МУ - О равномерной непрерывности функций - Кожевников (1238753), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

‘®£« á­® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 9 ­ ©¤ãâáï ¯®áâ®ï­­ë¥ k¨ b â ª¨¥, çâ® ∀ x ∈ E ¢ë¯®«­¥­® |f (x + c) − f (x)| 6 kc + b.12¤à¨¬¥à 8. (2010-4) „®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï f= (1, +∞),­®©. f (x) = x2 cos ln x,: E → R, £¤¥ E =­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥àë¢-12 Š ª ¢¨¤­® ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 11 ¬®¦­® ®¡®¡é¨âì, § ¬¥­¨¢¢áî¤ã ç¨á«® c ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î c(x), ®¯à¥¤¥«¥­­ãî ­ E .13¥è¥­¨¥. à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢­®¥ ¨, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à¥¤«®-¦¥­¨¥¬ 10, ­ ©¤¥¬ ç¨á« k ¨ b â ª¨¥, çâ® ∀ x ∈ [2, +∞) ¢ë¯®«­¥­®|f (x)| 6 kx + b.  ©¤¥¬ â ª®¥ m ∈ [2, +∞), çâ® ∀ x ∈ [m, +∞) ¢ë¯®«­¥­® x2 > kx + b. ®¤¡¥à¥¬ n ∈ N â ª, ç⮡ë ç¨á«® x0 = e2πn¡ë«® ¡®«ìè¥ m.

’®£¤ f (x0 ) = x20 cos ln x0 = x20 > kx0 + b. ®«ã祭®¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.13 ¤à¨¬¥à 9. (2003-2)√„®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï f= (0, +∞), f (x) =x sin x,: E → R, £¤¥ E =­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.¥è¥­¨¥. ‚ ᨫ㠯।«®¦¥­¨ï 11 ¤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ® äã­ª-æ¨ï g(x) = f (x + π2 ) − f (x) ­¥ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®©. â®¢¥à­®, â ªpª ª ¯à¨ ­ âãà «ì­ëå k ¢ë¯®«­¥­® f (2πk+ π2 )−f (2πk) = 2πk + π2 .14¤à¨¬¥à 10. (2010-1) „®ª ¦¨â¥,çâ® äã­ªæ¨ï f : E → R, £¤¥ E =√= (0, +∞), f (x) = x sinx,­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.¥è¥­¨¥. à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢­®¥.

®«®¦¨¬ xn= (2πn)2 , yn == (2πn +â ª, çâ® f (xn ) = 0, f (yn ) = yn = (2πn +> n2 . ’®£¤ 12|yn − xn | = yn − xn = π (2n + 4 ) < 30n.‘®£« á­® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 9 ¤®«¦­ë áãé¥á⢮¢ âì k ¨ b â ª¨¥, ç⮤«ï ¢á¥å n ¢ë¯®«­¥­® |f (xn )−f (yn )| 6 k|xn −yn |+b. ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬n2 6 30kn+b, çâ® ­¥¢¥à­® ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å n. à®â¨¢®à¥ç¨¥.¤π 22)π 22)« £®¤ à­®áâì. ‘®áâ ¢¨â¥«ì í⮣® ¯®á®¡¨ï ¡« £®¤ ७ à¥æ¥­§¥­âã § àï¤ ¯®«¥§­ëå § ¬¥ç ­¨©.13 Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨¬¥à 8 ­¥ 㤠¥âáï à¥è¨âì á ¯®¬®éìî ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 8.14 ˆ§ à¥è¥­¨ï ¢¨¤­®, çâ® ¢¬¥áâ® f (x) = x cos x ¬®¦­® ¢§ïâì «î¡ãî äã­ªæ¨î¢¨¤ h(x) cos x ¨«¨ h(x) sin x (¨«¨ ¤ ¦¥ h(x) cosα x ¨«¨ h(x) sinα x ¤«ï α > 1), £¤¥h(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î lim h(x) = ∞.x→+∞14‡ ¤ 稂 § ¤ ç å 1|5 âॡã¥âáï ¢ëïá­¨âì, ï¥âáï «¨ ¤ ­­ ï äã­ªæ¨ïf : E → R à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.‡ ¤ ç 1.f (x) = xα ,£¤¥ α ∈ R; E = (0, +∞).‡ ¤ ç 2.f (x) = ln x¤«ï ) E = (1, +∞); ¡) E = (0, 1).‡ ¤ ç 3.

(2003-3) )f (x) =E = (0, +∞)(¤«ï ) ¨ ¤«ï ¡)).‡ ¤ ç 4.f (x) = xα sin xβ ,∗1ln(1 + x2 );x¡)f (x) =1arctg x2 ;x£¤¥ α, β > 0; E = (0, +∞).‡ ¤ ç 5. ∗ (2003-1) f (x) = sin(x sin x); E = (0, +∞).‡ ¤ ç 6. ) ãáâì ¤ ­ äã­ªæ¨ïf : E → R, £¤¥ E = E 0 ∪ E 00 .ˆ§¢¥áâ­®, çâ® á㦥­¨ï ä㭪樨 f ­ E 0 ¨ ­ E 00 ïîâáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭묨 äã­ªæ¨ï¬¨. Ž¡ï§ ⥫쭮 «¨ f : E → Rà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ?¡) „®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ ¢ ãá«®¢¨ïå ¯ã­ªâ ) E 0 ⊂ R § ¬ª­ãâ®, E 00 ª®¬¯ ªâ­®, â® f : E → R à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 .‡ ¤ ç 7. ãáâì äã­ªæ¨ï f : [a, +∞) → R ­¥¯à¥à뢭 , ¯à¨ç¥¬ ¤«ï­¥ª®â®à®£® b > a äã­ªæ¨ï f (x) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ­ [b, +∞), ¨ f 0®£à ­¨ç¥­ ­ [b, +∞).

„®ª ¦¨â¥, çâ® f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 .‡ ¤ ç 8. „®ª ¦¨â¥, çâ® «î¡ ï ­¥¯à¥à뢭 ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª ïäã­ªæ¨ï f:R→Rï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.‡ ¤ ç 9. ) ãáâì ä㭪樨 f : E → R ¨ g : E → R à ¢­®¬¥à­®­¥¯à¥à뢭ë. „®ª ¦¨â¥, çâ® f ± g ¨ λf (λ ∈ R) â ª¦¥ à ¢­®¬¥à­®­¥¯à¥à뢭ë.¡) ãáâì f : E → R à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 , g : E → R ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©. „®ª ¦¨â¥, çâ® f + g ­¥ ï¥âáïà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.15‡ ¤ ç 10.

„®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨¨¬¥¥â ­ ª«®­­ãî ᨬ¯â®â㠯ਯà¥à뢭 .f : [a, +∞) → R ­¥¯à¥à뢭 ¨x → +∞, â® f à ¢­®¬¥à­® ­¥-‡ ¤ ç 11. (1991-3) ‘ãé¥áâ¢ã¥â «¨ äã­ªæ¨ï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥-à뢭 ï ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï f : [a, +∞) → R â ª ï, çâ®lim f (x) = ∞, ¨ ∀ b > a äã­ªæ¨ï f 0 | ­¥®£à ­¨ç¥­­ ï ­ [b, +∞)?x→+∞‡ ¤ ç 12. ãáâì ä㭪樨 f : E → R ¨ g : R → R à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭ë. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¨å ª®¬¯®§¨æ¨ï g ◦f : E → R à ¢­®¬¥à­®­¥¯à¥à뢭 . (® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ª®¬¯®§¨æ¨¨ (g ◦ f )(x) = g(f (x)).)‡ ¤ ç 13. (1991-1) ãáâì f : [0, +∞) → R ­¥¯à¥à뢭 ­ [0, +∞)¨ x→+∞lim f (x) = ∞.

„®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï arctg f (x) à ¢­®¬¥à­®­¥¯à¥à뢭 ­ [0, +∞).‡ ¤ ç 14. „®ª ¦¨â¥ ªà¨â¥à¨© ¤«ï ä㭪樨 f : [a, +∞) → R:f ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ⇔ ∀ b > 0 ∃ k > 0 â ª®¥, çâ®∀ x, y ∈ [a, +∞) ¢ë¯®«­¥­® |f (x) − f (y)| 6 k|x − y| + b.‡ ¤ ç 15. ãáâìâ¥£à «+∞Rf (x) dxaf : [a, +∞) → Rà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ¨ ¨­-á室¨âáï. „®ª ¦¨â¥, çâ® x→+∞lim f (x) = 0.‚ § ¤ ç å 16|17 à¥çì ¨¤¥â ® à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権 ¤¢ã寥६¥­­ëå f : E → R, £¤¥ E ⊂ R2 .‡ ¤ ç 16.

ãáâìE ⊂ R2 | ¢ë¯ãª« ï ®¡« áâì, äã­ªæ¨ï f : E → R â ª®¢ , çâ® ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ∂f¨ ∂fáãé¥áâ¢ãîâ ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ E ¨∂x∂yïîâáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬¨ ­ E äã­ªæ¨ï¬¨. „®ª ¦¨â¥, çâ® f à ¢­®¬¥à­®­¥¯à¥à뢭 .‡ ¤ ç 17. Ÿ¢«ï¥âáï «¨ f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ¢ ®¡« á⨠E ⊂ R2 , £¤¥ ) (2007-1) f (x, y) = sin x2 +y12 +2y , E = {x2 + y2 + y < 0};1¡) (2007-2) f (x, y) = sin 2x2 −2xy+y2 , E = {x > 0, y < 1, y > x};1¢) (2007-4) f (x, y) = cos x2 +y2 −2x , E = {−1 < y < 1, 2 < x < 3}?16Žâ¢¥âë, 㪠§ ­¨ï ¨ à¥è¥­¨ï1.

Žâ¢¥â: f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ⇔ α ∈ [0, 1].à¨ α > 1 ¬®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 8. ‘®£« á­®¯à¥¤«®¦¥­¨î 4 ¯à¨ α < 0 äã­ªæ¨ï f ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ¤ ¦¥ ­ (0, 1).à¨ α ∈ (0, 1] ¬®¦­® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¨¬¥­¨¬® ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 5,«¨¡® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï § ¤ 祩 7.2. Žâ¢¥â: ) ¤ (à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ); ¡) ­¥â. ) á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 6, ¡) | ¨§ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 4.3. Žâ¢¥â: ) ¤ ; ¡) ¤ .Œ®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 7.4. Žâ¢¥â: à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ⇔ α + β 6 1.à¨ α+β 6 1 äã­ªæ¨ï f (x) ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ­ [0, +∞), ¨¬¥¥î饩 ®£à ­¨ç¥­­ãî ¯à®¨§¢®¤­ãî ­ [1, +∞)(á¬. § ¤ çã 7).…᫨ ¦¥ α+β > 1, ¬®¦­® áâநâì ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 9â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 10.

®«®¦¨¬ xn = (2πn) , yn = (2πn + π2 ) ,â ª çâ® f³(xn ) = 0, f (yn´) = ynα = (2πn + π2 ) . ’®£¤ |yn − xn | =¢¡1= (2πn)1 + 4n− 1 . à¨ n → ∞ ¨¬¥¥¬ |f (xn ) − f (yn )| ∼ c1 n1(c1 > 0 | ª®­áâ ­â ); |yn − xn | ∼ (2πn) · 4βn∼ c2 n −1 (c2 > 0| ª®­áâ ­â ).

’ ª ª ª β1 − 1 < αβ , â® ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å n­¥à ¢¥­á⢮ |f (xn ) − f (yn )| 6 k|xn − yn | + b (k ¨ b 䨪á¨à®¢ ­ë) ­¥¢ë¯®«­¥­®. ®«ãç ¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ c ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥¬ 9.5. Žâ¢¥â: ­¥â. ®â१ª¥ [2πn, 2πn + π2 ] äã­ªæ¨ï h(x) = x sin x ­¥¯à¥à뢭 ¨¬®­®â®­­® ¢®§à á⠥⠮â 0 ¤® 2πn + π2 .

ãáâì 2πn < x1 < y1 << x2 < y2 < . . . < xn < yn = 2πn + π2 | â ª¨¥ â®çª¨, çâ® h(xk ) == 2πk , h(yk ) = 2πk + π2 . ’®£¤ sin yk − sin xk = 1 − 0 = 0, ¤«¨­ πå®âï ¡ë ®¤­®£® ¨§ ®â१ª®¢ [xk , yk ] ¬¥­ìè¥, 祬 2n. à¨ ¤®áâ â®ç­®1β1βαβ1β1βαβ1β1β17¡®«ìè¨å n ¯®«ãç ¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ à ¢­®¬¥à­®©­¥¯à¥à뢭®áâ¨.6. ) Žâ¢¥â: ­¥â.ãáâì E 0 ∩ E 00 = ∅, ¨ inf |x0 − x00 | = 0.15 ’®£¤ ¤®áâ â®ç­®x0 ∈E 0 ,x00 ∈E 00à áᬮâà¥âì äã­ªæ¨î, à ¢­ãî 1 ­ E 0 ¨ à ¢­ãî 0 ­ E 00 .¡) à¥¤¯®«®¦¨¢ ¯à®â¨¢­®¥, ¬®¦­® ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ε > 0 ¢ë¡à â쯮᫥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª x01 , x02 , . .

. ∈ E 0 , x001 , x002 , . . . ∈ E 00 â ª¨¥, çâ®lim |x0 − x00k | = 0, ­® |f (x0k ) − f (x00k )| > ε ¯à¨ ¢á¥å k . ‚ ᨫ㠪®¬n→∞ k¯ ªâ­®á⨠E 00 ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® (x00k ) á室¨âáï ª x0 ∈ E 00 . ’®£¤ ¨ (x0k ) á室¨âáï ª x0 , ¯®í⮬ã x0 ∈ E 0 (â ª ª ª E 0 § ¬ª­ãâ®). ’ ªª ª á㦥­¨ï f ­ E 0 ¨ E 00 ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª¥ x0 , â® lim f (x0k ) =k→∞= lim f (x00k ) = f (x0 ).

à®â¨¢®à¥ç¨¥. 16k→∞7. ® ⥮६¥ Š ­â®à ¨ ¯à¥¤«®¦¥­¨î 6 äã­ªæ¨ï f à ¢­®¬¥à­® ­¥-¯à¥à뢭 ­ ª ¦¤®¬ ¨§ ¬­®¦¥á⢠[a, c] ¨ [b, +∞). Žáâ ¥âáï ¯®«®¦¨âì¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï § ¤ 祩 6. Œ®¦­® â ª¦¥ ¯®«®¦¨âì c > b(ᤥ« âì "­ å«¥áâ") ¨ ¤ «¥¥ ¤®ª § âì à ¢­®¬¥à­ãî ­¥¯à¥à뢭®áâ쯮 ®¯à¥¤¥«¥­¨î, ª ª í⮠ᤥ« ­® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 7.8. ãáâì T > 0 | ¤«¨­ ¯¥à¨®¤ . „«ï «î¡ëå x1 , x2 ∈ R â ª¨å, çâ®|x1 − x2 | < T ­ ©¤¥âáï k ∈ Z â ª®¥, çâ® x1 + kT, x2 + kT ∈ [0, 2T ].®í⮬ã à ¢­®¬¥à­ãî ­¥¯à¥à뢭®áâì f ¬®¦­® ¢ë¢¥á⨠¨§ ⮣®, çâ®á㦥­¨¥ f ­ ®â१®ª [0, 2T ] | à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï.9. “⢥ত¥­¨¥ ) ­¥á«®¦­® ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨©.

„®ª ¦¥¬,­ ¯à¨¬¥à, à ¢­®¬¥à­ãî ­¥¯à¥à뢭®áâì ä㭪樨 f + g ¨áå®¤ï ¨§à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠f ¨ g. „«ï ¤ ­­®£® ε > 0 ¢ë¡¥à¥¬δ > 0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ |x1 − x2 | < δ ¢ë¯®«­¥­® |f (x1 ) − f (x2 )| < 2ε ¨|g(x1 )−g(x2 )| < 2ε . ’®£¤ ¯à¨ |x1 −x2 | < δ ¢ë¯®«­¥­® |(f (x1 )+g(x1 ))−− (f (x2 ) + g(x2 ))| 6 |f (x1 ) − f (x2 )| + |g(x1 ) − g(x2 )| < ε.17¡) à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢­®¥: ¯ãáâì äã­ªæ¨ï h = f + g ï¥âáïc = b15 â® ¬®¦¥â ¢ë¯®«­ïâìáï ¨ ¤«ï § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥á⢠E 0 ¨ E 00 .16 ã­ªâ ¡) «¥£ª® ®¡®¡é¨âì ­ á«ãç © ¯®«­®£® ¨ ª®¬¯ ªâ­®£® ¬¥âà¨ç¥áª¨å¯à®áâà ­á⢠E 0 ¨ E 00 .17 “⢥ত¥­¨¥ ), ¯® áãâ¨, ®§­ ç ¥â, çâ® à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ä㭪樨E → R ®¡à §ãîâ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.18à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.

’®£¤ ᮣ« á­® ) äã­ªæ¨ï g = h−f ⮦¥à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 . à®â¨¢®à¥ç¨¥.10. ® ãá«®¢¨î f (x) = (kx + b) + g(x), £¤¥ k ¨ b | ­¥ª®â®àë¥ ª®­áâ ­âë, g : [a, +∞) → R ­¥¯à¥à뢭 ¨ x→+∞lim g(x) = 0. ‘®£« á­®¯à¥¤«®¦¥­¨î 7 g à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 . ‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì § ¤ 祩 9, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¨ f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 .11. Žâ¢¥â: ‘ãé¥áâ¢ã¥â.‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì § ¤ 祩 9 (¨«¨ 10), ­ã¦­ë© ¯à¨¬¥à ¬®¦­®¯®áâநâì ª ª f (x) = x + g(x), £¤¥ g : [a, +∞) → R | ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï â ª ï, çâ® x→+∞lim g(x) = 0, ¨ ∀ b > a äã­ªæ¨ï g 0 |­¥®£à ­¨ç¥­­ ï ­ [b, +∞) (£®¤¨âáï, ᪠¦¥¬, äã­ªæ¨ï g(x) = sinxx¨§ ¯à¨¬¥à 5).12. ‚ ᨫã à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠g, ¤«ï ¤ ­­®£® ε > 0 ­ ©¤¥âáï δ1 > 0 â ª®¥, çâ® ∀ y1 , y2 ∈ R, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î|y1 − y2 | < δ1 , ¢ë¯®«­¥­® |g(y1 ) − g(y2 )| < ε.

‚ ᨫã à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠f , ¤«ï â ª®£® δ1 ­ ©¤¥âáï δ > 0 â ª®¥, çâ®∀ x1 , x2 ∈ E , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î |x1 − x2 | < δ , ¢ë¯®«­¥­®|f (x1 ) − f (x2 )| < δ1 . ®«ãç ¥¬, çâ® ¤«ï ¢á¥å â ª¨å x1 , x2 ¢ë¯®«­¥­®|g(f (x1 )) − g(f (x2 ))| < ε.13. Œ®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï § ¤ 祩 12.1814. „®ª § âì ã⢥ত¥­¨¥ ¢ ®¤­ã áâ®à®­ã ¬®¦­®, ¯®¢â®àïï ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 9, ¢¬¥áâ® ε = 1 ¯®«®¦¨¢ ε = b.‚ ®¡à â­ãî áâ®à®­ã ã⢥ত¥­¨¥ ¬®¦­® ¤®ª § âì ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®áâ¨, ¢§ï¢ b = 2ε ¨ δ = 2kε .15. à¥¤¯®«®¦¨¢, çâ® ã⢥ত¥­¨¥ ­¥¢¥à­®, ­ ©¤¥¬ â ª®¥ ε > 0, çâ®∀ c > a ∃ xc > c, ¤«ï ª®â®à®£® |f (xc )| > ε.

ˆ§ ãá«®¢¨ï à ¢­®¬¥à­®©­¥¯à¥à뢭®á⨠᫥¤ã¥â, çâ® ­ ©¤¥âáï δ > 0 (§ ¢¨áï饥 ®â ε, ­® ­¥§ ¢¨áï饥®â c) â ª®¥,çâ® |f (x)| > 2ε |f (x)| > 2ε ¯à¨ x ∈ [xc −δ, xc +δ].¯¯3’®£¤ ¯ xcR+δ¯¯¯f (x)¯ > 2δ ·¯¯xc −δ¯ε218 à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ® ⮬, çâ®= εδ .â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ªà¨â¥à¨î Š®è¨lim f (x) = ∞,x→+∞ï¥âáï «¨è­¨¬ ãá«®¢¨¥¬.19¤«ï á室¨¬®á⨠¤ ­­®£® ¢ ãá«®¢¨¨ ¨­â¥£à « .1916. ãáâì ¬®¤ã«¨ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ­¥ ¯à¥¢®á室ïâ C . ’®£¤ ¢¥à­® á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥­¨¥: ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå â®ç¥ª M, N ∈ E , ¨¬¥îé¨å à ¢­ãî ¡áæ¨áá㨫¨ ®à¤¨­ âã, ¢ë¯®«­¥­® |f (M ) − f (N )| < C|M N |.

Характеристики

Список файлов книги