МУ - О равномерной непрерывности функций - Кожевников (1238753), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

à¨ α = 1ãá«®¢¨¥ ƒ¥«ì¤¥à ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì ãá«®¢¨¥¬ ‹¨¯è¨æ . Š ª ¢¨¤¨¬, ¨§ ãá«®¢¨ï ƒ¥«ì¤¥à áà §ã á«¥¤ã¥â à ¢­®¬¥à­ ï ­¥¯à¥à뢭®áâìä㭪樨 f : E → R: ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤®áâ â®ç­® ¤«ï ª ¦¤®£® ε > 0 ¢ë¡à âì δ > 0 á ãá«®¢¨¥¬ cδ α < ε. ˆâ ª,¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî饥 ¤®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®áâ¨.3(Š ª ¢¨¤­® ¨§ à¥è¥­¨ï, ¯à¨ «î¡ëå α > 0 ¨ β ∈ R äã­ªæ¨ï f (x) =xα sin xβ , x > 0=­¥¯à¥à뢭 ­ [0, +∞) ¨ ¯®í⮬ã à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 0, x = 0­ «î¡®¬ ®â१ª¥ [0, A], £¤¥ A > 0.8à¥¤«®¦¥­¨¥ 5.

ãáâì äã­ªæ¨ï f : E → R 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ƒ¥«ì¤¥à á ¯®ª § ⥫¥¬ α > 0. ’®£¤ f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 .Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ à¥è¥­¨¨¯à¨¬¥à 1 ä ªâ¨ç¥áª¨ ¬ë ãáâ ­®¢¨«¨,√çâ® äã­ªæ¨ï f (x) = x 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ƒ¥«ì¤¥à á ¯®ª § ⥫¥¬ 21 .„ «¥¥ à áᬮâਬ á«ãç © ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 ­ ¯à®¬¥¦ã⪥ E . …᫨ ¯à®¨§¢®¤­ ï ®£à ­¨ç¥­ , â® f 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ . „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì C > 0 â ª®¢®, çâ® ∀ x ∈ E¢ë¯®«­¥­® |f 0 (x)| < C . ’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ⥮६㠋 £à ­¦ , ¯®«ãç ¥¬: ∀ x1 , x2 ∈ E ­ ©¤¥âáï â ª®¥ ξ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ x1 ¨ x2 , çâ®|f (x1 ) − f (x2 )| = |f 0 (ξ)| · |x1 − x2 | < C|x1 − x2 |.

Š ª á«¥¤á⢨¥ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 5 ¯®«ãç ¥¬à¥¤«®¦¥­¨¥ 6. ãáâìE | ª®­¥ç­ë© ¨«¨ ¡¥áª®­¥ç­ë© ¯à®¬¥¦ã⮪, äã­ªæ¨ï f : E → R ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ­ E , ¯à¨ç¥¬ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ ï f 0 : E → R | ®£à ­¨ç¥­­ ï äã­ªæ¨ï. ’®£¤ f à ¢­®¬¥à­®­¥¯à¥à뢭 .ˆ§ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 6 áà §ã á«¥¤ã¥â à ¢­®¬¥à­ ï ­¥¯à¥à뢭®áâì ­ R «¨­¥©­ëå ä㭪権 f (x) = ax+b (a, b ∈ R),4 ä㭪権 sin ax, cos ax(a ∈ R) ¨ ¨å «¨­¥©­ëå ª®¬¡¨­ 権 (¢ ç áâ­®áâ¨, âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬­®£®ç«¥­®¢).5  áᬮâਬ ­¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ á«®¦­ë© ¯à¨¬¥à.à¨¬¥à 4.

(2003-3)6 „®ª ¦¨â¥,çâ® äã­ªæ¨ï√E = (0, +∞),à뢭®©. f (x) =x ln(1 + x2 ),f : E → R, £¤¥ï¢«ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥32¥è¥­¨¥. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 6. ˆ¬¥¥¬ f 0 (x) = 12x++ x2ln(1 + x2 )√. ¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® f 0 ­¥¯à¥à뢭 ­ 2 x(0, +∞), ¯à¨ç¥¬ lim f 0 (x) = lim f 0 (x) = 0. Žâáî¤ +x→0+0x→+∞¯à®¬¥¦ã⪥᫥¤ã¥â, çâ®4 Š®­¥ç­®, ¥¥ «¥£ª® ãáâ ­®¢¨âì ¨ ­¥¯®á।á⢥­­® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î.5 ‘¬. â ª¦¥ § ¤ çã 8.6 ‡ ¤ ç ¯à¥¤« £ « áì ­ ¯¨á쬥­­®© ª®­â஫쭮© à ¡®â¥ ¢® II ᥬ¥áâॠ1ªãàá Œ”’ˆ (2003 £®¤, 3 ¢ ਠ­â).9| ®£à ­¨ç¥­­ ï äã­ªæ¨ï.7 ¤Žá®¡® ®â¬¥â¨¬, çâ® ãá«®¢¨¥ ®£à ­¨ç¥­­®á⨠¯à®¨§¢®¤­®© ¨§¯à¥¤«®¦¥­¨ï 6 ï¥âáï «¨èì ¤®áâ â®ç­ë¬, ­® ­¥ ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ãá«®¢¨¥¬ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤«ï ä㭪権, ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ­ ¯à®¬¥¦ã⪥.

‘ª ¦¥¬, ä㭪樨, à áᬮâ७­ë¥ ¢ ¯à¨¬¥à å 1 ¨ 3, ¨¬¥îâ ­¥®£à ­¨ç¥­­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥. „ ¦¥ ãá«®¢¨¥ƒ¥«ì¤¥à ­¥ ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨¥¬ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠(᪠¦¥¬, áãé¥áâ¢ãîâ ä㭪樨, ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ­ ®â१ª¥,ª®â®àë¥ ­¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ƒ¥«ì¤¥à ).f 0 : (0, +∞) → R §¡¨¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®£® ¨­â¥à¢ « à¥¤«®¦¥­¨¥ 7.

ãáâì äã­ªæ¨ï f : [a, +∞) → R, £¤¥ a ∈ R, ­¥-¯à¥à뢭 ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥«­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 .lim f (x).x→+∞’®£¤ fà ¢-„®ª § ⥫ìá⢮. ‡ 䨪á¨à㥬 ε > 0.ˆ§ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ª®­¥ç­®£® ¯à¥¤¥« x→+∞lim f (x) ¢ë⥪ ¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ â ª®£® m > a, çâ® ∀ x1 , x2 ∈ [m, +∞) ¢ë¯®«­¥­®|f (x1 )−f (x2 )| < ε. „ «¥¥, ¯® ⥮६¥ Š ­â®à á㦥­¨¥ ä㭪樨 f ­ ®â१®ª [a, m + 1] ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樥©, ¯®í⮬ã ∃ δ1 > 0 â ª®¥, çâ® ∀ x1 , x2 ∈ [a, m + 1] á ãá«®¢¨¥¬ |x1 − x2 | < δ1¢ë¯®«­¥­® |f (x1 ) − f (x2 )| < ε. ‹î¡ ï ¯ à x1 , x2 ∈ [a, +∞) á ãá«®¢¨¥¬ |x1 − x2 | < 1 ­ 室¨âáï å®âï ¡ë ¢ ®¤­®¬ ¨§ ¤¢ãå ¯à®¬¥¦ã⪮¢ [a, m + 1], [m, +∞).8 ®í⮬㠥᫨ ¯®«®¦¨âì δ = min{δ1 , 1}, ⮤«ï «î¡ëå x1 , x2 ∈ [a, +∞) á ãá«®¢¨¥¬ |x1 − x2 | < δ á¯à ¢¥¤«¨¢®|f (x1 ) − f (x2 )| < ε, â® ¥áâì ¢ë¯®«­¥­® ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®áâ¨.

¤7 …᫨ ¤«ï ­¥¯à¥à뢭®© äã­ªæ¨ï g : [0, +∞) → R áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« x→+∞lim g(x) = A, â® g ®£à ­¨ç¥­ . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï ε = 1 ­ ©¤¥âáï mâ ª®¥, çâ® ¯à¨ x ∈ [m, +∞) §­ 祭¨ï g(x) «¥¦ â ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ [A − 1, A + 1].€ ­ ®â१ª¥ [0, m] äã­ªæ¨ï g ®£à ­¨ç¥­ ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá .  á ¬®¬¤¥«¥ ¢ à¥è¥­¨¨ í⮣® ¯à¨¬¥à ¤®áâ â®ç­® ¡ë«® ãáâ ­®¢¨âì, çâ® f 0 (x) ®£à ­¨ç¥­ ­ [a, +∞) ¤«ï ­¥ª®â®à®£® a > 0 (á¬. § ¤ çã 7).8 ˆ¬¥­­® ¤«ï í⮣® 㤮¡­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ­¥ à §¡¨¥­¨¥ [a, m]∪[m, +∞), ¤¥« âì"­ å«¥áâ" [a, m + 1] ∩ [m, +∞) = [m, m + 1].10Š ª ¯®ª §ë¢ î⠯ਬ¥àë ¯®á«¥ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 6, ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 7¤ ¥â ⮫쪮 ¤®áâ â®ç­®¥, ­® ­¥ ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®©­¥¯à¥à뢭®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ (¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 4, ª®â®à®¥ ï¥âáï ªà¨â¥à¨¥¬ ¢ á«ãç ¥ ª®­¥ç­®£® ¨­â¥à¢ « ).à¨¬¥à 5. (2003-2) „®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï f= (0, +∞), sin x3f (x) =,x: E → R,£¤¥ï¢«ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.E=x3 (1 + o(1))= 0, â® f ¯à®¤®«x→0x1ä㭪樨 ­ [0, +∞).

„ «¥¥, |f (x)| 6 ,xsin x¥è¥­¨¥. ’ ª ª ª x→0limx3= lim¦ ¥âáï ¤® ­¥¯à¥à뢭®©®âªã¤ x→+∞lim f (x) = 0. ‘®£« á­® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 7, ¯®«ãç ¥¬, çâ®f : E → R à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 .9 ¤‘¯®á®¡ë ãáâ ­®¢¨âì ®âáãâá⢨¥ à ¢­®¬¥à­®©­¥¯à¥à뢭®á⨠­¥ª®â®àëå ä㭪権‘«ãç © ª®­¥ç­®£® ¯à®¬¥¦ã⪠Š ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ ¯à¥¤«®¦¥­¨¨ 4, äã­ªæ¨ï, ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­ ª®­¥ç­®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ ¨ ­¥ ¨¬¥îé ï ª®­¥ç­®£® ¯à¥¤¥« ¢ ®¤­®¬ ¨§ ¥£®ª®­æ®¢, ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.à¨¬¥à 6. „®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï f1f (x) = sin ,x: E → R,£¤¥E = (0, 1), ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.¥è¥­¨¥. ‘®£« á­® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 4, ¤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ® ­¥áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« x→0+0lim f (x).  áᬮâਬ ¤¢¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨃¥©­¥.

®«®¦¨¬ xn1x0n =2πn +1, ⮣¤ n→∞lim xn = 0πnlim x0n = 0 ¨ f (x0n ) = 1.=¨ f (xn ) = 0. …᫨ ¦¥, â® n→∞’¥¬ á ¬ë¬ ¯®«ã祭®¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ ¯à¥¤¥« ¯® ƒ¥©­¥. ¤π29 Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨¬¥à 5 ­¥ 㤠¥âáï à¥è¨âì á ¯®¬®éìî ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 6.11¥áª®­¥ç­® ¡®«ìè ï ¯à®¨§¢®¤­ ïà¥¤«®¦¥­¨¥ 8. ãáâì E = [a, +∞), ¨ äã­ªæ¨ï fä¥à¥­æ¨à㥬 ­ E , ¯à¨ç¥¬ x→+∞lim f 0 (x) = ∞. ’®£¤ à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樥©.: E → R ¤¨äf ­¥ ï¥âáª § ⥫ìá⢮. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®f à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 .‚®§ì¬¥¬ ε = 1 ¨ ¯®¤¡¥à¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 δ > 0 ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ïà ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®áâ¨.

ˆ§ ãá«®¢¨ï x→+∞lim f 0 (x) = ∞ á«¥¤ã¥â,çâ® ­ ©¤¥âáï m > a â ª®¥, çâ® ∀ x > m ¢ë¯®«­¥­® |f 0 (x)| > 2δ . ®«®¦¨¬ x1 = m, x2 = m + 2δ . à¨¬¥­¨¢ ⥮६㠋 £à ­¦ ® ª®­¥ç­ëå¯à¨à 饭¨ïå ¤«ï ®â१ª [x1 , x2 ], ¯®«ã稬, çâ® |f (x1 ) − f (x2 )| == 2δ |f 0 (ξ)| ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ξ ∈ [x1 , x2 ]. ’ ª ª ª ξ > m, â® |f 0 (ξ)| > 2δ ,®âªã¤ |f (x1 ) − f (x2 )| > 1 = ε, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠f . ¤Ž¡à ⨬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­ â®, çâ® ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 6 ¨ 8 ¢á¥ ¦¥ ­¥ ¤ îâ¨áç¥à¯ë¢ î騩 ®â¢¥â ­ ¢®¯à®á ® à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権 (á¬., ᪠¦¥¬, ¯à¨¬¥à 5, § ¤ çã 11).à¨¬¥à 7.

(2003-4) „®ª ¦¨â¥, çâ® äã­ªæ¨ï f: E → R, £¤¥ E == (0, +∞), f (x) = x2 arctg x, ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®©.¥è¥­¨¥. ˆ¬¥¥¬f 0 (x)lim 2x arctg x = +∞,=2x arctg x +x2 x→+∞lim 2x→+∞x +1áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 8.10 ¤= 1,x2.+1x2’ ª ª ªâ® ­ã¦­®¥ ã⢥ত¥­¨¥Š®«¥¡ ­¨¥ ä㭪樨 ¨ à®áâà¥¤«®¦¥­¨¥ 9. ãáâì E = [a, +∞), ¨ äã­ªæ¨ï f : E → R à ¢­®-¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 . ’®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ 䨪á¨à®¢ ­­ë¥ ç¨á« k ¨ b, çâ® ∀ x, y ∈ E ¢ë¯®«­¥­® |f (x) − f (y)| 6 k|x − y| + b.1110 Š®­¥ç­®, à¥è¥­¨¥ í⮣® ¯à¨¬¥à â ª¦¥ áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ¡®«¥¥ ᨫ쭮£®¯à¥¤«®¦¥­¨ï 10.11 â® ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ ¬®¦­® ®¡®¡é¨âì ¤® ªà¨â¥à¨ï à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®áâ¨(á¬.

§ ¤ çã 14).12„®ª § ⥫ìá⢮. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ­ ©¤¥âáï â ª®¥δ > 0, çâ®â ª¨å, çâ® |x0 − x00 | < δ ¢ë¯®«­¥­® |f (x0 ) − f (x00 )| < 1.‡ 䨪á¨à㥬 x ∈ E , y ∈ E , ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠y£ > x¤ (¥á«¨ x = y, â®+ 1.  §®¡ì¥¬£®¤¨âáï «î¡®¥ k ¨ «î¡®¥ b > 0). ®«®¦¨¬ n = y−xδ®â१®ª [x, y] ­ n à ¢­ëå ®â१ª®¢: x = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = y;y−xâ ª ª ª n > y−xδ , â® |xi − xi−1 | = n < δ ¤«ï i = 1, 2, .

. . , n. ’®£¤ nP|f (xi ) − f (xi−1 )| < n · 1 = n.|f (y) − f (x)| = |f (xn ) − f (x0 )| 6∀ x0 , x00 ∈ Ei=11Žâáî¤ |f (y) − f (x)| 6 n 6 y−xδ + 1 = δ |x − y| + 1, â® ¥áâì ¢ ãá«®¢¨¨¯à¥¤«®¦¥­¨ï ¤®áâ â®ç­® ¯®«®¦¨âì k = 1δ ¨ b = 1. ¤Žâ¬¥â¨¬ ¤¢ á«¥¤áâ¢¨ï ¯®á«¥¤­¥£® ¯à¥¤«®¦¥­¨ï.à¥¤«®¦¥­¨¥ 10. ãáâìE = [a, +∞), ¨ äã­ªæ¨ï f : E → Rà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 . ’®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ 䨪á¨à®¢ ­­ë¥ç¨á« k ¨ b, çâ® ∀ x ∈ E ¢ë¯®«­¥­® |f (x)| 6 kx + b.„®ª § ⥫ìá⢮. ‘®£« á­® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 9, ­ ©¤ãâáï ¯®áâ®ï­­ë¥ç¨á« k ¨ b1 â ª¨¥, çâ® ∀ x ∈ E ¢ë¯®«­¥­® |f (x) − f (a)| 6 kx + b1 .® ⮣¤ |f (x)| 6 kx + b1 + |f (a)|, §­ ç¨â, ¤®áâ â®ç­® ¯®«®¦¨âì b == b1 + |f (a)|.

¤‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 10 «¥£ª® á«¥¤ã¥â ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 8.à¥¤«®¦¥­¨¥ 11. ãáâìc > 0 | 䨪á¨à®¢ ­­®¥ ç¨á«®, E ⊂ R| ­¥ª®â®àë© ¯à®¬¥¦ã⮪ ç¨á«®¢®© ¯àאַ©, E 0 = {x − c | x ∈ E}.ãáâì ¤ ­ à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ï ­ E äã­ªæ¨ï f : E → R.’®£¤ äã­ªæ¨ï g : E ∩ E 0 → R, £¤¥ g(x) = f (x + c) − f (x), ï¥âáï®£à ­¨ç¥­­®©.„®ª § ⥫ìá⢮.

Характеристики

Список файлов книги