МУ - О равномерной непрерывности функций - Кожевников (1238753)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Œˆˆ‘’…‘’‚Ž Ž€‡Ž‚€ˆŸ ˆ €“Šˆ Ž‘‘ˆ‰‘ŠŽ‰ ”…„…€–ˆˆŒŽ‘ŠŽ‚‘Šˆ‰ ”ˆ‡ˆŠŽ-’…•ˆ—…‘Šˆ‰ ˆ‘’ˆ’“’(ƒŽ‘“„€‘’‚…›‰ “ˆ‚…‘ˆ’…’)Š ä¥¤à ¢ëá襩 ¬ ⥬ ⨪¨Ž €‚ŽŒ…Ž‰……›‚Ž‘’ˆ ”“Š–ˆ‰“祡­®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥‘®áâ ¢¨â¥«ì . €. Š®¦¥¢­¨ª®¢¬®áª¢ Œ”’ˆ2012“„Š 517¥æ¥­§¥­âŠ ­¤¨¤ â 䨧¨ª®-¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ­ ãª, ¤®æ¥­â €. ž. ¥â஢¨çŽ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権: ã祡­®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥¯®á®¡¨¥ / á®áâ.: . €. Š®¦¥¢­¨ª®¢. { Œ.: Œ”’ˆ, 2012. { 20 á.‚ ¯®á®¡¨¨ ¨§«®¦¥­ ⥮à¥â¨ç¥áª¨© ¬ â¥à¨ « ¯® ⥬¥ ý ¢­®¬¥à­ ï ­¥¯à¥à뢭®áâì ä㭪権þ ¨§ ªãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ .

à¨¢¥¤¥­ë§ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쭮£® à¥è¥­¨ï á 㪠§ ­¨ï¬¨ ¨ à¥è¥­¨ï¬¨.à¥¤­ §­ 祭® ¤«ï áâ㤥­â®¢ ¯¥à¢®£® ªãàá 䨧¨ª®-¬ ⥬ â¨ç¥áª¨åá¯¥æ¨ «ì­®á⥩.“祡­®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¨§¤ ­¨¥Ž €‚ŽŒ…Ž‰……›‚Ž‘’ˆ ”“Š–ˆ‰‘®áâ ¢¨â¥«ì Š®¦¥¢­¨ª®¢  ¢¥« €«¥ªá ­¤à®¢¨ç¥¤ ªâ®à Ž.. Š®â®¢ . Š®à४â®à ˆ.€. ‚®«ª®¢ .®¤¯¨á ­® ¢ ¯¥ç âì 12.04.2012. ”®à¬ â 60 × 841/16. “á«. ¯¥ç.

«. 1,25.“ç.-¨§¤. «. 1,0. ’¨à ¦ 300 íª§. ‡ ª § ü 85.䥤¥à «ì­®¥ £®á㤠àá⢥­­®¥ ¢â®­®¬­®¥ ®¡à §®¢ ⥫쭮¥ ãç०¤¥­¨¥¢ëá襣® ¯à®ä¥áᨮ­ «ì­®£® ®¡à §®¢ ­¨ïýŒ®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ (£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â)þ141700, Œ®áª®¢áª ï ®¡«., £. „®«£®¯à㤭ë©, ˆ­áâ¨âãâ᪨© ¯¥à., 9E-mail: rio@mail.mipt.ruŽâ¤¥« ¢â®¬ ⨧¨à®¢ ­­ëå ¨§¤ ⥫ì᪨å á¨á⥬ ý䨧â¥å-¯®«¨£à äþ141700, Œ®áª®¢áª ï ®¡«., £. „®«£®¯à㤭ë©, ˆ­áâ¨âãâ᪨© ¯¥à., 9c°ä¥¤¥à «ì­®¥ £®á㤠àá⢥­­®¥ ¢â®­®¬­®¥®¡à §®¢ ⥫쭮¥ ãç०¤¥­¨¥¢ëá襣® ¯à®ä¥áᨮ­ «ì­®£® ®¡à §®¢ ­¨ïýŒ®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ(£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â)þ, 20123‘®¤¥à¦ ­¨¥’¥®à¥â¨ç¥áª¨¥ ᢥ¤¥­¨ï . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®­ï⨥¬ ­¥¯à¥à뢭®á⨠4¥ª®â®àë¥ ª« ááë à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭ëåä㭪権 ............................................... 6‘¯®á®¡ë ãáâ ­®¢¨âì ®âáãâá⢨¥ à ¢­®¬¥à­®©­¥¯à¥à뢭®á⨠­¥ª®â®àëå ä㭪権 ............... 10‡ ¤ ç¨ . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Žâ¢¥âë, 㪠§ ­¨ï ¨ à¥è¥­¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16‹¨â¥à âãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 204’¥®à¥â¨ç¥áª¨¥ ᢥ¤¥­¨ïŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®­ï⨥¬ ­¥¯à¥à뢭®á⨁㤥¬ à áᬠâਢ âì ¯®­ï⨥ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤«ïä㭪樨 f : E → R, £¤¥ E | ­¥ª®â®à®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¬­®¦¥á⢠¤¥©á⢨⥫ì­ëå ç¨á¥« R. ‚ ⥪á⥠¨á¯®«ì§ãîâáï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (­¥¯à¥à뢭®áâ¨, ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪樨 ¨ ¤à.), ®¡®§­ 祭¨ï ¨­¥ª®â®àë¥ ä ªâë (â¥®à¥¬ë Š ­â®à , ‹ £à ­¦ , ᢮©á⢠­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権, ªà¨â¥à¨© Š®è¨ ¨ ¤à.), ª®â®àë¥ á®¤¥à¦ âáï ¢ «î¡®¬¨§ ªãàᮢ ­ «¨§ [1] | [7]. Œ¥«ª¨¬ èà¨ä⮬ ­ ¡à ­ë § ¬¥ç ­¨ï,ª®â®àë¥ ®â­®áïâáï ª ®¡é¥¬ã á«ãç î ®â®¡à ¦¥­¨ï ¨§ ®¤­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠¢ ¤à㣮¥.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

”ã­ªæ¨ï f : E → R ­ §ë¢ ¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© (­ ¬­®¦¥á⢥ E ), ¥á«¨ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 â ª®¥, çâ® ∀ x1 ∈ E ,∀ x2 ∈ E , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î |x1 − x2 | < δ , ¢ë¯®«­¥­®|f (x1 ) − f (x2 )| < ε.®­ï⨥ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¥áâ¥á⢥­­® ®¡®¡é ¥âáï ­ ®â®¡à ¦¥­¨ï ¨§ ®¤­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠¢ ¤à㣮¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.

ãáâìe | ¤¢ ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà ­á⢠á äã­ªæ¨ï¬¨ à ááâ®ï­¨ï ρ ¨ ρe. Žâ®E ¨ E¡à ¦¥­¨¥ f : E → Ee ­ §ë¢ ¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭ë¬, ¥á«¨ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0â ª®¥, çâ® ∀ x1 , x2 ∈ E , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î ρ(x1 , x2 ) < δ, ¢ë¯®«­¥­®ρe(f (x1 ), f (x2 )) < ε.”¨ªá¨àãï ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠â®çªã x1 ,¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 f : E → R ¢¤ ­­®© â®çª¥ x1 ∈ E . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥à¥¤«®¦¥­¨¥ 1. …᫨⮠f ­¥¯à¥à뢭 ­ E .f :E→Rà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 (­ E ),ˆ­ ç¥ £®¢®àï, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f : E → R ¨¬¥¥â à §àë¢ å®âï ¡ë ¢®¤­®© â®çª¥ ¬­®¦¥á⢠E , â® ®­ ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.11 Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ x1 | ¨§®«¨à®¢ ­­ ï â®çª ¬­®¦¥á⢠E , â®, ᮣ« á­®5ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï áà §ã ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî饥à¥¤«®¦¥­¨¥ 2.

ãáâì äã­ªæ¨ï f : E → R à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ¨ E 0 ⊂ E . ’®£¤ á㦥­¨¥ ä㭪樨 f ­ E 0 â ª¦¥ ï¥âáïà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樥©.à¥¤«®¦¥­¨ï 1 ¨ 2 ¢¥à­ë ¨ ¢ á«ãç ¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï ¨§ ®¤­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£®¯à®áâà ­á⢠¢ ¤à㣮¥.à¨¬¥à1. „®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï f√: [0, +∞) → R, £¤¥ f (x) =ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.√√¥è¥­¨¥. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ 0 6 x√< y, √â® √y√− x 6 y − x(¤¥©á⢨⥫쭮, ¢®§¢®¤ï ­¥à ¢¥­á⢮ y 6 x +y − x ¢ ª¢ ¤à â,p¯®«ãç ¥¬ ¢¥à­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ y 6 x + (y − x) + 2 x(y√ − x)). ‡­ ç¨â,¯à¨ |x1 −x2 | < δ ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­¥­® |f (x1 )−f (x2 )| < δ . â® ®§­ ç ¥â,çâ® ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ¤®áâ â®ç­® ¯®«®¦¨âì δ = ε2 , ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¡ã¤¥â ¢ë¯®«­¥­®.

¤à¨¬¥à 2. „®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï f : (0, +∞) → R, £¤¥ f (x) == sin x2 , ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.√p¥è¥­¨¥. ®«®¦¨¬ x1 = 2πn, x2 = 2πn + π2 (£¤¥ n ∈ N ¢ë¡¥à¥¬ ¯®§¤­¥¥), ⮣¤ |f (x1 ) − f (x2 )| = 1. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 , ¨ ¤«ï ε = 1 ­ ©¤¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 δ > 0 ¨§®¯à¥¤¥«¥­¨ï. ®¤¡¥à¥¬ n ∈ N â ª®¥, çâ® |x1 − x2 | < δ (íâ® ¢®§¬®¦­®,x2 − x2πâ ª ª ª |x1 − x2 | = x2 − x1 = 2 1 = √).pπ=x,x1 + x22( 2πn +2πn + 2 )’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤®«¦­® ¡ëâì|f (x1 ) − f (x2 )| < ε = 1. à®â¨¢®à¥ç¨¥.

¤Žâ¬¥â¨¬, çâ® ® à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¬®¦­® £®¢®à¨âì ¢ â¥à¬¨­ åä㭪樨 ¬®¤ã«ï ­¥¯à¥à뢭®áâ¨. „«ï ®â®¡à ¦¥­¨ï f : E → Ee (E ¨ Ee | ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠) ¬®¤ã«ì ­¥¯à¥à뢭®á⨠ωf (δ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤«ï ¢á¥å δ > 0à ¢¥­á⢮¬ ωf (δ) =supρe(f (x1 ), f (x2 )). Œ®¤ã«ì ­¥¯à¥à뢭®á⨠¬®¦¥âx1 , x2 ∈ E,ρ(x1 , x2 ) < δ¯à¨­¨¬ âì ¤¥©á⢨⥫ì­ë¥ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ §­ 祭¨ï ¨«¨ ¡ëâì à ¢­ë¬ +∞.¥âà㤭® ¯®ª § âì, çâ® f : E → Ee à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,ª®£¤ lim ωf (δ) = 0.δ→0+0®¯à¥¤¥«¥­¨î, «î¡ ï äã­ªæ¨ï f:E→R­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ x1 .6¥ª®â®àë¥ ª« ááë à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭ëåä㭪権Žâ¬¥â¨¬ ­¥ª®â®àë¥ ä ªâë, ­ ª®â®àë¥ (¯®¬¨¬® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï)¬®¦­® ®¯¨à âìáï ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⮣®, çâ® äã­ªæ¨ï ï¥âáïà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.‘«ãç © ª®­¥ç­®£® ¯à®¬¥¦ã⪠à¥¤«®¦¥­¨¥ 3 (⥮६ Š ­â®à ).

ãáâìa, b ∈ R, a < b, ¨| ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï ­ ®â१ª¥ [a, b]. ’®£¤ fà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 .“ç¨âë¢ ï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 1, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¥á«¨ E | ®â१®ª, ⮯®­ïâ¨ï ­¥¯à¥à뢭®á⨠¨ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ.f : [a, b] → R’¥®à¥¬ Š ­â®à ¢¥à­ ¤«ï «î¡®£® ­¥¯à¥à뢭®£® ®â®¡à ¦¥­¨ï f£¤¥ E ¨ Ee | ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨ç¥¬ E ª®¬¯ ªâ­®.2e,:E →E…᫨ E | ª®­¥ç­ë© ¯à®¬¥¦ã⮪ ç¨á«®¢®© ¯àאַ©, â® ¢®¯à®á ®à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 f : E → R ᢮¤¨âáï ª ¢®§¬®¦­®á⨠¤®®¯à¥¤¥«¨âì f ¢ ª®­æ å E â ª, çâ®¡ë ¯®«ã稫 áì ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï ­ ®â१ª¥. ˆ­ ç¥ £®¢®àï, ¢¥à­®¥ á«¥¤ãî饥à¥¤«®¦¥­¨¥ 4.

ãáâì E = (a, b), «¨¡® E = (a, b], «¨¡® E = [a, b),£¤¥ a, b ∈ R, a < b, ¨ f : E → R | ­¥¯à¥à뢭 ï ­ E äã­ªæ¨ï.”ã­ªæ¨ï f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ⇔ áãé¥áâ¢ãîâ ª®­¥ç­ë¥ ®¤­®áâ®à®­­¨¥ ¯à¥¤¥«ë x→a+0lim f (x) ¨ lim f (x).x→b−0„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­­®áâ¨E = (a, b) ¨ f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ­ (a, b). „®ª ¦¥¬, ­ ¯à¨¬¥à, çâ® áãé¥áâ¢ã¥âª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« x→a+0lim f (x).

® ®¯à¥¤¥«¥­¨î à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¨¬¥¥¬: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 â ª®¥, çâ® ∀ x1 , x2 ∈ (a, min{b, a + δ})¢ë¯®«­¥­® |f (x1 ) − f (x2 )| < ε (¯®áª®«ìªã ¨§ x1 , x2 ∈ (a, min{b, a + δ})¢ë⥪ ¥â, çâ® |x1 −x2 | < δ ). ®á«¥¤­¥¥ ãá«®¢¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ãá«®¢¨¥¬Š®è¨ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¯à ¢®£® ¯à¥¤¥« ä㭪樨 f ¢ â®çª¥ a. ® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ ¯®«ãç ¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« x→a+0lim f (x).2  ¯®¬­¨¬, çâ® ¯®¤¬­®¦¥á⢮ E ⊂ Rn ª®¬¯ ªâ­® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­® ®£à ­¨ç¥­® ¨ § ¬ª­ãâ®.7Ž¡à â­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤­®: ¥á«¨ f ¨¬¥¥â ª®­¥ç­ë¥¯à¥¤¥«ë ¢ ª®­æ å ¯à®¬¥¦ã⪠E , â® f ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ­¥¯à¥à뢭®©ä㭪樨 ­ ®â१ª¥ [a, b].

Žáâ ¥âáï «¨èì ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®©Š ­â®à ¨ ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 2 ¤«ï ¯®¤¬­®¦¥á⢠E ⊂ [a, b]. ¤à¨¬¥à 3. „®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï f : E → R, £¤¥ E = (0, 1), 1f (x) = x sin 2 , ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.x¥è¥­¨¥. ®ª ¦¥¬, çâ® f 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 4.…᫨ x0 6= 0, â® ­¥¯à¥à뢭®áâì f ¢ â®çª¥ x0 á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६®¡ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨ïå ¨ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権.‚ ç áâ­®áâ¨, x→1lim f (x) = sin 1.€ â ª ª ª¯¯¯1 ¯¯¯|f (x)| = |x| · ¯sin 2 ¯ 6 |x|,xâ® x→0lim f (x) = 0.3¤à¥¤«®¦¥­¨¥ 4 ®¡®¡é ¥âáï ­ á«ãç © ®â®¡à ¦¥­¨ï f : E → Ee, £¤¥ E |¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, Ee | ¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.

ãáâì E | ¯®¯®«­¥­¨¥ E (¢ á«ãç ¥, ª®£¤ E ï¥âáï ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ­¥ª®â®à®£® ¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠E1 ,¬­®¦¥á⢮ E ï¥âáï § ¬ëª ­¨¥¬ E ¢ ¯à®áâà ­á⢥ E1 ). Žâ®¡à ¦¥­¨¥ f ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥àë¢­ë¬ â®£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f ¬®¦­® ¯à®¤®«¦¨â줮 à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®£® ®â®¡à ¦¥­¨ï f : E → Ee (¢ á«ãç ¥ ª®¬¯ ªâ­®£® E ,ᮣ« á­® ⥮६¥ Š ­â®à , ¤®áâ â®ç­® ­¥¯à¥à뢭®á⨠f ).®¢¥¤¥­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­®© ¨ ¡«¨§ª¨¥ ᢮©á⢠ƒ®¢®àïâ, çâ® äã­ªæ¨ï f : E → R 㤮¢«¥â¢®àï¥â (­ ¬­®¦¥á⢥ E )ãá«®¢¨î ƒ¥«ì¤¥à á ¯®ª § ⥫¥¬ α > 0, ¥á«¨ ­ ©¤¥âáï â ª®¥ c > 0,çâ® ∀ x1 , x2 ∈ E ¢ë¯®«­¥­® |f (x1 ) − f (x2 )| 6 c|x1 − x2 |α .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги