Файл отчета в системе Антиплагиат (1222235), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда моменты планового отправления поездов удовлетворяют равенствам T(к) = 3(к – 1), к = .На рисунке 1.2 изображ ены промеж утки , к = , в зависимости от 6 значений интервала .Рисунок 1.2 – Промеж утки при некоторыхТочками обозначены реальные моменты отправления поездов, которые появились в результате задерж ки поезда 1 на время .Напомним основные предполож ения:только поезд 1 подвергается первичной задерж ке ,.Символом R(к), в отличие от T(к), мы будем обозначать реальный момент отправления поезда под номером к.Порядок отправления поездов.

Пусть фиксировано.Если, (1.2)то. (1.3)Если, (1.4)то. (1.5)Далее мы будем использовать обозначениегде A – произвольное множ ество на числовой прямой R.Предполож им, что общ ее количество поездов равно . Полагаем если к > n.Теорема 1. 1. Если , то.2. Пусть к – фиксированное ц елое, . Если, (1.6)то. (1.7)Если(1.8)то(1.9)(1.10)Теорема 2. Пусть .

Справедливы формулы:(1.11)(1.12).Определим(1.13)Тогда при к = 2 в правой части формулы (1.12)​имеемПоэ тому при к = 2 формула (1.12) совпадает с формулой (1.11). Таким образом, верноСледствие 1. Формула (1.12) справедлива при .Сформулируем следствия теоремы 2 в терминах заданных плотностей.Следствие 2. Пусть все постоянны и необязательно равны меж ду собой,– плотность распределения случайной величины . Тогдасправедлива формула(1.14), причем .Следствие 3. Пусть все постоянны и равны одному и тому ж е числу T,справедлива формула(1.15)– плотность распределения случайной величины .

Тогда, причем(1.16)Напомним определение свертки плотностей. Для произвольных двух плотностей и их сверткой называется интеграл который принятообозначать . Известно, что операц ия свертки перестановочна. Если , то мы будем применять обозначение.По определению считаем, что . Напомним такж е, что если независимые случайные величины абсолютно непрерывны, то плотностьраспределения их суммы равна свертке исходных плотностей.Следствие 4. Пусть – независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью . Пусть имеет плотность и не зависитот .

Тогда(1.17)(1.18)Замечание 1. Так как рассматриваемые​случайные величины полож ительны, то в интегралах следствия 4 предел интегрированиямож но заменить на 0.Замечание 2. Определим 0-кратную свертку как обобщ енную функц ию со следующ им свойством: для любой ограниченнойнепрерывной функц ии выполняется равенство . Тогда формула (1.18) при к = 2 совпадает с (1.17).Обозначим N – число вторичных задерж ек (в рамках рассматриваемой модели).Лемма 1. Для каж дого ц елого фиксированного(1.19)Приведем два следствия, вытекающ ие из э той леммы.http://dvgups.antiplagiat.ru/ReportPage.aspx?docId=427.12578943&repNumb=16/2508.06.2015АнтиплагиатСледствие 5. Если – постоянная величина, то.Следствие 6.

Если – независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью , то.Заметим, что задачи, связанные с задерж ками поездов, рассматривались во многих работах (например, в [2]). Однако в э тих работах ипостановки, и методы отличаются от наших.1.2 Доказательство теоремы 1Преж де чем доказывать теорему 1, переформулируем ее в терминах и .Теорема . 1. Если(1.20)то. (1.21)2.

Пусть к – фиксированное ц елое, . Если(1.22)то(1.23)и, следовательно, (1.7).3. Если(1.24)то(1.25).​(1.26)Лемма 2. Пусть фиксировано.1. Из неравенства (1.22) следует (1.23).2. Из двойного неравенства (1.24) следует равенство .Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Будем рассуж дать, используя принц ип математической индукц ии. Легко убедиться в справедливостиутверж дения п.

1 при к = 2. Индуктивное предполож ение состоит в следующ ей импликац ии: еслидля некоторого фиксированного тоПусть выполняется условие (1.22). Тогда(1.27)Вследствие индуктивного предполож енияОтсюда, применяя первую оц енку в (1.27), получаем неравенство (1.4), из которого следует (1.5).

Таким образом,2. Пусть . Тогда . Иначе, в силу (1.2), (1.3) имеем . Используя (1.4) и (1.5), получаем равенство . Вследствие (1.23) тогда . Этопротиворечит правому неравенству в (1.24). Таким образом, .Доказательство теоремы . 1. Заметим, что . Поэ тому условие (1.20) совпадает с (1.2), которое влечет за собой равенство и,следовательно, (1.21).2. Согласно лемме 2 условие (1.22) влечет за собой (1.23) и, следовательно, (1.7).Формула (1.25) является следствием леммы 2:Так как , то при . Отсюда вытекает​(1.26).1.3 Доказательство теоремы 2Лемма 3.

Справедлива формула (1.11).Д о к а з а т е л ь с т в о. ИмеемЗаметим, что момент отправления первого поезда есть . Поэ тому согласно порядку отправления поездов, если , то и, следовательно, , аесли , то , т. е. . Отсюдаи, таким образом,что э квивалентно (1.11).Пусть фиксировано. Введем в рассмотрение случайные события(1.28)Заметим, что э ти события попарно несовместны и .Обращ аем внимание, что если, например, n = 3, то , а еслиn = 4, то , т. е. , вообщ е говоря, зависят от n.Лемма 4. Пусть .

Справедлива формула(1.29)Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполож им, для определенности, что n = 6. Имеем(1.30)В силу теоремы 1, п. 1, следствием события является равенствооткуда(1.31)Событие состоит в выполнении неравенства . Из (1.25) тогда получаемоткуда(1.32)Следствием события является неравенство (1.22) в видеИз э того неравенства в соответствии с теоремой 1 вытекает, что . Таким образом,(1.33)Аналогично получаем(1.34)Собирая (1.30) – (1.34) приходим к равенству(1.35)Очевидно,(1.36)Далее,​так как , то(1.37)Заметим, что . Следовательно,http://dvgups.antiplagiat.ru/ReportPage.aspx?docId=427.12578943&repNumb=17/2508.06.2015Антиплагиат(1.38)Из (1.35) – (1.38) получаем(1.39)Равенство (1.39) э квивалентно (1.29). Действительно, при условии справедлива импликац ия .

Поэ тому.Таким образом,откудаДоказательство в случае произвольного не изменится. При n = 3 доказательство только упрощ ается.Доказательство теоремы 2. Формула (1.11) доказана в лемме 3, а формула (1.12) при к = 3 – в лемме 4.Доказательство формулы (1.12) при будем проводить по аналогии с доказательством леммы 4.Имеем(1.40)В силу теоремы 1, п. 1, следствием события является равенствооткуда(1.41)Если произошло событие , то в силу (1.26) справедливо соотношениеиз которогоАналогично, для всех(1.42)Из (1.41) и (1.42), учитывая, чтополучаем(1.43)Далее, используя (1.25) и представлениенаходим(1.44)Предполож им, что произошло событие . Тогда выполнено неравенство (1.22), из которого, согласно (1.7), вытекает .

Таким образом,(1.45)Собирая (1.40), (1.43) – (1.45), приходим​к равенству(1.46)Рассуж дая так ж е, как в конц е доказательства леммы 4, получаемПоэ томуОтсюда следует, что равенство (1.46) влечет за собой (1.12).1.4 Доказательство следствий теоремы 2Доказательство следствия 2. Пусть . Учитывая (1.13), обозначим(1.47)Из следствия 1 и (1.12) вытекает, что при(1.48)гдеИмеем(1.49)(1.50)Из (1.48) – (1.50), с учетом непрерывности случайной величины , получаем (1.14).Доказательство следствия 3. Заменяя в (1.14) на T, получаем формулу (1.15).Доказательство следствия 4. Мы будем использовать известное утверж дение: если и– независимые случайные величины, причемимеет плотность , то для любой измеримой функц ии двух переменных и любого(1.51)Из (1.51) следует представление для :(1.52)Формулы (1.11) и (1.52) приводят к (1.17).Пусть . Рассмотрим формулу (1.12).

Воспользуемся обозначением (1.47). Заметим, что , и взаимно независимы, причем плотностьраспределения равна . Поэ тому(1.53)Далее, аналогично (1.51),(1.54)В свою очередь,Следовательно,(1.55)Из (1.54) и (1.55) получаем(1.56)Согласно​(1.12) теперь нуж но слож ить (1.53) и (1.56). В результате мы приходим к (1.18).1.5 Доказательство леммы 1Воспользуемся событиями, похож ими на (1.28). Нетрудно видеть, чтоОтсюда1.6 Случай, когда промеж утки Tj постоянныЛемма 5. Пусть все Tj постоянны и равны некоторому . Если(1.57)где , то при(1.58)Кроме того,(1.59)(1.60)Доказательство.

Воспользуемся следствием 3. Из (1.57) вытекает, что(1.61)http://dvgups.antiplagiat.ru/ReportPage.aspx?docId=427.12578943&repNumb=18/2508.06.2015АнтиплагиатПользуясь э тим равенством, формулу (1.58) при к = 2 получаем из (1.16), а при – из (1.15).Займемся вычислением среднего и дисперсии случайных величин . Так както имеет одну точку разрыва , а , , – две точки разрыва: и (в соответствии с рисунком 1.3). Кроме того, приСледовательно, для любой непрерывной ограниченной функц ии(1.62). Нетрудно убедиться, что формула (1.62) верна такж е при к = 2. Воспользовавшись известными равенствамиполучаем при(1.63)(1.64)Из (1.62) и (1.63) следует, чтоТем самым доказана формула (1.59).В свою очередь, из (1.62) и (1.64) вытекает равенствоСледовательно,(1.65)Преобразуя​правую часть равенства (1.65), приходим к (1.60).На рисунке 1.3 изображ ены графики функц ий из (1.58) с к = 2, 3 и параметрами(1.66)Рисунок 1.3 – Поведение функц ий иС помощ ью формул (1.59) и (1.60) получаем с точностью доЗамечание 3.

Легко видеть, что чем больше к, тем функц ия из (1.58) ближ е к . Это согласуется с рисунком 1.3, а такж е формулами(1.59) и (1.60), в силу которых , при .Замечание 4. Если задана максимальная вероятность p того, что произойдет не менее м вторичных задерж ек, а распределена сплотностью (1.57), то согласно следствию 5 параметр T удовлетворяет условию(1.67)(см. такж е [6]).

Обозначим – минимальное T, удовлетворяющ ее неравенству (1.67). Рассмотрим следующ ий пример. Фиксируем . Нарисунке 1.4 изображ ено поведение как функц ии от непрерывного параметра м при p = 0.1 и p = 0.05. Ясно, что с уменьшением pвеличина растет. Точные вычисления мож но производить по формуле(1.68)Рисунок 1.4 – Поведение при p = 0.1 и p = 0.05Теперь фиксируем p = 0.1. На рисунке 1.5 изображ ено поведение как функц ии от непрерывного параметра м при​и . В согласии сформулой (1.68) величина увеличивается, когда уменьшается.

Поскольку в рассматриваемом случае показательной плотностивыполняется равенство , то уменьшение ведет к увеличению среднего значения первичной задерж ки, что в свою очередь приводит кувеличению интервалов меж ду поездами (если мы хотим уменьшить количество вторичных задерж ек).Рисунок 1.5 – Поведение при и1.7 Случай, когда Tj имеют нормальное распределениеПусть(1.69)где , T и – некоторые полож ительные параметры. Заметим, что поскольку случайные промеж утки Tj не могут быть отриц ательными, то,строго говоря, предполож ение о виде плотности в (1.69) некорректно.

Характеристики

Список файлов ВКР