения, 5, 9Интеграл Пуассона, 30Интегральная непрерывность, 60Интегральная сумма, 5, 11Интегральное колебание, 15Интегрирование по частям, 71Интегрируемость сложной функции, 58Колебание функции, 16Критерий Коши, 11, 230Критерий интегрируемости, 15, 16Локальная интегрируемость, 220Многочлены Лежандра, 177Неравенство Коши, 81Определенный интеграл, 5Первая теорема о среднем, 196Предел функции разбиения, 10Признак Абеля, 231Признак Дирихле, 231Признаки сравнения, 229Простейшие несобственные интегралы, 220Разбиение, 5, 9Разметка разбиения, 5, 9Среднее значение, 195, 251Степенная асимптотика, 228Сумма косинусов кратных углов,25Сумма синусов кратных углов, 25Сумма степеней натуральных чисел, 17Суммы Дарбу, 14Условная сходимость, 230Вторая теорема о среднем, 197Замена переменной, 71, 226352СодержаниеПредисловие .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Глава 1. Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Глава 2. Определенный интеграл как предел . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 9Глава 3. Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Глава 4. Теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Глава 5. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220Решения и ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 352353Дмитрий Германович ОрловскийОпределенный интеграл.ПрактикумЧасть 1Учебное пособиеРедактор Н. В. ШумаковаОригинал-макет изготовлен Д. Г. ОрловскимПодписано в печать 10.12.2009. Формат 60x84 1/16Печ. л. 22,25. Уч.-изд. л. 22,25. Тираж 500 экз.Изд. № 1/1/66а.Заказ № 12Национальный исследовательский ядерный университетМИФИ“. 115409, Москва, Каширское ш., 31”ООО Полиграфический комплекс Курчатовский“.””144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
