Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум (1238758), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Число A называется ее пределом при λ(T ) → 0A = lim φ(T, ξ),λ(T )→0если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для любого разбиения T с характеристикой λ(T ) < δ и любой разметки ξ этого разбиения величина|φ(T, ξ) − A| < ε.Рассмотренный здесь предел функции разбиений обладаетбольшинством свойств, присущих тем пределам, с которыми читатель должен был познакомиться в курсах анализа, изучаемых до теории определенного интеграла. Доказательства этихсвойств (единственность, арифметические свойства, предельныйпереход в неравенствах и т.
д.) проводятся практически так же,как и для других понятий предела. Поэтому об этих свойствахчасто даже и не упоминают в учебной литературе и считают,что читатель должен сам догадаться об их существовании. Влучшей ситуации находятся студенты, изучившие свойства предела функции по фильтру (хотя бы в простейшей форме). В этомслучае необходимость доказательства упомянутых свойств предела отпадает, так как они обоснованы в более общей ситуации.10Желающие ознакомиться с понятием предела по фильтру могутобратиться к книге[2]. Для тех, кто желает проверить насколько прочно они усвоили теорию пределов последовательностей ифункций, приведем несколько задач на тему предела функцииразбиений.Задача 1.
Доказать, что предел единственен.Задача 2. Доказать, чтоlim (φ(T, ξ) + ψ(T, ξ)) = lim φ(T, ξ) + lim ψ(T, ξ),λ(T )→0λ(T )→0λ(T )→0при условии, что функции φ и ψ имеют пределы.Задача 3. Доказать, что если функция φ имеет предел приλ(T ) → 0, то она локально ограничена, т. е. существуют такие положительные числа M и δ, что для всех размеченных разбиений(T, ξ) с характеристикой λ(T ) < δ справедливо неравенство|φ(T, ξ)| 6 M.Задача 4. Доказать критерий Коши: для того чтобы функция φ имела предел при λ(T ) → 0, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε нашлось такое положительное число δ, что для всех размеченных разбиений (T1 , ξ (1) ) и(T2 , ξ (2) ) с характеристиками λ(T1 ) < δ, λ(T2 ) < δ выполнялосьнеравенство|φ(T1 , ξ (1) ) − φ(T2 , ξ (2) )| < ε.Для функции f , заданной на отрезке [a; b], ее интегральнойсуммой на размеченном разбиении (T, ξ) назывют величинуS(f ; T, ξ) =n−1∑f (ξi )∆xi .k=0Если из контекста ясно для какой функции, для какого отрезкаи для какой разметки эта интегральная сумма рассматривается,то часто аргументы f, T, ξ в ее обозначении опускают.11Интегральная сумма S(f ; T, ξ) является функцией размеченных разбиений и ее предел (если он существует) называется определенным интегралом:∫bf (x) dx = lim S(f ; T, ξ).(2.1)λ(T )→0aСуществуют другие подходы к определению интеграла и невсе они являются равносильными.
В этой связи интеграл, определение которому было только что дано, называют интеграломРимана. Если интеграл, т. е. предел (2.1) существует, то функция f называется интегрируемой по Риману на отрезке [a; b].Интеграл Римана существует не для любой функции, поэтомудля совокупности всех интегрируемых на отрезке [a; b] по Риману функций вводят специальное обозначение R[a; b]. Так какмы будем рассматривать только интеграл Римана, то в дальнейшем будем называеть его просто интегралом, а интегрируемуюпо Риману функцию – просто интегрируемой функцией.Использовать для вычисления интеграла формулу (2.1) довольно сложно, так как не существует разработанной техникивычисления предела функций разбиений, аналогичной той, которая существует для пределов последовательностей или пределов функций.
Однако эту трудность можно обойти, используярешение следующей задачи.Задача 5. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]и (Tn , ξ (n) ) – такая последовательность размеченных разбиений,для которых их характеристика λ(Tn ) → 0 при n → +∞. Тогда∫blim S(f ; Tn , ξ(n)n→+∞)=f (x) dx.aСогласно утверждению этой задачи вычисление интеграламожно свести к вычислению предела обычной числовой последовательности. На этом пути могут встретится две трудности.12Во-первых, для применения этого утверждения необходимо сначала доказать интегрируемость той функции, интеграл от которой необходимо вычислить.
Во-вторых, последовательность интегральных сумм нужно подобрать так, чтобы ее предел можнобыло вычислить.Первая проблема решается в теории определенного интеграла. Традиционно доказывается существование интеграла для непрерывных, монотонных и ограниченных функций с конечнымчислом точек разрыва. Как решается вторая проблема можноувидеть в решениях задач 2184 – 2192. В этих задачах все подынтегральные функции непрерывны (это снимает вопрос о существовании интегралов).В теории определенного интеграла, наряду с функциями размеченных разбиений, приходится рассматривать также функциинеразмеченных разбиений и функции разбиений с несколькимиразметками. Пределы таких функций определяются аналогично. Ограничимся здесь пределом функций неразмеченных разбиений и функций разбиений с двумя разметками.
Если заданафункция разбиений φ(T ), то число A называется ее пределомпри λ(T ) → 0:A = lim φ(T ),λ(T )→0если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для любого разбиения T с характеристикой λ(T ) < δ величина |φ(T ) − A| < ε.Функцию разбиений φ(T ) можно расматривать как функциюразмеченных разбиений (T, ξ), не зависящую от разметки ξ. Легко видеть, что предел φ как функции только T , совпадает с пределом φ, рассматриваемой как функции переменных (T, ξ), причем оба предела существуют или не существуют одновременно.Таким образом, определения этих двух пределов согласованы.Пусть задана функция φ(T, ξ, θ) разбиения T и двух его разметок ξ и θ .
Число A называется ее пределом при λ(T ) → 0:A = lim φ(T, ξ, θ),λ(T )→013если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для любого разбиения T с характеристикой λ(T ) < δ и любых его разметок ξ и θ величина |φ(T, ξ, θ)−−A| < ε. Это определение согласовано с определением пределафункции разбиения с одной разметкой. Любую функцию размеченного разбиения φ(T, ξ) можно рассматривать как функциюразбиения и двух разметок ξ и θ, не зависящую от разметки θ.Пределы φ как функции (T, ξ) и как функции (T, ξ, θ) существуют или не существуют одновременно и равны.Примером функций неразмеченных разбиений являются суммы Дарбу, имеющие важное значение в теории определенногоинтеграла.
Пусть дано произвольное разбиениеT = {x0 , x1 , . . . , xn }отрезка [a; b]. Нижней суммой Дарбу (или просто нижней суммой) называется величинаS(f ; T ) =n−1∑mi ∆xi ,k=0гдеmi =inff (x),[xi ;xi+1 ]а верхней суммойS(f ; T ) =n−1∑Mi ∆xi ,k=0гдеMi = sup f (x).[xi ;xi+1 ]Суммы Дарбу существуют только для функций, ограниченных на отрезке [a; b]. Одна из первых теорем теории определенного интеграла – утверждение об ограниченности интегрируемой функции. Это утверждение обычно называют необходимым условием интегрируемости.
Отсюда следует, что суммы14Дарбу определены для любой интегрируемой функции. Связьэтих сумм с интегралом состоит в следующем: ограниченнаяфункция интегрируема тогда и только тогда, когда существуюти совпадают пределы обеих сумм Дарбу. При этом общее значение этих пределов совпадает с определенным интегралом∫blim S(f ; T ) = lim S(f ; T ) =λ(T )→0f (x) dx.λ(T )→0aДругой пример функции неразмеченных разбиений дает величинаn−1∑Ω(f ; T ) =ωi ∆xi ,i=0где ωi = Mi − mi – колебание функции f на отрезке [xi ; xi+1 ],mi =inff (x),[xi ;xi+1 ]Mi = sup f (x).[xi ;xi+1 ]К сожалению, эта функция в учебной литературе не получиланикакого названия. Мы будем называть ее интегральным колебанием функции f на отрезке [a; b].
Используя интегральноеколебание, можно дать следующий критерий интегрируемости:функция f интегрируема на отрезке [a; b] тогда и только тогда,когда она ограничена иlim Ω(f ; T ) = 0,λ(T )→0Этот критерий интегрируемости является основным в теорииопределенного интеграла и он доказывается в любом традиционном курсе математического анализа. Нужно отметить, что в рядеучебников величина колебания определяется в другой форме. В15нашей формулировке, колебание функции f на множестве X –это величина, определяемая равенствомω(f, X) = sup f (x) − inf f (x),x∈Xx∈X(2.2)другое определение колебания функции:ω(f, X) = sup |f (x) − f (y)|.(2.3)x,y∈XЗадача 6.
Показать, что определения (2.2) и (2.3) равносильны.Пример предела функции разбиения с двумя разметками рассмотрен в задаче 2193. Эта задача имеет свое применение. Нанее опираются доказательства различных формул, относящихсяк приложениям определенного интеграла (задача 2193 используется, например, в решении примера 2471).Приведем еще один критерий интегрируемости, используемый в решении задач 2202 и 2205. Пусть задано положительноечисло σ и разбиение T некоторого отрезка [a; b].
Обозначим черезµ(f, σ; T ) сумму длин всех тех отрезков разбиения T , на которыхколебание функции f не меньше, чем σ. Ограниченная на отрезке [a; b] функция f интегрируема на этом отрезке тогда и толькотогда, когда при каждом σ > 0lim µ(f, σ; T ) = 0.λ(T )→0Задача 7. Доказать сформулированный выше критерий интегрируемости.Перейдем к задачам.2181.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
