Главная » Просмотр файлов » Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум

Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум (1238758), страница 2

Файл №1238758 Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум (Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум) 2 страницаУчебное пособие - Определенный интеграл. Практикум (1238758) страница 22020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Число A называется ее пределом при λ(T ) → 0A = lim φ(T, ξ),λ(T )→0если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для любого разбиения T с характеристикой λ(T ) < δ и любой разметки ξ этого разбиения величина|φ(T, ξ) − A| < ε.Рассмотренный здесь предел функции разбиений обладаетбольшинством свойств, присущих тем пределам, с которыми читатель должен был познакомиться в курсах анализа, изучаемых до теории определенного интеграла. Доказательства этихсвойств (единственность, арифметические свойства, предельныйпереход в неравенствах и т.

д.) проводятся практически так же,как и для других понятий предела. Поэтому об этих свойствахчасто даже и не упоминают в учебной литературе и считают,что читатель должен сам догадаться об их существовании. Влучшей ситуации находятся студенты, изучившие свойства предела функции по фильтру (хотя бы в простейшей форме). В этомслучае необходимость доказательства упомянутых свойств предела отпадает, так как они обоснованы в более общей ситуации.10Желающие ознакомиться с понятием предела по фильтру могутобратиться к книге[2]. Для тех, кто желает проверить насколько прочно они усвоили теорию пределов последовательностей ифункций, приведем несколько задач на тему предела функцииразбиений.Задача 1.

Доказать, что предел единственен.Задача 2. Доказать, чтоlim (φ(T, ξ) + ψ(T, ξ)) = lim φ(T, ξ) + lim ψ(T, ξ),λ(T )→0λ(T )→0λ(T )→0при условии, что функции φ и ψ имеют пределы.Задача 3. Доказать, что если функция φ имеет предел приλ(T ) → 0, то она локально ограничена, т. е. существуют такие положительные числа M и δ, что для всех размеченных разбиений(T, ξ) с характеристикой λ(T ) < δ справедливо неравенство|φ(T, ξ)| 6 M.Задача 4. Доказать критерий Коши: для того чтобы функция φ имела предел при λ(T ) → 0, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε нашлось такое положительное число δ, что для всех размеченных разбиений (T1 , ξ (1) ) и(T2 , ξ (2) ) с характеристиками λ(T1 ) < δ, λ(T2 ) < δ выполнялосьнеравенство|φ(T1 , ξ (1) ) − φ(T2 , ξ (2) )| < ε.Для функции f , заданной на отрезке [a; b], ее интегральнойсуммой на размеченном разбиении (T, ξ) назывют величинуS(f ; T, ξ) =n−1∑f (ξi )∆xi .k=0Если из контекста ясно для какой функции, для какого отрезкаи для какой разметки эта интегральная сумма рассматривается,то часто аргументы f, T, ξ в ее обозначении опускают.11Интегральная сумма S(f ; T, ξ) является функцией размеченных разбиений и ее предел (если он существует) называется определенным интегралом:∫bf (x) dx = lim S(f ; T, ξ).(2.1)λ(T )→0aСуществуют другие подходы к определению интеграла и невсе они являются равносильными.

В этой связи интеграл, определение которому было только что дано, называют интеграломРимана. Если интеграл, т. е. предел (2.1) существует, то функция f называется интегрируемой по Риману на отрезке [a; b].Интеграл Римана существует не для любой функции, поэтомудля совокупности всех интегрируемых на отрезке [a; b] по Риману функций вводят специальное обозначение R[a; b]. Так какмы будем рассматривать только интеграл Римана, то в дальнейшем будем называеть его просто интегралом, а интегрируемуюпо Риману функцию – просто интегрируемой функцией.Использовать для вычисления интеграла формулу (2.1) довольно сложно, так как не существует разработанной техникивычисления предела функций разбиений, аналогичной той, которая существует для пределов последовательностей или пределов функций.

Однако эту трудность можно обойти, используярешение следующей задачи.Задача 5. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]и (Tn , ξ (n) ) – такая последовательность размеченных разбиений,для которых их характеристика λ(Tn ) → 0 при n → +∞. Тогда∫blim S(f ; Tn , ξ(n)n→+∞)=f (x) dx.aСогласно утверждению этой задачи вычисление интеграламожно свести к вычислению предела обычной числовой последовательности. На этом пути могут встретится две трудности.12Во-первых, для применения этого утверждения необходимо сначала доказать интегрируемость той функции, интеграл от которой необходимо вычислить.

Во-вторых, последовательность интегральных сумм нужно подобрать так, чтобы ее предел можнобыло вычислить.Первая проблема решается в теории определенного интеграла. Традиционно доказывается существование интеграла для непрерывных, монотонных и ограниченных функций с конечнымчислом точек разрыва. Как решается вторая проблема можноувидеть в решениях задач 2184 – 2192. В этих задачах все подынтегральные функции непрерывны (это снимает вопрос о существовании интегралов).В теории определенного интеграла, наряду с функциями размеченных разбиений, приходится рассматривать также функциинеразмеченных разбиений и функции разбиений с несколькимиразметками. Пределы таких функций определяются аналогично. Ограничимся здесь пределом функций неразмеченных разбиений и функций разбиений с двумя разметками.

Если заданафункция разбиений φ(T ), то число A называется ее пределомпри λ(T ) → 0:A = lim φ(T ),λ(T )→0если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для любого разбиения T с характеристикой λ(T ) < δ величина |φ(T ) − A| < ε.Функцию разбиений φ(T ) можно расматривать как функциюразмеченных разбиений (T, ξ), не зависящую от разметки ξ. Легко видеть, что предел φ как функции только T , совпадает с пределом φ, рассматриваемой как функции переменных (T, ξ), причем оба предела существуют или не существуют одновременно.Таким образом, определения этих двух пределов согласованы.Пусть задана функция φ(T, ξ, θ) разбиения T и двух его разметок ξ и θ .

Число A называется ее пределом при λ(T ) → 0:A = lim φ(T, ξ, θ),λ(T )→013если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для любого разбиения T с характеристикой λ(T ) < δ и любых его разметок ξ и θ величина |φ(T, ξ, θ)−−A| < ε. Это определение согласовано с определением пределафункции разбиения с одной разметкой. Любую функцию размеченного разбиения φ(T, ξ) можно рассматривать как функциюразбиения и двух разметок ξ и θ, не зависящую от разметки θ.Пределы φ как функции (T, ξ) и как функции (T, ξ, θ) существуют или не существуют одновременно и равны.Примером функций неразмеченных разбиений являются суммы Дарбу, имеющие важное значение в теории определенногоинтеграла.

Пусть дано произвольное разбиениеT = {x0 , x1 , . . . , xn }отрезка [a; b]. Нижней суммой Дарбу (или просто нижней суммой) называется величинаS(f ; T ) =n−1∑mi ∆xi ,k=0гдеmi =inff (x),[xi ;xi+1 ]а верхней суммойS(f ; T ) =n−1∑Mi ∆xi ,k=0гдеMi = sup f (x).[xi ;xi+1 ]Суммы Дарбу существуют только для функций, ограниченных на отрезке [a; b]. Одна из первых теорем теории определенного интеграла – утверждение об ограниченности интегрируемой функции. Это утверждение обычно называют необходимым условием интегрируемости.

Отсюда следует, что суммы14Дарбу определены для любой интегрируемой функции. Связьэтих сумм с интегралом состоит в следующем: ограниченнаяфункция интегрируема тогда и только тогда, когда существуюти совпадают пределы обеих сумм Дарбу. При этом общее значение этих пределов совпадает с определенным интегралом∫blim S(f ; T ) = lim S(f ; T ) =λ(T )→0f (x) dx.λ(T )→0aДругой пример функции неразмеченных разбиений дает величинаn−1∑Ω(f ; T ) =ωi ∆xi ,i=0где ωi = Mi − mi – колебание функции f на отрезке [xi ; xi+1 ],mi =inff (x),[xi ;xi+1 ]Mi = sup f (x).[xi ;xi+1 ]К сожалению, эта функция в учебной литературе не получиланикакого названия. Мы будем называть ее интегральным колебанием функции f на отрезке [a; b].

Используя интегральноеколебание, можно дать следующий критерий интегрируемости:функция f интегрируема на отрезке [a; b] тогда и только тогда,когда она ограничена иlim Ω(f ; T ) = 0,λ(T )→0Этот критерий интегрируемости является основным в теорииопределенного интеграла и он доказывается в любом традиционном курсе математического анализа. Нужно отметить, что в рядеучебников величина колебания определяется в другой форме. В15нашей формулировке, колебание функции f на множестве X –это величина, определяемая равенствомω(f, X) = sup f (x) − inf f (x),x∈Xx∈X(2.2)другое определение колебания функции:ω(f, X) = sup |f (x) − f (y)|.(2.3)x,y∈XЗадача 6.

Показать, что определения (2.2) и (2.3) равносильны.Пример предела функции разбиения с двумя разметками рассмотрен в задаче 2193. Эта задача имеет свое применение. Нанее опираются доказательства различных формул, относящихсяк приложениям определенного интеграла (задача 2193 используется, например, в решении примера 2471).Приведем еще один критерий интегрируемости, используемый в решении задач 2202 и 2205. Пусть задано положительноечисло σ и разбиение T некоторого отрезка [a; b].

Обозначим черезµ(f, σ; T ) сумму длин всех тех отрезков разбиения T , на которыхколебание функции f не меньше, чем σ. Ограниченная на отрезке [a; b] функция f интегрируема на этом отрезке тогда и толькотогда, когда при каждом σ > 0lim µ(f, σ; T ) = 0.λ(T )→0Задача 7. Доказать сформулированный выше критерий интегрируемости.Перейдем к задачам.2181.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,27 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6451
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее